向量代数与空间解析几何.ppt

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1、第 7章 向量代数与空间解析几何,1 空间直角坐标系,1.空间直角坐标系,x,z,y,O,空间直角坐标系 Oxyz,坐标原点 O,坐标轴 Ox,Oy,Oz,右手系,坐标平面 xOy,yOz,xOz,I,II,III,IV,V,VI,VII,VIII,卦限,2.点的投影,空间一点M在直线(或轴上)的投影,空间一点M在平面上的投影,3.点的直角坐标,x,y,M,O,z,P,R,Q,M(x,y,z),有序数组(x,y,z)称为点M的坐标，记为M(x,y,z),x,y,z 分别称为点 M 的横、纵、立坐标.,原点O的坐标,坐标轴上的点的坐标,坐标面上的点的坐标,各卦限中的点的坐标的符号,討論题,4.两

2、点间距离,设空间中两点M1(x1,y1,z1),M2(x2,y2,z2),是否应有,数轴上两点 M1=x1,M2=x2,有,平面上两点 M1(x1,y1),M2(x2,y2),有,d=|M1 M2|=|x2 x1|,由勾股定理,M1(x1,y1,z1),M2(x2,y2,z2),特别地，点O(0,0,0)与 M(x,y,z)之间的距离,例1.在Oz轴上求与A(4,1,7)和B(3,5,2)等距离的点.,解：设所求的点为M(0,0,z).,由|AM|=|BM|，得,化简求得,作图要点,坐标系.Oy轴与Oy轴垂直，单位等长；Ox轴与Oy轴交角120(或135)，单位长为Oy轴上的单位长的 倍(或

3、倍)；,直线.空间中本来相互平行的直线在图中依然要保持 平行；,作图：作点 P(2,1,3),Q(1,2,-1),R(-2,-1,-1),2 向量的概念及其表示,1.向量,向量：既有大小又有方向的量,单位向量：模等于1的向量,零向量：模等于0的向量(方向任意)，记0.,向量相等：模相等,方向相同，记 a=b,负向量：与a的模相等而方向相反的向量，记 a.,所有向量的共性：大小、方向，因此定义,模：向量的大小，记|a|,2.向量的加法,c=a+b,平行四边形法则,三角形法则,a1+a2+an,运算规律：,(1)a+b=b+a(交换律),(2)(a+b)+c=a+(b+c)(结合律),(3)a+0

4、=a,(4)a+(a)=0,3.向量减法,ab=a+(b),4.数与向量的乘法,a=,0,=0:a=0,模：|a|=|a|,方向：,0:与a相同,0:与a相反,运算律：,(1)(a)=()a=(a)结合律,(2)(+)a=a+a,分配律,(a+b)=a+b,(3)1a=a,(1)a=a,定理1 b/a R,使 b=a.,于是,a 0，设 a与a方向相同的一个单位向量，,由|a|0，故|a|a 也与 a 方向相同，且,|a|a|=|a|a|=|a|,而同时有,称 a 为 a 的单位向量.(常被用来表示向量 a 的方向.),5.向量在轴上的投影,向量间的夹角,=a,b=b,a,限定 0a,b,向量

5、在轴 u 上的投影,数值,u,O,M1,u1,M2,=|a|cosa,u,a,(1),(2),5.向量的分解和向量的坐标,例1.设P1与P2为u轴上的两点，坐标分别为u1和u2；又e为与u轴正向一致的单位向量，则,事实上,若u1u2,有,且 与e 同向，故,若u1u2,有,且 与e 反向，故,若u1=u2,有,0；,又 0,故也有,但,称 为 在Ox,Oy,Oz轴上的分向量.,令 i,j,k 分别为沿Ox,Oy,Oz 坐标轴正向的基本单 位向量.,记点P1,P2的坐标为x=x1,x=x2；,点Q1,Q2的坐标为y=y1,y=y2；,点R1,R2的坐标为 z=z1,z=z2.,由例1知,故有,即

6、,这是向量 a 在三个坐标轴上的分解式.,记,则显然 ax,ay,az 便是向量 a 在三个坐标轴上的投影.,由于 a(ax,ay,az),称(ax,ay,az)为 a 的坐标；记,a=(ax,ay,az),显然 0=(0,0,0),设 M(x,y,z)，,6.向量运算的坐标表示式,设 a=(ax,ay,az)，b=(bx,by,bz)，R,ab=(axi+ay j+azk)(bxi+by j+bzk),=(axbx)i+(ayby)j+(azbz)k,=(axbx,ayby,azbz),a=(axi+ay j+azk),=(ax)i+(ay)j+(az)k,=(ax,ay,az),例1.已知

7、a=(4,-1,3)，b=(5,2,-2)，求2a+3b.,解.2a+3b=2(4,-1,3)+3(5,2,-2)=(23,4,0),例2.设点A(x1,y1,z1)和B(x2,y2,z2)，求线段AB的定比分点(定比为-1)的坐标.,解.设分点为M(x,y,z)，作AM和MB.依题意,而,故有,于是,特别地当=1时，便是中点,7.向量的模与方向余弦,向量的模：由两点间距离公式立得,向量的方向：与三坐标轴正向间夹角,.,称,为 a 的方向角(规定 0,),向量的坐标就是向量在坐标轴上的投影，故,ax=Prjxa=|a|cos,ay=Prjya=|a|cos,ax=Prjza=|a|cos,称

8、cos,cos,cos 为 a 的方向余弦，,显然，cos2+cos2+cos2,a 的单位向量：,a 的方向余弦 cos,cos,cos 就是 a 的坐标.,=cos i+cos j+cos k,=(cos,cos,cos),解.,例3.已知a与三坐标轴的夹角相等，求a 的方向余弦.,解：由 cos2+cos2+cos2=1，且=，有,3cos2=3cos2=3cos2=1，从而,得,由 cos2+cos2+cos2=1，有,设P2的坐标为(x,y,z)，则,同理有,P2的坐标为(2,4)，或(2,2),例5.,解：设此求向量为a，则,故,3 向量的数量积与向量积,1.向量的数量积,一个物体

9、在力 F 作用下沿直线产生一段位移 r，则力F 所作的功为,W=|F|cos|r|,定义1 对于向量a,b，数量,这里0a,b.数量积亦称点积或内积.,称为向量a与b的数量积；记为ab.,W=Fr,由于|b|cosa,b=Prjab，于是,ab=|a|Prjab,=|b|Prjba,运算律：,(1)a2=aa=|a|2.,证 aa=|a|a|cos0=|a|2.,(2)ab ab=0.,证 a,b0，ab,a 或 b为 0时，方向任意，可认为与另一垂直.,a,b=,cosa,b=0,ab=0.,(3)ab=ba.(交换律),(5)(ab)=(a)b=a(b).(结合律),证 0,(ab)=|a

10、|b|cosa,b,(a)b=|a|b|cosa,b,显然,a,b=a,b，故(ab)=(a)b,其他情形类似可证.,(6)i i=j j=k k=1；i j=j k=k i=0,(4)(a+b)c=a c+b c(分配律),证(a+b)c=|c|Prjc(a+b),=|c|(Prjca+Prjcb),=|c|Prjca+|c|Prjcb,=a c+b c,设 a=(ax,ay,az)，b=(bx,by,bz)，,ab=(axi+ay j+azk)(bxi+by j+bzk),=axbxii+axby ij+axbz ik,+aybx ji+ayby jj+aybz jk,+azbx ki+a

11、zby kj+azbz kk,=axbx+ayby+azbz,特别地 aa=ax2+ay2+az2，,此外立刻有 ab axbx+ayby+azbz=0.,而 a2=|a|2，于是,又,从而,例2.ABC中，CB=a,CA=b,AB=c,BCA=.求证余弦定理：c2=a2+b2 2abcos.,证 设 CB=a,CA=b,AB=c，则,c=AB=CBCA=ab,cc=(ab)(ab)=aa+bb2ab,即 c2=a2+b2 2abcos.,例3.在xOy平面上求一垂直于 a=(4,3,7)的单位向量.,解 设所求向量为 e=(x,y,z)，,因为它在xOy平面上，所以 z=0；,又因为它与 a

12、 垂直，所以 4x+3y=0；,再 e 为单位向量，有 x2+y2=1；,联立解得：,从而,討論题,下面结论是否成立？,(ab)2=a2b2；,ab=ac b=c(消去律)；,(ab)c=a(bc)(结合律).,2.向量的向量积,一根杠杆L一端 O固定为支点，另一端P受到力F的作用，力F与OP的夹角为.我们用力矩表示F对杠杆L转动作用的大小和方向.力矩是一向量，记为 M，其量值(大小)为,其方向垂直于OP与 F 所决定的平面,指向符合右手规则.,定义2 对于向量a,b，由a和b可确定一个新向量,这里0a,b.向量积亦称叉积或外积.,称为向量a与b的向量积；记为ab.,ab=,模：,方向：同时垂

13、直于a和b且按右手规则,以向量a和b为邻边作平行四边形OABC，,于是其面积 S=|a|h=|a|b|sina,b=|ab|.,则高 h=|b|sina,b,运算律：,(1)aa=0.,证|aa|=|a|2sin0=0.,(2)a/b ab=0.,证 a,b0，a/b,a 或 b为 0时，方向任意，可认为与另一平行.,a,b=0或,sina,b=0,ab=0.,(3)ab=ba.(交换律不成立),证 a/b时，ab=0，ba=0，结论成立；,(4)(ab)=(a)b=a(b)(分配律),证=0 或 a/b,上式两端均为 0,自然成立；,不妨设 0,则,|(ab)|=|ab|=|a|b|sina

14、,b,|(a)b|=|a|b|sina,b=|a|b|sina,b,且 0时(ab)和(a)b方向相同，故等式成立；,同理0时可证；后一等式亦然.,(5)(a+b)c=ac+bc,a(b+c)=ab+ac(分配律),(6)ii=jj=kk=0;,ij=k,jk=i,ki=j,向量积的坐标式：设,ab=(axi+ay j+azk)(bxi+by j+bzk),a=(ax,ay,az)，b=(bx,by,bz)，,=(aybzazby)i+(azbx axbz)j+(axby aybx)k,=axbxii+axby ij+axbz ik,+aybx ji+ayby jj+aybz jk,+azbx

15、 ki+azby kj+azbz kk,=axbyk axbz j aybxk+aybzi+azbx j azbyi,=(aybzazby，azbx axbz，axby aybx),ab=(aybzazby)i+(azbx axbz)j+(axby aybx)k,为便于记忆,a/b aybzazby=0，azbx axbz=0，axby aybx=0,例4.a=(2,1,1),b=(1,1,2),计算ab和ba.,=i 5j 3k,=i+5j+3k,解,例5.求一垂直于a=(2,2,1)和 b=(4,5,3)的单位向量.,解 显然 ab 是垂直于 a 和 b 的.而,=i 2j+2k，,所以,

16、例6.已知 OA=i+3k,OB=j+3k,求OAB 的面积.,解 平行四边形OABC的面积=|OAOB|,从而,3.向量的混合积,(ab)c 称为向量 a,b,c 的混合积,记作abc.,设 a=(ax,ay,az)，b=(bx,by,bz)，c=(cx,cy,cz)，,混合积有“轮序置换”性质：,(ab)c=(bc)a=(ca)b，,或 abc=bca=cab.,|(ab)c|是以向量 a,b,c 为棱的平行六面体的体积.,这平行六面体的底面积为|ab|,高为h=|c|cos|.其中为 ab 与 c 之夹角.故,V=|ab|h,=|ab|c|cos|=|(ab)c|,容易知道：向量 a,b

17、,c 共面 abc=0.,討論题,下面结论是否成立？,(ab)c=a(bc)；(三重向量积，结合律),ab=ac b=c.(消去律),i+j+k 是单位向量吗？,若a,b是任一单位向量，则 ab 是单位向量？,4 平面及其方程,空间的几何图形均视为空间“动点”的轨迹.于是动点坐标所满足的数量关系(方程)称为该图形的方程.,1.平面的点法式方程,垂直于平面 的非零向量 n 称为 的一个法向量.,给定了法向量 n 便确定了平面 的方向.,法向量的特征：垂直于平面上的任一向量.,若再给定平面上的一点M0便可完全确该平面的位置.,平面方程的建立：,已知法向量 n=(A,B,C)，,点 M0(x0,y0

18、,z0)，,设平面上任一点(动点)为 M(x,y,z)，,即 A(xx0)+B(yy0)+C(z z0)=0.,称为平面 的点法式方程.,A(xx0)+B(yy0)+C(z z0)=0.(1),2.平面的一般方程,从方程(1)有,Ax+By+Cz(Ax0+By0+Cz0)=0.,令 D=(Ax0+By0+Cz0),则,Ax+By+Cz+D=0.(2),这是三元一次方程，其中A,B,C,D为常数且不全为零.,由于(2)与(1)同解，故三元一次方程总表示一张平面：,Ax+By+Cz+D=0 平面,因此称方程(2)为平面的一般方程.,显然，这里系数 A,B,C为法向量 n 的坐标.,例1.求过点M(

19、1,1,3),且与平面x2y+3z=5平行的平面方程.,解.已知平面的法向量 n=(1,2,3),将所求平面的法向量也取作 n，则,(x1)2(y+1)+3(z3)=0，,即 x2y+3z12=0.,例2.xOy坐标面的方程.,解.xOy平面上动点坐标总满足z=0，故其方程为z=0.,另解.取法向量k=(0,0,1)，和原点(0,0,0)，则,0(x0)+0(y0)+1(z0)=0，,z=0.,类似地，xOz平面方程为y=0；yOz平面方程为x=0.,例3.求过三点M1(2,1,4),M2(1,3,2)和M3(0,2,3)的平面方程.,解1.,取法向量,再取点M1得平面的方程 14(x2)+9

20、(y+1)1(z4)=0，,或 14x+9y z 15=0.,一般地，不共线的三点可确定一个平面.,例3.求过三点M1(2,1,4),M2(1,3,2)和M3(0,2,3)的平面方程.,解2：设所求平面方程为,Ax+By+Cz+D=0(其中A,B,C,D待定.),将点M1,M2,M3代入，得,联立解得：,故,由 D0，得,3.平面一般方程的讨论,Ax+By+Cz+D=0.,(1)D=0：,(2)A=0：有n=(0,B,C),ni=0,ni；故方程,By+Cz+D=0为平行(或通过)Ox轴的平面；,(3)A=B=0：有n=(0,0,C),n=Ck,n/k；故方程,Cz+D=0为平行(或重合)xO

21、y坐标面的平面；,B=0，或C=0：,Ax+By+Cz=0为过原点(0,0,0)的平面；,A=C=0，或B=C=0；,例4.设一平面通过Ox轴并过点M0(4,3,1),求这平面.,解1.因为所求平面过Ox轴，故 A=0,D=0，,故设其方程为 By+Cz=0，,将点M0 代入得 3B C=0，,C=3B，,于是得平面方程 y 3z=0.,解2.因为原点、Ox轴及点M0都在所求平面上，故,ni 且 nOM0,于是取 n=i OM0,=i(4i 3j k)=j 3k,点法式方程为 1(y+3)3(z+1)=0,即 y 3z=0.,例5.一平面在Ox,Oy,Oz轴上的截距分别为 a,b,c，求该平面

22、的方程(a0,b 0,c 0).,解1.平面过三点 M1(a,0,0),M2(0,b,0)和M3(0,0,c).,将点M1,M2,M3代入,确定A,B,C,D，得,设平面方程为 Ax+By+Cz+D=0(其中 D0),解2.,这称为平面的截距式方程.,5 空间直线及其方程,1.直线的标准式方程,平行于直线L 的非零向量 s 称为 L 的一个方向向量.,给定了方向向量 s，便确定了直线 L 的方向.,若再给定直线L上的一点M0便可完全确定该直线的位置.,直线方程的建立：,已知方向向量 s=(m,n,p)，,点 M0(x0,y0,z0)，,设直线 L 上任一点(动点)为 M(x,y,z)，,由于

23、M0M 在 L上，故 M0M/s，,于是,称为直线 L 的标准式方程(点向式、对称式）.,令,则有,x=x0+mt，,y=y0+nt，,z=z0+pt.,称为直线的参数方程(t 为参数),例1.求过点 M0(4,1,3)且平行于Ox轴的直线.,解.取 i=(1,0,0)为所求直线的方向向量.从而,化为参数方程 x=4+t，y=1，z=3.,例2.求过点 M1(x1,y1,z1)和M2(x2,y2,z2)的直线方程.,解：M1M2 在所求直线上，故取M1M2为方向向量，,于是,这称为直线的两点式方程.,例3.求过点M0(1,0,4)且与平面x2y+3z+5=0垂直的直线方程.,解：取 s=n=(

24、1,2,3),则,化为参数方程 x=1+t，y=2t，z=4+3t.,2.直线的一般方程,一般地，直线可视为两张平面的交线,L：,A1x+B1y+C1z+D1=0A2x+B2y+C2z+D2=0,称为直线的一般方程.,其中A1,B1,C1与A2,B2,C2不成比例.,由于平面的交线与这两张平面的法向量n1和n2都垂直，,n2,n1,故可取 n1n2为该交线的方向向量.,例如,x=0 y=0,表示Oz轴所在直线,y=0 z=0,表示Ox轴所在直线,x=0 z=0,表示Oy轴所在直线,例4.将直线的一般方程,化为标准式方程.,解：先找出直线上的一点：取x0=1，代入方程组解得,y0=0，z0=2,

25、即得到直线上一点(1,0,2).,再找出直线的方向向量，取,故得,对称式化为一般式？,对称式化为一般式，例如上例,有,得,容易理解，通过一直线 L的平面可以有无限多，故 L的一般方程不是唯一的.,例5.求过点M0(3,2,5)且与两平面2x y 5z=1,x 4z=3平行的直线方程.,解：可取 s=n1n2,=2,1,5 1,0,4,=4,3,1,故所求直线为,例6.求通过x轴和点M0(3,2,5)的平面与另一平面3x y 7z+9=0相交的交线方程.,解：先求通过x轴和点M0的平面,取 n=i,故 5(y2)+2(z+5)=0,即 5y+2z=0,所求直线,5y+2z=03x y 7z+9=

26、0,3.平面和直线间的位置关系,(1).两平面之间的相互位置.,法向量之间的夹角(锐角)定义为两平面之间的夹角.,设平面为 1：A1x+B1y+C1z+D1=0,2：A2x+B2y+C2z+D2=0,那么平面1和2的夹角 可由,确定.,两平面垂直 A1A2+B1B2+C1C2=0,两平面平行,例7 求两平面 x-y+2z-6=0和2x+y+z-5=0的夹角.,n1=(1,-1,2),n2=(2,1,1).,解,(2).两直线之间的相互位置.,方向向量之间的夹角定义为两直线之间的夹角.,设直线为,则直线L1和L2的夹角 可由,确定.,两直线垂直/平行的充分必要条件？,两直线垂直 m1m2+n1n

27、2+p1p2=0,两直线平行,(3).直线与平面之间的相互位置.,直线和它在平面上的投影直线的夹角j定义为该直线与该平面之间的夹角.并规定0j/2.,设,：Ax+By+Cz+D=0,因为 n=(A,B,C)与 s=(m,n,p)的夹角为，,而,所以,直线与平面平行 Am+Bn+Cp=0,直线与平面垂直,例8 一平面过M1(1,1,1)和M2(0,1,1)且垂直于x+y+z=0，求它的方程.,解1 设平面为 Ax+By+Cz+D=0,M1代入：A+B+C+D=0,M2代入：BC+D=0,与已知平面垂直：A+B+C=0,联立解得 D=0,B=C,A=2B,故 2Bx+By+Bz=0,约去B(0)得

28、 2xyz=0.,例8 一平面过M1(1,1,1)和M2(0,1,1)且垂直于x+y+z=0，求它的方程.,解2 向量M1M2=(1,0,2)在所求平面上；而已知平面的法向量n1=(1,1,1)平行于所求平面；故取,n2=M1M2 n1=(2,1,1)为所求平面法向量.,于是得到 2(x1)(y1)(z1)=0,即 2xyz=0.,例9.求由平行线,和,决定的平面.,解1：由两直线方程知 s=(3,2,1),M1(3,2,0),M2(3,4,1),取 n=s,=(3,2,1)(0,2,1),=(4,3,6),所求平面为,4(x+3)+3(y+2)6z=0,即 4x+3y 6z+18=0,例9.

29、求由平行线,和,决定的平面.,解2.设平面为 Ax+By+Cz+D=0,M1(3,2,0)在平面上,代入：3A2B+D=0,M2(3,4,1)在平面上,代入：3A4BC+D=0,又平面法向量 ns：3A2B+C=0,联立解得 C=2B,D=6B,A=B,故有 Bx+By2Bz+6B=0,即 4x+3y 6z+18=0,例10.求直线,与平面2x+y+z6=0,的夹角和交点.,解：因为 s=(1,1,2)，n=(2,1,1)，所以,已知直线的参数方程为,代入平面方程中得 2(2+t)+(3+t)+(4+2t)6=0,解得t=1,再代入直线参数方程便得交点,x=1，y=2，z=2,例11.设 P0

30、(x0,y0,z0)是平面 Ax+By+Cz+D=0 的外一点，求P0到这平面的距离.,解.设 P0到平面的垂足为P1(x1,y1,z1)，则,而P0P1/n P0P1=n，即,x1x0=A,y1y0=B,z1z0=C,因P1在平面上，故,A(A+x0)+B(B+y0)+C(C+z0)+D=0.,解得,代入,例12.求 P0(1,2,1)到直线 的距离.,解.显然 P0为直线外一点.以直线的方向向量为法向量作过点P0的平面，则该平面与直线垂直，而直线与平面的交点(垂足)P1到P0的距离便是所求.,P1点的坐标如何求？,见例10,例13.求直线L：在平面：x+y+z=0上投影直线的方程.,思路.

31、因为直线L向平面投影，所以先求出通过直线L且与平面垂直的平面方程，则所求平面与的交线便是L在平面上的投影.,解1.因为L在所求平面上，故nsL,又所求平面垂直，故nn,于是取n=sLn.,sL=(1,1,1)(1,1,1)=(0,2,2)，,故 n=(0,2,2)(1,1,1)=(0,2,2).,再取L上一点，令x=0,可得y=1,z=0,故所求平面为(2)(y1)+2(z0)=0，,即 yz1=0，,从而投影直线为,例13.求直线L：在平面：x+y+z=0上投影直线的方程.,思路.因为直线L向平面投影，所以先求出通过直线L且与平面垂直的平面方程，则所求平面与的交线便是L在平面上的投影.,解2

32、.设所求平面为 Ax+By+Cz+D=0,因为它与垂直：A+B+C=0,又因它过L,则过L上任两点,在L上取两点(0,0,1),(0,1,0)，代入：,C+D=0,B+D=0,联立解得 A=0,B=D,C=D,得方程 Dy+Dz+D=0，,即 yz1=0.,例13.求直线L：在平面：x+y+z=0上投影直线的方程.,思路.因为直线L向平面投影，所以先求出通过直线L且与平面垂直的平面方程，则所求平面与的交线便是L在平面上的投影.,解3.设所求平面为,(x+yz1)+(x y+z+1)=0,(待定),过L的平面束方程,即(1+)x+(1)y+(1+)z+(1+)=0,它与垂直，故：(1+)1+(1)1+(1)1=0,得=1,故所求平面 yz1=0.,