向量在几何的应用.ppt

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1、,向量在平面几何中解题的应用,复习旧知:,（1）向量共线的条件:,与 共线,（2）向量垂直的条件：,（3）两向量相等的条件：,且方向相同。,1.应用向量知识证明平面几何有关定理,例1、证明直径所对的圆周角是直角,如图所示，已知O，AB为直径，C为O上任意一点。求证ACB=90,分析：要证ACB=90，只须证向量，即。,解：设 则，由此可得：,即，ACB=90,思考：能否用向量坐标形式证明？,.,练习:证明平行四边形四边平方和等于两对角线平方和,已知：平行四边形ABCD求证：,分析：因为平行四边形对边平行且相等，故设 其它线段对应向量用它们表示。,解：设，则,例2.如图 ABCD中，点E,F分别

2、是AD、DC的中点，BE、BF分别与AC交于R、T两点，你能发现AR、RT、TC之间的关系吗？,A,B,C,D,E,R,T,F,提示：将几何问题转化为向量问题,2.应用向量知识证明三线共点、三点共线,例2、已知：如图AD、BE、CF是ABC三条高求证：AD、BE、CF交于一点,H,分析一：设AD与BE交于H，只要证CHAB，即高CF与CH重合，即CF过点H,只须证,由此可设,如何证？,利用ADBC，BECA，对应向量垂直。,2.应用向量知识证明三线共点、三点共线,例2、已知：如图AD、BE、CF是ABC三条高求证：AD、BE、CF交于一点,H,设,例2、已知：如图AD、BE、CF是ABC三条高

3、求证：AD、BE、CF交于一点,分析二：如图建立坐标系，,设A(0,a)B(b,0)C(c,0),只要求出点H、F的坐标，就可求出、的坐标进而确定两向量共线，即三点共线。,再设H(0,m)F(x,y),由A、B、F共线；CFAB对应向量共线及垂直解得：,可得：,例、已知：如图AD、BE、CF是ABC三条高求证：AD、BE、CF交于一点,可得：,可得：,练习：如图已知ABC两边AB、AC的中点分别为M、N，在BN延长线上取点P，使NP=BN，在CM延长线上取点Q，使MQ=CM。求证：P、A、Q三点共线,解：设,则,由此可得,练习：如图已知ABC两边AB、AC的中点分别为M、N，在BN延长线上取点

4、P，使NP=BN，在CM延长线上取点Q，使MQ=CM。求证：P、A、Q三点共线,即 故有，且它们有公共点A，所以P、A、Q三点共线,因为：,应用向量知识证明等式、求值,例、如图ABCD是正方形M是BC的中点，将正方形折起，使点A与M重合，设折痕为EF，若正方形面积为16，求AEM的面积,分析：如图建立坐标系，设E(e,0)M(4,2),N是AM的中点故N(2,1),=(2,1)-(e,0)=(2-e,1),解得：e=2.5,故AEM的面积为5,例、如图ABCD是正方形M是BC的中点，将正方形折起，使点A与M重合，设折痕为EF，若正方形面积为64，求AEM的面积,解：如图建立坐标系，设E(e,0

5、)，由正方形面积为64，可得边长为8，由题意可得M(8,4)，N是AM的 中点，故N(4,2),=(4,2)-(e,0)=(4-e,1),解得：e=5 即AE=5,练习、PQ过OAB的重心G，且OP=mOA,OQ=nOB 求证：,分析:由题意OP=mOA,OQ=nOB,联想线段的定比分点，利 用向量坐标知识进行求解。,由PO=mOA,QO=nOB可知：,O分 的比为，O分 的比为,-m-n,?,练习、PQ过OAB的重心G，且OP=mOA,OQ=nOB 求证：,由此可设 由向量定比分点公式，可求P、Q的坐标，而G为重心，其坐标也可求出，进而由向量，得到 m n 的关系。,练习、PQ过OAB的重心G，且OP=mOA,OQ=nOB 求证：,证：如图建立坐标系，设,所以重心G的坐标为,由PO=mOA,QO=nOB可知：,即O分 的比为-m，O分 的比为-n,练习、PQ过OAB的重心G，且OP=mOA,OQ=nOB 求证：,即O分 的比为-m，O分 的比为-n，求得,由向量 可得：,化简得：,巩固练习：,1.证明对角线互相垂直平分的四边形是菱形,2.如图O为ABC所在平面内一点，且满足,求证：ABOC,