力学第四章刚体的转动.ppt

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1、第四章,刚体的转动,在前几章的讨论中，都是把物体作为质点来研究它的运动规律，物体能否作为质点决定于所研究的对象和问题的性质。例如:研究物体的转动时就不能把物体抽象为质点，必须如实地把物体视为有形状和大小的实体。物体受到外力作用后，运动状态发生变化，物体的形状也可能发生变化，产生形变，从而使问题复杂化。,为此，我们对所研究的物体只考虑它的形状和大小而不考虑它的形变，这种物体称为刚体，刚体是一个理想模型。,刚体运动,平动：用质心运动讨论,转动：对点、对轴,定轴转动：各质元均作圆周运动，其圆心都在一条固定不动的直线（转轴）上。各点的线量一般不同（因为半径不同），但角量（角位移、角速度、角加速度）都相

2、同。,相关的科学问题,刚体地球：地球的自转,极移,地球自转,地球在自转时同时公转，自转一周需用23小时56分4秒，公转时转了59秒(角度单位)，需用3分56秒，自转加上公转用的时间共24小时；格林威治时间所说的一秒是一天的8.641万分之一。原子时钟最准：1972年制作的地球时钟所定义的一秒是从铯原子中放射出的光振动91亿9千2百63万1千7百70次所需要的时间。,地球自转的原因和动力：这些都是现代科学至今没有解决的问题。传统观点：太阳和行星皆形成于一团巨大的原始旋转星云物质。当这些原始旋转星云物质在自身引力作用下自行收缩时，由于角动量守恒，星云物质越收缩，越致密，旋转也就越来越快，当星球形成

3、后，星云物质的旋转角动量就变成了寻求的自转角动量。自转加速和减速的动力：季风影响地球自转。有科学家计算过，每年由季风从大陆转移到海洋，又从海洋转移到大陆的空气，重量竟达300万亿吨。这么大重量的物质从地球一处转移到另一处，足可以影响地球的重心，改变地球的角动量分布，使地球自转发生加速或减速变化。,地震加快地球自转 美国宇航局的地球物理学家理查德格罗斯说，在当地时间26日印度洋发生地震的瞬间，印度洋底的一个地质板块被另一个所挤压而向下沉，地球的质量向地心集中，进而导致地球自转周期缩短了3微秒，地球轴心也倾斜了大约2厘米。,Ballet has several type of jumps but

4、a tour jet is the most enchanting.After leaping straight up in that jump,a ballet performer suddenly begins to rotate as if spun by an invisible hand.After half a turn,the rotation vanishes and then the performer lands.Even if an audience knows nothing of Newtons laws,they know that rotation cannot

5、suddenly turn on and off while the performer is in midair.Hence,What they see is magical.,What accounts for the magic of a tour jet?,第一节,刚体的定轴转动,1、角坐标：描写刚体转动位置的物理量。,刚体上某一点 P 到转轴 O 点的连线与参考方向ox的夹角。,单位：弧度，rad,角坐标为标量。,参考方向,2、角速度：描写刚体转动快慢和方向的物理量。,角坐标有正负：逆时针转动正，顺时针转动负。,平均角速度,角速度,角速度为角坐标对时间的一次导数。,角速度是矢量，但对

6、于刚体定轴转动角速度的方向只有两个，在表示角速度时只用角速度的正负数值就可表示角速度的方向，不必用矢量表示。,方向：满足右手定则，沿刚体转动方向右旋大拇指指向。,平均角加速度,角加速度,3、角加速度：描写角速度变化快慢和方向的物理量。,角加速度为角速度对时间 t 的一次导数，或为角坐标对时间 t 的二次导数。,单位：弧度/秒2，rad/s2,s-2,方向：角速度变化的方向。,1.角加速度为一常量,2.定轴转动。,3.初始条件：,匀变速运动的特点：,匀变速运动的公式：,角加速度是矢量，但对于刚体定轴转动角加速度的方向只有两个，在表示角加速度时只用角加速度的正负数值就可表示角加速度的方向，不必用矢

7、量表示。,第二节,力矩 转动定律转动惯量,力与力臂的乘积。,F,P,d,r,r,根据矢量乘积法则：,单位：牛顿米，N m,方向：从r沿小于角右旋到F，大拇指指向。,r,F,M,M 的方向垂直于 r 与 F 构成的平面。,解：杆上各质元均受摩擦力作用，但各质元受的摩擦阻力矩不同，靠近轴的质元受阻力矩小，远离轴的质元受阻力矩大，,细杆的质量密度,质元质量,质元受阻力矩,例：一匀质细杆，长为 l 质量为 m，在摩擦系数为 的水平桌面上转动，求摩擦力的力矩 M阻。,细杆受的阻力矩,由细杆质量,有,对mi用牛顿第二定律：,切向分量式为：,Fit+fit=miait=miri,切向分力与圆的半径及转轴三者

8、互相垂直,两边乘以ri,有：,Fit ri+fit ri=miri2,对所有质元的同样的式子求和：,Fit ri+fit ri=miri2,一对内力的力矩之和为零，所以有,Fit ri=（miri2）,令J miri2 J为刚体对于转轴的转动惯量,用M表示Fit ri（合外力矩）,则有,即刚体作定轴转动时，合外力矩等于刚体的转动惯量与角加速度的乘积，称为刚体定轴转动的转动定律。,MJ,1、刚体所受的对于某一固定转动轴的合外力矩等 于刚体对此转轴的转动惯量与刚体在此合外力矩作用下所获得的角加速度的乘积。,1、与转动惯量有关的因素：刚体的质量转轴的位置刚体的形状,实质与转动惯量有关的只有前两个因素

9、。形状即质量分布，与转轴的位置结合决定转轴到每个质元的矢径。,说明：,转动惯量的定义：,对于质量连续分布的刚体，计算转动惯量时，将刚体分割成无限多个质量元，,2、转动惯量的计算：,dm为质量元，简称质元。,质量为线分布,质量为面分布,质量为体分布,其中、分别为质量的线密度、面密度和体密度。,dm的计算方法如下：,或,例1：长为 l、质量为 m 的匀质细杆，绕与杆垂直的质心轴转动，求转动惯量 J。,解：细杆为线质量分布，单位长度的质量为：,建立坐标系，坐标原点选在质心处。分割质量元 dm,长度为 dx,绕细杆质心轴的转动惯量为,例2：长为 l、质量为 m 的匀质细杆，绕细杆一端轴转动，求转动惯量

10、 J。,解：细杆为线质量分布，单位长度的质量为：,建立坐标系，坐标原点选在边缘处。分割质量元 dm,长度为 dx,绕细杆边缘轴的转动惯量为,例3：半径为 R 质量为 M 的圆环，绕垂直于圆环平面的质心轴转动，求转动惯量J。,解：,分割质量元 dm,圆环上各质量元到轴的距离相等，,绕圆环质心轴的转动惯量为,R,例4：半径为 R 质量为 M 的圆盘，绕垂直于圆盘平面的质心轴转动，求转动惯量 J。,r,解：圆盘为面质量分布，单位面积的质量为：,分割质量元为圆环，圆环的半径为 r 宽度为 dr,r,M,由圆环的转动惯量公式,由,则圆盘的转动惯量为：,则圆环质量,3、典型刚体的转动惯量：,定理表述：刚体

11、绕平行于质心轴的转动惯量 J，等于绕质心轴的转动惯量 JC 加上刚体质量与两轴间的距离平方的乘积。,刚体绕质心轴的转动惯量最小。,第一类问题：已知运动情况和 J，确定运动学和动力学的联系-，从而求出 M或 F。,例1：长为 l、质量为 m 的细杆，初始时的角速度为 0，由于细杆与桌面的摩擦，经过时间 t 后杆静止，求摩擦力矩 M阻。,解：以细杆为研究对象，只有摩擦阻力产生力矩，由匀变速转动公式：,细杆绕一端的转动惯量,则摩擦阻力矩为：,第二类问题：已知 J 和力矩M：求出运动情况 a 和 及 F。,例2：质量为 m1和m2两个物体，跨在定滑轮上 m2 放在光滑的桌面上，滑轮半径为 R，质量为

12、M，求：m1 下落的加速度，和绳子的张力 T1、T2。,T1,T2,解：受力分析,（1）,（2）,（3）,联立方程（1）-（4）求解得,讨论：当 M=0时,例3、一根长为l、质量为m的均匀细直棒，其一端有一固定的光滑水平轴，因而可以在竖直平面内转动。最初棒静止在水平位置，求它由此下摆角时的角加速度和角速度。,解：棒下摆为加速过程，外力矩为重力对O的力矩。棒上取质元dm,当棒处在下摆角时，重力矩为：,重力对整个棒的合力矩与全部重力集中作用在质心所产生的力矩一样。,由转动定律：,第三类问题：已知运动情况 和力矩M，求未知刚体转动惯量 J。,例四：测轮子的转动惯量用一根轻绳缠绕在半径为 R、质量为

13、M 的轮子上若干圈后，一端挂一质量为 m 的物体，从静止下落 h 用了时间 t,求轮子的转动惯量 J。,以m为研究对象,以M为研究对象,物体从静止下落时满足,联立方程（1）-（4）求解得：,补充方程：,第三节,角动量角动量守恒,在质点平动中介绍了冲量的概念-力对时间的累积效应。在刚体转动中引入冲量矩的概念-力矩对时间的累积效应。,1.角动量,定义:质点m对原点O的角动量为,方向：从r沿小于角右旋到v，大拇指指向。,大小：,作圆周运动质点,方向垂直圆周运动的平面。,单位：kg m2 s-1,2.角动量定理,设合外力对质点产生的力矩为：,则,即作用于质点的合外力对参考点O的力矩，等于质点对该点的角

14、动量随时间的变化率。,定义 冲量矩：,对同一参考点O，质点所受的冲量矩等于质点角动量的增量。称为质点的角动量定理。,3.角动量守恒定律,当质点所受的对参考点O的合力矩为零时，质点对该参考点的角动量为一恒矢量，称为质点的角动量守恒定律。,1、刚体的角动量,刚体上的一个质元,绕固定轴做圆周运动角动量为：,所以刚体绕此轴的角动量为：,单位：千克米2/秒，kgm2/s,方向：与角速度方向一致。,刚体对固定转动轴的角动量L,等于它对该轴的转动惯量J 和角速度 的乘积。,2、角动量定理,质点的角动量定理为：,对质点组讨论:,微分形式的角动量定理,左边为对某个固定轴的外力矩的作用在某段时间内的积累效果，称为

15、冲量矩；,右边为刚体对同一转动轴的角动量的增量。,积分形式的角动量定理,3、角动量守恒定律,刚体是特殊的质点组,在定轴转动中只考虑力矩和角动量平行于转轴的分量，设转轴为z 轴,取角动量定理沿z轴的分量式有:,L不变的含义为：刚体：J不变 非刚体：J不变,M=0的原因，可能F0；r=0;Fr.在定轴转动中还有M0，但它与轴平行，即Mz=0,对定轴转动没有作用，则刚体对此轴的角动量依然守恒。,明确几点:,.对于刚体定轴转动，转动惯量J为常数，角速度 也为常数，=0,.对于非刚体，转动惯量发生变化的物体，,即刚体在受合外力矩为0时，原来静止则永远保持静止，原来转动的将永远转动下去。证明了牛顿第一定律

16、。,由于J=C，,角动量守恒定律:当刚体受到的合外力矩为0 时，刚体的角动量守恒。,再如：跳水运动员的“团身-展体”动作，当运动员跳水时团身，转动惯量较小，转速较快；在入水前展体，转动惯量增大，转速降低，垂直入水。,例如：花样滑冰运动员的“旋”动作，当运动员旋转时伸臂时转动惯量较大，转速较慢；收臂时转动惯量减小，转速加快。,例1、如图所示,一质量为m的子弹以水平速度射入一静止悬于顶端长棒的下端,穿出后速度损失3/4,求子弹穿出后棒的角速度。已知棒长为l,质量为M.,解:以f代表棒对子弹的阻力,对子弹有:,子弹对棒的反作用力对棒的冲量矩为：,因,由两式得,请问:子弹和棒的总动量守恒吗?为什么?,

17、总角动量守恒吗?若守恒,其方程应如何写?,近日点,远日点,解：在彗星绕太阳轨道运转过程中，只受万有引力作用，万有引力不产生力矩，系统角动量守恒。,由质点的角动量定义：,即,例2：彗星绕太阳作椭圆轨道运动，太阳位于椭圆轨道的一个焦点上，问系统的角动量是否守恒？近日点与远日点的速度谁大？,即,近日点 r 小 v 大，远日点 r 大 v 小，,这就是为什么彗星运转周期为几十年，而经过太阳时只有很短的几周时间。彗星接近太阳时势能转换成动能，而远离太阳时，动能转换成势能。,力矩的功 刚体绕定轴转动的动能定理,第四节,在功和能一章中我们研究了力对空间的累积效应功，在这节中要介绍力矩对空间的累积效 应力矩的

18、功。,将F分解为切向力和法向力。,刚体转过 d,作用点的位移为 ds,法向力Fn 不作功，只有切向力作功。,其中,则,由功的定义,称为力矩的功。,对于恒力矩作功,恒力矩的功为力矩与角位移的乘积。,由功率的定义：,与平动中的功率比较,刚体在力矩的作用下转过一定角度，力矩对刚体做了功，作功的效果是改变刚体的转动状态，改变了刚体的什么状态？,其中力矩,则功,由力矩的功定义：,与质点的动能定理比较：,为质点的平动动能。,定义：,为刚体的转动动能。,刚体转动的动能定理：合外力矩对绕定轴转动的刚体作功的代数和，等于刚体转动动能的增量。,例1：一细杆质量为m，长度为l，一端固定在轴上，静止从水平位置摆下，求

19、细杆摆到铅直位置时的角速度。,解：以杆为研究对象，,只有重力产生力矩，且重力矩随摆角变化而变化。,始末两态动能：,由动能定理：,重力矩作功：,当系统中既有平动的物体又有转动的刚体，且系统中只有保守力作功，其它力与力矩不作功时，物体系的机械能守恒。,例：一个质量为、半径为的定滑轮（当作均匀圆盘）上面绕有细绳，绳的一端固定在滑轮边上，另一端挂一质量为的物体而下垂。忽略轴处摩擦，求物体由静止下落高度时的速度和此时滑轮的角速度。,解：据机械能守恒定律：,物理问题探索,论文的书写简介与要求发现你身边的力学问题及相关应用写一篇物理小论文,科学论文形式与要求,题 目摘要:主要内容的概括和主要结论与创新处。关键词:3-5个专业名词论文主体:（1）前言介绍研究对象、研究背景与意义（2）主要内容一般分成几个部分来叙述，包括理论、实验方法、观 察的现象、实验数据或研究结果、结果的分析、结果的物理解释等。（3）结论研究获得的主要结果和研究的总结。（4）致谢感谢合作者和提供过帮助的机构与人。参考文献:列出该研究参考的主要文献和本论文中引用的文献，特别是研究相关的权威文献和重要文献，格式按各杂志的要求。,