制图第二章平面.ppt

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1、第 2 章,平 面,目 录,2.1 平面的投影,2.2 平面上的点和直线,2.3 直线、平面与平面的相对位置,2.1 平面的投影,2.1.1 平面的投影图,2.1.2 各类平面的投影特性,几何元素表示法,一个平面的空间位置可以由下列任一组几何元素来确定:,不在同一直线上的三个点；一直线和直线外的一个点；相交两直线；平行两直线；任意平面图形。,迹线表示法,平面的迹线:平面与投影面的交线。,正面迹线PV 水平迹线PH 侧面迹线PW,迹线是投影面内的直线。因此,迹线的一个投影与其本身重合,另外两个投影与相应的投影轴重合（一般不画出）。平面内任一直线的迹点必在平面的同面迹线上。,PV,PH,PW,迹线

2、的投影性质,X,Z,O,PZ,YH,PYH,PYW,YW,PX,(a),(b),迹线是平面内的直线，因此，平面可用它的两条迹线表示。,2.1.2 各种位置平面的投影特性,2)投影面垂直面,3)投影面平行面,1)一般位置平面,ABCP面投影积聚为一直线 abc,ABCP面投影反映实形 abcABC,ABC倾斜于P面投影为缩小的类似形 abcABC,平面对一个投影面的投影特性,对三个投影面都处于倾斜位置的平面。,1)投影面倾斜面(一般位置平面),三个投影都是缩小的类似形。,a,X,a,例 含点A作一般位置平面。,分 析 这种平面不含投影面垂直线。含一点可作无穷多个一般位置平面。,铅垂面-仅H面的平

3、面正垂面-仅V面的平面侧垂面-仅W面的平面,2)投影面垂直面,垂直于一个投影面而对另外两个投影面倾斜的平面。,铅 垂 面,水平投影p 积聚为一与投影轴倾斜的线段，并反映、角。正面投影p 和侧面投影p”都是缩小的类似形。,铅垂面的迹线表示法,平面H投影积聚性在PH上，它与X轴的夹角即；pvX轴。,投影面垂直面在投影图中一般可只画有积聚性的迹线的投影（如PH），没有积聚性的迹线的投影（如pv）可省略不画。,正 垂 面,正面投影p 积聚为一与投影轴倾斜的线段，并反映、角。水平投影p 和侧面投影p”都是缩小的类似形。,侧 垂 面,侧面投影p 积聚为一与投影轴倾斜的线段，并反映、角。水平投影p 和正面投

4、影p 都是缩小的类似形。,X,W,V,H,Y,O,RV,RZ,RW,RY,RH,R,z,o,yw,x,YH,RV,RZ,RW,RYW,RH,RYH,特点：RV/RH,侧垂面的迹线表示法,a,X,a,用相交两直线表示,例 含点A（a,a)作=30的正垂面。,分析：正垂面的正面投影为与X轴斜交的直线，它与X轴的夹角即。,X,用迹线表示,例 含点A（a,a)作=30的正垂面。,a,a,X,a,b,b,a,例 含AB(ab,ab)作铅垂面。,分析：铅垂面的水平投影为斜交于X轴的直线，有积聚性。本题铅垂面用三角形表示。,3)投影面平行面,平行于某一投影面的平面。,正平面-/V面的平面 水平面-/H面的平

5、面 侧平面-/W面的平面,正平面,正面投影p 反映平面P的实形；水平投影p 和侧面投影p”都积聚为直线，分别OX轴和OZ轴。,水平面,水平投影p反映平面P的实形；正面投影p 和侧面投影p”都积聚为直线，分别OX轴和OYW轴。,Z,V,H,X,p,pv,水平面的迹线表示法,(a),a,X,a,例 含点A作 ABC/V面。,分 析:正平面的水平投影积聚为直线并X轴。作法：作abc/X轴。作abcABC。,b,c,b,X,c,例 含水平线BC作水平面。,图 4-9(b),所作水平面P用迹线表示，PV与bc重合。,2.2 平面上的点和直线,2.2.2 平面上的特殊直线,2.2.1 平面上取直线和点,直

6、线在平面内的几何条件:,B,A,C,P,(1)通过平面内的两已知点,平面上取直线和点,1)平面上取直线,E,F,D,结论：要在平面内取直线,必须先在平面内的已知直线上取点,再过点作直线。,(2)通过平面内的一点并平行于平面内的另一直线。,P,直线在平面内的几何条件:,b,a,c,b,X,c,a,作法:在平面内的两已知边上各取一点连成直线。,例 在ABC给定的平面内作一任意直线。,直线在ABC内,分析:如在P面内则与AB,AC或者相交;或者与其中一条相交而与另一条平行。,b,c,b,X,c,a,1,2,2,1,直线 不在 P面内。,a,例 判断直线是否在P(AB AC)内。,b,a,b,z,yw

7、,yH,X,O,c,a,c,例 完成平面图形的水平投影，并求侧面投影。,分析：ABC中的 BCH面,ACW面;又12bc,即BC。同理，AC。,点在平面内的几何条件:点在该平面内的一已知直线上。,在平面内取点的一般方法：含该点在平面内作辅助直线,然后在所作直线上取点。,2)平面上取点,直线L在P面内，M点在平面P内。,b,c,b,X,c,a,a,d,d,k,1,例 已知点K在平面ABCD内，据k求k。,分析：K点在平面ABCD内，则它必在平面内的一条直线上。,b,b,X,c,a,a,d,d,例 完成平面四边形ABCD的水平投影。,分析：平面ABCD的对角线一定相交。,b,b,X,c,a,a,c

8、,d,d,k,k,例 判断点K(k、k)是否在平面(ABCD)内。,分析:如点K在平面内，则它与平面内任一点的连线(如KD)与AB相交或平行。,K点不在平面(ABCD)内。,例 已知点E 在ABC 平面上，且点E 距离H 面15，距离V 面10，试求点E 的投影。,讨论 当平面为投影面垂直面时，可利用平面投影的积聚性求点或线而不必另作辅助线。,X,PH,1,k,PV,k,(a),V,H,X,p,pv,PH,k,K,H,K,a,X,a,b,b,c,c,k,1,a,b,c,k,1,B,A,C,讨论 当点在平面内，其投影在面有积聚性的投影上。点的投影在面积聚性投影上，则点在平面内。,b,a,c,b,

9、c,a,X,1)平面上的投影面平行线,1.符合投影面平行线的投影特性;2.满足直线在平面内的几何条件。,投影特性,平面上的特殊直线,b,c,b,X,c,a,a,d,d,例 在平面(ABCD)内含点C作水平线。,分 析 所作水平线的正面投影X轴，且与ab、cd相交。,例 在平面ABC内作一条水平线，使其到H面的距离为10mm。,n,m,n,m,b,c,b,X,c,a,a,d,d,例在平面（ABCD）内作EFV面，使距V面为15。,分 析 所作正平线的水平投影X轴，且与ab,cd相交。,2)平面上的最大斜度线,1.定义 在平面内的所有直线中对某一投影面夹角最大的直线，称为平面内对这个投影面的最大斜

10、度线。,有三种：平面内对H面的最大斜度线平面内对V面的最大斜度线平面内对W面的最大斜度线,2.投影特性 平面对某一投影面的最大斜度线必定平面内对该投影面的平行线。,平面内对H面的最大斜度线平面内的水平线；平面内对V面的最大斜度线平面内的正平线；平面内对W面的最大斜度线平面内的侧平线。,证明：平面内对H面的最大斜度线平面内的水平线。它们的水平投影互相垂直。,已知：ANH面(即PH），AM1AN(即PH）。求证：AM1为面内过A点对H面的最大斜度线，并am1PH。,ANH面，根据直角投影特性：am1an(即PH）。,Am1aPH，Am1a即为P、H两平面的两面角。即平面P对H面的倾角。比较Am1a

11、与Amna,m1a PH,为到PH的最短距离，为n中的最大。,结论：AM1与H面的夹角即平面P对H面的倾角。,应用 用来求平面对某一投影面的倾角。,平面内对H面的最大斜度线与H面的夹角即平面对H面的倾角；平面内对V面的最大斜度线与V面的夹角即平面对V面的倾角。平面内对W面的最大斜度线与W面的夹角即平面对W面的倾角。,b,c,b,X,c,a,a,例 求ABC对V面的倾角。,分析：利用平面对V面的最大斜度线求。,例 求ABCD对H面的倾角。,分析：利用平面对H面的最大斜度线求。,b,c,b,c,a,a,d,d,e,f,e,f,2.3.1 平行,2.3.2 相交,2.3.3 垂直,2.3 直线、平面

12、与平面的相对位置。,2.3.1 平行,1)直线与平面平行,2)两平面平行,1)直线和平面平行,定理 如果平面外的一条直线和平面内的一条直线平行，那么这条直线和这个平面平行。,A,B,有关直线与平面平行的作图问题：作直线已知平面。作平面已知直线。判断已知直线、平面是否平行。,例 含点I(1,1)作平面与直线AB(ab,ab)平行。,1,1,a,a,b,b,X,作 法(1)过点作直线与AB平行(2)含直线作一任意平面。,例 判断直线AB与是否平行。,a,b,3,2,1,a,b,3,1,2,x,作 法(1)在平面任一投影中，作面内直线CFAB的同面投影。(2)求CF的另一投影，并判断直线CF是否AB

13、。,特殊情况 若直线与某一投影面的垂直面平行，则它们在该投影面上的投影一定平行。,X,直线投影平面有积聚性的同面投影,它们在空间必互相平行,特殊情况 若直线与平面同时垂直某一投影面，则它们空间一定平行。,X,直线与平面对某一投影面同时有积聚性,它们在空间必互相平行。,PH,2)两平面平行,定理 如果一个平面内的相交两直线与另一个平面内的相交两直线对应平行，那么这两个平面平行。,P,Q,A,B,C,D,有关两平面平行的作图问题：作平面已知平面。判断两已知平面是否平行。,例 含点A1作平面平行定平面(A2B2A2C2)。,c2,X,a1,a2,b2,b2,a1,a2,c2,c2,X,a2,b2,b

14、2,a2,c2,例 判断两平面是否平行。,分析：若两面相互平行，则它们有一对相互平行的相交直线。,讨论 相互平行的两投影面垂直面，它们的一对有积聚性的同面投影必平行。,若两正垂面相互平行，则它们的正面投影相互平行。,若两铅垂面相互平行，则它们的水平投影相互平行。,X,x,1,2,3,1,2,3,分析：若两面相互平行，则它们的有积聚性的同面投影相互平行。,例 含点A1作平面平行平面。,a,a,2.3.2 相交,1)特殊直线、平面相交(重影性法),2)一般直线、平面相交(辅助平面法),相 交 问 题,直线与平面不平行时即相交，交点是直线与平面的共有点；两平面不平行时必相交，其交线是两平面的共有线。

15、,1)重影性法,交点、交线为直线与平面、平面与平面两者所共有，如果其中有一个处于垂直投影面的特殊位置，则可利用其投影的积聚性直接求出交点或交线的一个投影，另外的投影可根据其在线上（或在面内）特点按投影关系求出。,例 求直线AB与铅垂面EFGH的交点K。,求出交点后，对于直线与平面投影重叠的部分，要判别直线的可见性。,（1）求出交点后，对于直线与平面投影重叠的部分，要判别直线的可见性（不重叠的部分都是可见的）。（2）交点是直线可见部分与不可见部分的分界点。（3）判别方法 A.直接观察;B.利用交叉直线的重影点。,关于直线可见性的判别,k,1(2),x,c,e,d,a,b,c,a,b,e,d,例

16、求直线AB与铅垂面CDE的交点K。,分 析 利用铅垂面水平投影的积聚性求交点,1,x,c,e,d,a,（b）,c,a,b,e,d,例 求正垂线AB与CDE的交点K。,分 析 利用线V面投影的积聚性确定交点的一个投影，根据点在面上求出交点的另一投影。,1,2,k,2,两平面不平行时必相交，其交线是两平面的共有线，是平面可见部分与不可见部分的分界线。两平面的交线是直线。因此，求作两平面交线的方法是：求出交线上的两个点，在两个平面的公共范围处连出交线。,两平面相交,d,e,a,a,b,b,X,e,d,f,f,c,c,例 求DEF(H面)与ABC的交线KL。,分 析 利用dfe的积聚性，求两平面交线。

17、,1(2),（1）求出交线后，对于两平面同面投影重叠的部分，要判别可见性（不重叠的部分都是可见的）。（2）交线是可见部分与不可见部分的分界线。（3）判别方法:A.直接观察;B.利用交叉直线的重影点。,(a)全交,(b)互交,两平面相交的两种情况,全交：一个平面全部穿过另一个平面;互交：两个平面的边线互相穿过。,分 析 利用水平面efg的积聚性求两平面交线。,e,c,g,f,1,e,f,g,1,d,b,a,k,l,l,a,b,c,d,k,x,例 求EFG(H面)与平面ABCD的交线，并判断可见性。,本题中两平面图形只有部分互交。求交时要注意除去交线多余的部分。,当两平面同时垂直某一投影面时，它们

18、的交线也是此投影面的垂直线。,x,e,g,f,e,f,g,c,b,a,a,b,c,例 求两面的交线。,当直线和平面都处于一般位置时，交点的求法是：,含已知直线作辅助平面;求辅助平面与已知平面的交线;交线与已知直线的交点即为所求。,为了作图方便，应选择特殊位置平面作为辅助平面。,2)辅助平面法,例 求直线DE与平面ABC的交点。,a,a,b,b,c,c,X,d,d,e,e,a,a,b,b,c,c,X,d,d,e,e,k,1(2),例 求直线DE与平面ABC的交点。,利用两交叉直线的重影点判别直线的可见性。,解法空间分析：含点与一直线作平面，求与另一直线的交点。,a,f,2,3,g,4,1,x,2

19、,a,3,4,k,1,例 含点A作直线AB使与交叉直线、都相交。,两一般位置平面的交线,常用方法：1 线面交点法 2.辅助平面法,1.线面交点法,当相交两平面都用平面图形表示，且同面投影有互相重叠的部分时，可用求直线和平面交点的方法找出交线上的两个点。,例 求ABC和DEF的交线。,a,a,f,f,b,b,c,c,X,d,d,e,e,a,a,f,f,b,b,c,c,k,X,d,d,e,e,l,l,1(2),3(4),例 求ABC和DEF的交线。（判别可见性）,若线段的投影与另一平面图形的投影不重叠，就表明该线段在空间不直接与平面图形相交（需将平面图形扩大后才有交点），则不宜选这类直线来求交点。

20、,使用线面交点法时注意：,2.辅助平面法,作图原理求P、Q平面的交线时，任作平面S1，使与Q相交得交线L1，与P相交得交线L2；L1、L2的交点I为P、Q、S1三面的共有点，即P、Q交线上的一个点。再作平面S2，又可得到交线上的另一个交点。连接I 即P、Q的交线。,b,例 求ABC和平面(L1 L2)的交线。,c,a,x,a,b,c,l2,l1,l2,l1,2.3.3 垂直,1)直线与平面垂直,2)两平面垂直,1)直线与平面垂直,定理 如果一条直线和一个平面内的两条相交直线垂直，那么这条直线垂直于这个平面。,直线L平面P内的两相交直线AB、CD,则LP面,L,B,A,C,D,P,直线与平面垂直

21、的投影特性：直线的水平投影平面内的水平线的水平投影，直线的正面投影平面内的正平线的正面投影。,c,C,mk ef,mk ad,MKABC所确定的平面。,有关直线与平面垂直的作图问题：作直线已知平面；作平面已知直线。判断已知直线、平面是否垂直。,例 含点E作直线垂直于ABC，并求垂足。,a,a,b,b,c,e,c,e,X,分 析 先求平面的垂线，然后求垂线与平面的交点。,(b)已知,例 求C点到直线AB的距离。（分析）,a,a,b,b,c,c,X,解题步骤:1.过C点作P面直线AB;2.求AB与P面的交点K;3.求垂线CK的实长。,a,a,b,b,c,c,例 求C点到直线AB的距离。（作图）,X

22、,解题步骤:1.过C点作P面直线AB;2.求AB与P面的交点K;3.求垂线CK的实长。,例 已知ABBC，求bc。,a,a,b,b,c,X,A,B,C,分 析1.过B点作P面直线AB 则BC一定在P面内；2.在P面内求C点。,2)两平面垂直,定理 如一直线一平面，则包含这直线的一切平面都该平面。反之，如两平面互相垂直，则从第一平面内的任意一点向第二平面所作的垂线，必定在第一平面内。简述 如一平面内有一直线垂直于另一平面，则此两平面互相垂直。,两平面垂直的条件,有关两平面垂直的作图问题：作平面已知平面；判断两已知平面是否垂直。,例 含点A作平面垂直于。,1,2,3,1,2,3,5,4,5,4,c

23、,a,x,a,c,分 析 含点A只能作一直线定平面，但此垂线可作无穷多个平面，即本题有无穷多解。,综合问题解题示例,含定点或直线作平面及在定平面内取点、线。求直线与平面的交点。求两平面的交线。含定点作直线（或平面）平行于定平面。含定点作直线垂直于定平面。含定点作平面垂直于定直线。,必须熟练掌握以下六个基本问题的作图方法：,例:作直线AB使与L平行，并与两交叉直线、相交。,空间解题分析：含一直线作面平行直线L，求面与另一直线的交点，过交点作线平行直线L。,1,3,1,2,3,l,4,l,4,2,x,5,5,b,b,a,a,例 已知点A到的距离为15，求a。,1,3,1,2,3,4,4,2,x,5,6,6,a,a,b,B0,k,f,k,f,5,解题步骤：作直线平面；求垂线上距面为15的点；过点作面平行原面；A点在平行面内，在面内作线求A点水平投影。,