利息理论(金融数学).ppt

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1、利息理论 Interest Theory 讲授：南京财经大学 曾卫,使用教材：21世纪保险精算系列教材金融数学孟生旺中国人民大学出版社,课程概述,利息理论是用数理分析的方法对利息及其相关问题进行定量分析的理论。它是精算学的主要基础之一，也是保险产品定价理论和金融产品定价理论的基础。利息理论是金融学、保险等专业的一门基础课，它要探讨的主要内容是与利率和利息有关的理论及应用问题。本课程由理论部分和应用部分两部分组成。理论部分介绍了利息理论的主要内容，包括利率、贴现率、利息力、贴现函数和累积函数等利息的度量工具，并讨论了各种年金的计算等；应用部分探讨了利息理论在投资分析和财务管理等领域的具体应用，包

2、括收益率、债务偿还、证券价值、衍生工具、利率风险、利率期限结构等内容。这门课程所涉及的内容以及所提供的方法具有极为广泛的适用性，其应用范围已远远超出了保险精算领域，在投资分析、资产定价、财务管理、理财规划等方面都有很大的应用价值。,课程简介,利息理论（又称复利数学），它是以经济理论为基础，应用简单的数学工具给出有关利息和年金的计算方法。美国耶鲁大学著名经济理论家欧文费雪（Irving Fisher）在1930年出版的利息理论（The Theory of Interest，1930）标志着利息理论学科的诞生。费雪（I.Fisher）在其利息理论中对利息的概念刻划得淋漓尽致。“任何物品都是不同程度

3、的耐用品，耐用品能在未来某个时段内提供一连串的服务，而其全部价值的折现之和，构成这物品的现值”，这个观点解释了人们为什么会悉心照顾一桶十年后才开的红酒、为什么要盖一所能用上两百年的房子。随着社会经济的发展，利息理论已经渗透到保险精算、财务分析、证券投资、资产定价、金融风险管理等各个领域。,课程简介,中华人民共和国保险法（2009年修订）第八十五条规定：“保险公司应当聘用经国务院保险监督管理机构认可的精算专业人员，建立精算报告制度。保险公司应当聘用专业人员，建立合规报告制度。”中国保险监督管理委员会1999年组织了中国首次精算师资格考试，当年有43人获得中国精算师资格。中国精算师考试科目共有19

4、门课（其中准精算师有9门课，精算师10门课）。北美精算学会（SocietyofActuaries,SOA）的精算师资格考试课程是为寿险精算人员所设计的。其考试分为两部分，准精算师课程和精算师课程。2000年学会开始实行新的考试制度，一共包括8门课程。利息理论是中国准精算师和北美精算学会准精算师的必考科目，也是许多财经类大学保险精算专业研究生入学考试的必考科目。,中国精算师资格考试,中国精算师资格考试(金融数学),考试形式:选择题考试要求:本科目要求考生具有较好的数学知识背景。通过学习本科目,考生应该熟练掌握利息理论、利率期限结构与随机利率模型、金融衍生工具定价理论、投资组合理论的主要内容，在了

5、解基本概念、基本理论的基础上，掌握上述几部分内容涉及的方法和技巧。考试内容(结构)：A、利息理论(分数比例约为30%)1.利息的基本概念（分数比例约为4%）2.年金（分数比例约为6%）3.收益率（分数比例约为6%）4.债务偿还（分数比例约为4%）5.债券及其定价理论（分数比例约为10%）B、利率期限结构与随机利率模型(分数比例约为 16%)1.利率期限结构理论（分数比例约为10%）2.随机利率模型（分数比例约为6%）C、金融衍生工具定价理论(分数比例约为26%)1.金融衍生工具介绍（分数比例约为16%）2.金融衍生工具定价理论（分数比例约为10%）D、投资理论(分数比例约为28%)1.投资组合

6、理论（分数比例约为12%）2.资本资产定价（CAPM）与套利定价（APT）理论（分数比例约为16%）,中国精算师资格考试,世界主要国家的保险精算资格考试,北美精算学会,世界主要国家的保险精算资格考试,英国精算学会,利息理论在保险专业课程体系中的地位,教学目的,在保险专业开设利息理论这门课，其目的是为学习保险精算的其他几门专业课打下一个扎实的基础，同时也为学习金融学、保险学的其他相关课程提供理论和方法支撑。学习这门课程，要求掌握它的基本理论、基本方法和基本技能。通过对本课程的学习，能够比较完整地掌握利息理论的基本理论框架和基本方法体系，并将它们运用于现代保险、银行、投资分析、财务管理、理财规划等

7、领域的实务工作中去。,教材和参考书目,教 材：孟生旺：金融数学（第二版），中国人民大学出版社，2009年。参考书目：1、美：利息理论，上海科学技术出版社，1995年版；2、刘占国：利息理论，南开大学出版社，2000年版；3、李晓林：利息理论，经济科学出版社，1999年版；4、孟生旺 袁卫：利息理论及其应用，中国人民大学出版社，2001年版；5、熊福生：利息理论，武汉大学出版社，2004年版；6、张连增：利息理论，南开大学出版社，2005年版；7、张运刚：利息理论与应用，西南财经大学出版社，2006年版。,第1章 利息的度量,内容提要：利息是借款人使用他人资金所需支付的代价，或贷款人出让资金所获

8、得的报酬。对利息恰当的度量是利息理论应用于金融和保险领域的基础。度量利息与计算利息的方式（单利，复利，连续时间复利）有关；任何时刻资金的累积值依赖于其所经历的时间；不同时刻资金价值是不能直接比较的，须按一定的计算（折现，累积）把不同时刻的资金价值换算到同一时刻进行比较。本章要解决以下问题：复利和单利有何区别？复利产生的利息是否总大于单利产生的利息？如果复利在一年内有多次利息结转，甚至按时间连续结转利息时，复利的利息会有何变化？贴现率和利率有何关系？实际利率与名义利率有何关系？实际贴现率和名义贴现率有何关系？关键词：累积函数；金额函数；单利；复利；实际利率；实际贴现率；名义利率；名义贴现率；利息

9、力；贴现力；累积因子；贴现因子。,第1章 利息的度量,教学要求：本章的重点是围绕利息的度量和利息问题的求解这两大问题展开讨论。要求掌握有关利息的各种度量工具以及与此相联系的累积函数和贴现函数，能够熟练地运算与利息有关的一些问题，特别要求重点掌握与复利有关的计算问题。要求对利息的各种度量工具之间的相互关系比较熟悉。教学内容：1.1 累积函数与实际利率 1.2 单利 1.3 复利 1.4 累积函数的证明 1.5 贴现函数 1.6 贴现率 1.7 名义利率 1.8 名义贴现率 1.9 利息力 1.10 贴现力 1.11 利率概念辨析,1.1 累积函数与实际利率,关于利息的几个基本概念本金（princ

10、ipal）：初始投资的资本金额。累积值（accumulated value）：过一段时期后收到的总金额。利息（interest）累积值与本金之间的差额。累积函数(Accumulation function)累积函数a(t)及其性质累积函数:0时刻的1单位货币到t时刻时的累积值，记为a(t)。累积函数a(t)也称为t期累积因子，因为它是单位本金在t期末的累积值。性质：(1)a(0)=1；(2)a(t)通常是时间t的递增函数；(3)如果按时间连续结转利息，a(t)是时间t的连续函数；如果间断结转利息，a(t)为间断函数（若在每期末结转利息，则是以结转利息时刻为间断点的阶梯函数）。(注)：一般假设利

11、息是连续产生的。,1.1 累积函数与实际利率,累积函数金额函数（Amount function）当原始投资不是1个单位的本金，而是 k 个单位时，则把 k个单位本金的原始投资在时刻 t 的累积值记为A(t),称为金额函数(也称为总额函数、总量函数)。金额函数：0时刻的k单位货币到t时刻时的累积值，记为A(t)。性质：(1)A(0)=k；(2)A(t)=ka(t),k 0,t 0；(3)如果按时间连续结转利息，A(t)为关于时间t的连续函数。金额函数和累积函数可以互相表示：A(t)=A(0)a(t)(1-2),1.1 累积函数与实际利率,累积函数利息（interest）的数学定义金额函数 A(t

12、)在时间段 t1,t2 内所获得的利息金额为 I(t1,t2)=A(t2)A(t1)从投资之日算起，在n个时期所获得的利息金额记为 I(n)=A(n)-A(0)A(0)(a(n)-1)，n 1(1-3)其中A(s)-A(s-1)表示金额函数在时间段(s-1,s)上产生的利息。(注)：利息金额 I(n)在整个时期内产生，但在最后时刻实现（支付、获取）。,1.1 累积函数与实际利率,实际利率（effective rate of interest）利息率的基本含义 利息率：是一定时期内产生的利息与投入或贷出的本金之比率，简称为利率。利息率的具体形式年利率，用本金的表示；月利率，用本金的表示；日利率，

13、用本金的0表示。实际利率的概念 某一度量期的实际利率是指该度量期末得到的利息金额与此度量期开始时投资的本金金额之比。实际利率常用字母i表示。实际利率与名义利率的根本区别 用实际利率表示的利息只在给定的时期期末支付一次；而名义利率计算的利息在一期内可能进行多次支付。,1.1 累积函数与实际利率,实际利率实际利率实质是单位本金在给定的某一时期上产生的利息金额。累积函数a(t)必然通过两点：(0，1)和(1,1+i)。实际利率的表示形式单期（单阶段）实际利率计算公式：多期（多阶段）实际利率计算公式：第n个度量期（时间段(n-1,n)）实际利率相关的关系式：A(n)=A(0)(1+i1)(1+i2)(

14、1+in)a(n)=(1+i1)(1+i2)(1+in)(注)：若无特别说明，实际利率是指年利率，因此实际利率通常用表示。,1.2 单利(simple interest),单利的定义单利的概念：只有本金产生利息，投资期内任何时期已经产生的利息在后期不再计算利息。单利条件下的累积函数：a(t)=1+it(t=0,1,2,)(1-7)单利与实际利率的关系单利率为常数i时，实际利率it是时间t的单调减函数。1.2.3 常数单利率下的若干结论在常数单利率i下，累积函数 a(t)=1+it 金额函数 A(t)=A(0)a(t)=A(0)(1+it)=A(0)A(0)it 利息总额 I(t)=A(t)-A

15、(0)=A(0)it(是时间t的单调增函数)每期利息额 A(0)i(常数),1.2 单利(simple interest),单利的应用:投资时间t 的确定（1）严格单利规则：“实际/实际”，即投资天数按两个日期之间的实际天数计算，每年按实际天数计算。（2）精确单利规则：“实际/365”，即投资天数按两个日期之间的实际天数计算，每年按365天计算。（3）银行家规则(bankers rule)：“实际/360”，投资天数按两个日期之间的实际天数计算，而每年按360天计算。（4）常规单利规则：“30/360”，在计算投资天数时，每月按30天计算，每年按360天计算。在此规则下，两个给定日期之间的天数

16、可按下述公式计算：360(Y 2 Y 1)+30(M 2 M 1)+(D 2 D 1)其中支取日为Y2年M2月D2日，存入日为Y1年M1月D1日。,1.3 复利(compound interest),复利的定义复利的概念复利条件下的累积函数：a(t)=(1+i)t(t=0,1,2)常数复利率下的若干结论在常数复利率i下，累积函数 a(t)=(1+i)t 金额函数 A(t)=A(0)a(t)=A(0)(1+i)t 利息总额 I(t)=A(t)-A(0)=A(0)(1+i)t-11.3.2 复利与实际利率的关系 复利率为常数i时，实际利率it等于复利率。it=i,1.3 复利(compound i

17、nterest),例：如果本金为2000元，年利率为5%，分别计算在单利和复利的计息方式下：（1）9个月后的累积值；（2）2年零3个月后的累积值。解：单利计息方式下，（1）2000(1+0.050.75)=2075（元）（2）2000(1+0.052.25)=2225（元）复利计息方式下，（1）2000(1+0.05)0.75=2074.54（元）（2）2000(1+0.05)2.25=2232.06（元）(注)：无论是单利或复利，在使用其累积函数和金额函数进行计算时，时间t的单位要与利率i对应的时间单位一致。如果时期不足1年，则单利的累积值比较大；如果时期超过1年，则复利的累积值比较大。,1

18、.3 复利(compound interest),复利与单利的区别基本意义的比较：单利下，只有本金生利息；复利下，本金和已生利息均能生息。实际利率与时间的关系：在常数利率i下，单利条件下的实际利率it是时间t的单调减函数；复利条件下的实际利率it等于常数复利率，与时间无关。累积函数之间的关系：当t=0 or t=1时，1+it=(1+i)t；当 0t1 时，1+it(1+i)t；当 t1 时，1+it(1+i)t。1+it是t的线性函数，(1+i)t是t的凸函数。利息增长的特征：在同样长时期内，单利利息增长的绝对金额为常数；复利利息增长的相对比率为常数。,思考与讨论(1-1),1.累积函数和金

19、额函数各有什么作用？相互之间有什么联系？2.某一段时期的实际利率是指这段时期末得到的利息金额与期末累积值之比吗？3.累积函数a(t)的曲线必然通过哪两点？4.复利和单利有何区别？复利产生的利息是否总大于单利产生的利息？5.单利条件下的实际利率it相对于时间t表现出什么特征？复利条件下的实际利率it相对于时间t表现出什么特征？,1.4 累积函数的证明,单利的累积函数单利的性质：单利利息具有可加性，i(t+s)=it+is(t0,s0)单利条件下累积函数的性质：a(ts)=a(t)+a(s)-1单利条件下累积函数的变化率为常数，单利条件下的累积函数：a(t)=1+it(t0)1.4.2 复利的累积

20、函数复利条件下累积函数的性质：复利累积函数具有可积性，(1+i)ts=(1+i)t(1+i)s(t0,s0)复利条件下累积函数的单位变化率为常数，复利条件下的累积函数：a(t)=(1+i)t(t0),1.5 贴现函数(discount function),现值（present value)：未来的一笔资金在现在的价值。贴现过程和贴现函数的概念为了在t期末得到某个累积值，而在开始时投资的本金额称为该累积值的现值（折现值）。显然，t期末的累积值A(t)的现值为A(0)。由期末累积值求其现值的过程称为贴现（折现）过程。累积和贴现（折现）是互逆的过程，a(t)表示1单位的本金在t期末的累积值，而a-1

21、(t)表示为了在t期末得到累积值1，而在开始时投资的本金额。累积函数a(t)的倒数a-1(t)称为t期贴现因子或贴现函数（折现函数）。特别地，把一期贴现因子a-1(1)简称为折现因子(贴现因子)，记为v。,1.5 贴现函数(discount function),贴现函数的常见形式常数单利率下的贴现函数：(1-12)常数复利率下的贴现函数：(1-13)其中：t0;是贴现因子。()除非特别申明，今后一概用复利计算现值。贴现函数与累积函数的关系 期初1元在 t 时期末的累积值为(1+i)t，而 t 时期末支付1元的现值为vt=(1+i)-t。几个术语：贴现因子(discount factor)：v=

22、(1+i)-1t年贴现因子(t-year discount factor)：vt累积因子(accumulation factor)：(1+i)t年累积因子(t-year accumulation factor)：(1+i)t,1.6 贴现率,实际贴现率(effective rate of discount with compound interest)实际贴现率的定义 一个度量期的实际贴现率为该度量期内取得的利息金额与期末的投资可收回金额（期末累计值）之比，记为d。实际贴现率的表达式(1-14)(注)：实际利率大于实际贴现率(di)。贴现率是利率的增函数。利率与贴现率的比较利息是在期末收取的，

23、而贴现值（贴现利息）是在期初收取（扣除）的；利率是利息与期初本金的比率，贴现率是贴现值与期末累积值的比率；利率说明了资本在期末获得利息的强度，贴现率说明了资本在期初获得利息的强度。用实际贴现率表示实际利率(1-15),1.6 贴现率,例：若现有面额为100元的零息债券在到期前一年的时刻价格为95元，同时，一年期储蓄的利率为5.25，如何进行投资选择?存款还是购买债券？解：从贴现的角度看，零息债券的贴现率：d(100-95)/100=5%储蓄的贴现率：di/(1+i)=5.25/(1+5.25)=4.9885%因此投资债券合算。从利息的角度看，零息债券的利率：d=5%=1/20 i=d/(1-d

24、)=1/19=5.26%储蓄的利率为 5.25 5.26因此投资债券合算。,1.6 贴现率,实际贴现率与实际利率的一些重要关系重要关系式：d=iv(1-16)d=1-v,v=1-d(1-17)d=iv=i(1-d)=i-id,i-d=id(1-20)用实际贴现率表示贴现函数和累积函数 a-1(t)=vt=(1-d)t(1-18)a(t)=vt=(1-d)-t(1-19)累积函数和贴现函数的有关结论,1.6 贴现率,单贴现率用单贴现率d表示贴现函数 a-1(t)=1-dt(0t1/d)(1-21)有关结论：当单利利率等于单贴现率(i=d)时,根据单贴现率计算的现值小于根据单利利率计算的现值，即1

25、-dt(1+it)-1。当实际贴现率等于实际利率(d=i)时,根据贴现率计算的现值小于根据利率计算的现值，即(1-d)t(1+i)-t。0t1时,1-dt(1-d)t；t1时,1-dt(1-d)t；t=0 or t=1时,1-dt=(1-d)t。,利息度量问题的求解,利息度量问题的基本变量：(1)原始投资额或本金A(0)；(2)投资时期n；(3)利率i（实际利率）；(4)投资期末的累积值A(n)。需要求解的相关问题：(1)投资本金问题或现值问题；(2)投资时期问题或时间问题；(3)利率问题；(4)累积值问题。价值等式（价值方程）：是连接利息度量问题的4个基本变量的重要关系式。是求解以上4个相关

26、问题的基本工具。,思考与讨论(1-2),1.累积函数和贴现函数各有什么作用？相互之间有什么联系？2.根据复利利率计算的现值是否总大于根据单利利率计算的现值？3.某一段时期的实际贴现率是指这段时期末得到的利息金额与期末累积值之比吗？实际贴现率与实际利率之间有什么联系？4.贴现率与利率有什么差别？5.累积函数是否只能用利率表示？贴现函数是否只能用贴现率表示？,1.7 名义利率（nominal rate of interest）,名义利率的定义实际利率，是指在每个度量时期末结转一次利息的利率。名义利率是指在一个度量期内分多次结转利息的利率。定义名义利率的意义定义名义利率的目的是为了给出在不足一年的一

27、个时间区间内的实际利率。名义利率度量了资本在一个小区间内获取利息的能力。名义利率必须和单位度量期内的结转次数（计息期个数，结转利息的时间区间的个数）相联系。年名义利率=月实际利率12=季度实际利率4=半年实际利率2,1.7 名义利率（nominal rate of interest）,名义利率的表述季度的实际利率为3%：年名义利率为12%，每年结转4次利息；年名义利率为12%，每年复利4次；年名义利率为12%，每个季度结转一次利息；年名义利率为12%，每个季度复利一次。相关术语利息结转期：interest conversion period；每月结转一次：convertible monthly

28、；每季支付一次：payable quarterly；每半年复利一次：compound semiannually；,1.7 名义利率（nominal rate of interest）,等价的名义利率与实际利率的相互转换(1-22)(1-23)(注)：(1)在年名义利率一定的条件下，每年结转利息的次数越多，年实际利率将越大。(2)在年实际利率一定的条件下，每年结转利息的次数越多，年名义利率将越小。(当m i(n)因此，当m1时，ii(1)i(m)；当m1时，ii(1)i(m)。,Excel 应用,由每年复利 m 次的年名义利率 j 计算年实际利率，可以使用EXCEL命令“EFFECT（j，m）”

29、；由年实际利率 i 计算每年复利m次的年名义利率，可以使用EXCEL的命令“NOMINAL（i,m）”。,每年的利息结转次数小于1时的名义利率,在 n 个时期支付一次利息的名义利率（即每年结转1/n次利息）可以表示为 i(1/n)，其中 n 是大于1的正整数。名义利率 i(1/n)是指每 n 个时期支付一次利息，且每 n 个时期的实际利率为 i(1/n)n。例：2年期定期存款的年利率为 3.06%，其含义为i(1/2)=3.06%2年期的实际利率为i(1/2)2=3.06%2=6.12%问题：等价的1年期的实际利率i为多少？1+6.12%=(1+i)2 i=(1+6.12%)1/21=3.01

30、5%,存款利率：名义利率和实际利率的比较,注：小于一年时，年实际利率大于年名义利率；超过一年时，年实际利率小于年名义利率。,例：假设储蓄业务的年利率如下，如何比较这些利率？问题：1万元可以投资一年，请比较投资3个月的定期存款和投资一年期的定期存款，哪个合算？当3个月期的年利率为多少时，两种投资没有差异？分析：3个月的实际利率为1.8040.45，1年下来的累积值为(1+0.45%)4=1.01812(万元)；1年期存款的实际利率为2.52,1年下来的累积值为(1+2.52%)=1.0252(万元)。结论：直接投资1年合算。如果要求投资3个月期的定期存款等价于投资1年期的定期存款，则应有 由此可

31、得i(4)=2.4965%,思考题,某人2006年1月1日在银行存入10000元，期限为1年，年利率为3%。1月末，银行的1年期存款利率上调了100个基点。请分析此人是否有必要对该笔存款转存？假设活期存款利率不变，为1%。1年按360天计算，每月按30天计算。假设情景：2007年1月末需要使用这笔存款。注：定期存款若提前支取，按活期计息。一个基点为0.01%。利率调整幅度通常能被9整除。因为一年按360天计息。1年零30天后的累积值：转存：不转存：,1.8 名义贴现率(nominal annual rate of discount),名义贴现率的定义名义贴现率的定义实际贴现率，是指在每个度量时

32、期初预收一次贴现值(贴现利息)的贴现率。名义贴现率是指在一个度量期内分多次预收贴现值的贴现率。定义名义贴现率的意义定义名义贴现率的目的是为了度量在不足一年的一个时间区间内的实际贴现率。名义贴现率度量了资本在一个小区间内预收贴现利息的能力。名义贴现率必须和单位度量期内的贴现次数（贴现期个数，预收贴现值的时间区间的个数）相联系。年名义贴现率=月实际贴现率12=季度实际贴现率4=半年实际贴现率2,1.8 名义贴现率,等价的名义贴现率与实际贴现率的相互转换(1-24)(1-25)(注)：(1)在年名义贴现率一定的条件下，每年预收贴现值的次数越多，年实际贴现率将越小。(2)在年实际贴现率一定的条件下，每

33、年预收贴现值的次数越多，年名义贴现率将越大。(当m1时，dd(1)d(m)。,1.8 名义贴现率,名义利率与名义贴现率的关系一般关系：(1-27)其中：m为一年结转利息的次数；n为一年贴现的次数。特殊关系：m=1时，n=1时，m=n时，(1-28)i(m)d(m)，m=n=1时，i-d=id，,1.8 名义贴现率,重要结论 i(1)=i,d(1)=d。当 时，id。当 时，i(m)d(n)。,思考与讨论(1-3),1.为什么要定义名义利率？2.名义利率是否总大于同期的实际利率？3.在年名义贴现率一定的条件下，随着每年贴现次数的增多，年实际贴现率将增大吗？4.当名义利率与名义贴现率等价时，两者哪

34、一个比较大？,1.9 利息力(force of interest),利息力的定义利息力利息力,是在某一时点上单位资金的利息，它度量了资本在一个时点上获取利息的能力。利息力,是在确切时点上的利息强度，可以表现为累积函数在时点t的单位变化率。利息力,是在一定时期内利息结转次数趋于无穷大时的名义利率，即连续结转利息时的名义利率。在实际金融业务中，连续复利的利率就是利息力。,1.9 利息力(force of interest),利息力与累积函数的关系(1-31),1.9 利息力(force of interest),1.9.3 复利条件下的利息力 在复利条件下，a(t)=(1+i)t,t=ln(1+i

35、)，与t无关，是一常数利息力。=ln(1+i)，i=e-1；累积函数可以表示为：当利息力为常数时，实际利率也是常数。当实际利率为常数时，利息力未必一定是常数。实际利率i、实际贴现率d、贴现因子v和利息力之间的换算关系（表13）,1.9 利息力(force of interest),单利条件下的利息力单利条件下的利息力是时间t的递减函数，复利条件下的利息力与时间t无关。,1.10 贴现力(force of discount),定义：贴现力是贴现函数在时点t的单位变化率。贴现力与利息力是等价的。()复利（复贴现）条件下的常数贴现力,1.11 利率概念辨析,实际利率和名义利率利息理论中的实际利率和名

36、义利率经济学文献中的实际利率和名义利率及其相互关系实际利率和名义利率：在经济学文献中，所谓的实际利率是指扣除了通货膨胀因素以后的利率；而名义利率是指没有扣除通货膨胀因素的利率。如果用 i 表示名义利率，用 r 表示实际利率，用 表示通货膨胀率，则有(1+i)=(1+r)(1+)，i=r+r，可近似表示为 ir+或 ri即实际利率近似等于名义利率减去通货膨胀率。在经济学文献中，一般有名义利率实际利率，在利息理论中，可以有名义利率实际利率。,1.11 利率概念辨析,利率和贴现率利率和贴现率的概念比较 i=I(1)/A(0),d=I(1)/A(1)在需要计算现值的场合，利率常常被误被称为贴现率。利率

37、和贴现率的关系利率和贴现率的应用比较 财务分析和投资决策中的贴现问题计算现值既可以应用利率，也可以应用贴现率，还可以应用利息力等，如：a-1(t)=(1+i)-t=(1-d)t=e-t计算现值时所使用的未必是贴现率。人们更加习惯于使用利率计算现值。,小结,思考与讨论(1-4),1.利息力和利息率在意义上有什么差别？利息力的定义是用什么来表现的？2.复利条件下的利息力和单利条件下的利息力各有什么特点？3.可以运用利息力来计算现值或者累积值吗？4.在一定时期内利息结转次数趋于无穷大时的名义利率是什么？5.利息理论中的实际利率、名义利率与经济学文献中的实际利率、名义利率有什么差别？,第2章 等额年金

38、（Level Annuity）,内容提要：年金是指按相等的时间间隔支付一系列的款项。在相同的时间间隔上支付相同金额的款项叫等额年金；在相同的时间间隔上支付等额款项但在不同的计息期利率不同或者虽然利率相同但计息频率与付款频率不同的年金称为一般等额年金；在相同的时间间隔上支付不同金额的款项叫变额年金。本章主要讨论各种等额年金的现值与终值的计算方法，以及等额年金的现值与终值之间的关系。本章着重解决以下若干问题：标准年金的现值与终值计算以及两者之间的关系；标准年金在任意时刻的值；可变利率年金的现值与终值计算；付款频率与计息频率不同的年金的终值与现值计算；连续年金的终值与现值计算。关键词：年金；标准年金

39、；等（定）额年金；期初付年金；期末付年金；延期年金；永续年金；可变利率年金；利息结转周期（频率）；支付周期（频率）；连续年金。,第2章 等额年金（Level Annuity）,教学要求：本章主要介绍有关等额年金的一些内容。通过本章的学习，要求理解年金的含义，熟悉年金的分类，掌握有关基本年金（标准年金）的计算。要求重点掌握年金的现值和终值的计算及其相互关系、期初付年金与期末付年金的相互关系，熟悉每个利息结转周期内支付m次的年金。对有关年金的利率问题和时间问题的求解要求一般程度的了解，对连续年金有一定程度的理解。教学内容：2.1 年金的含义 2.2 年金的现值 2.3 年金的终值 2.4 年金现值

40、与终值的关系 2.5 年金在任意时点上的值 2.6 可变利率年金的现值和终值 2.7 每年支付m次的年金 2.8 连续支付的等额年金 2.9 价值方程,2.1 年金的含义,年金的基本概念经济生活有一大类的支付款项，如：零存整取、住房的按揭还款、购物的分期付款、保险中的养老保险金给付、分期交付保费，该类支付款项的共同特点是支付的时间间隔相等。利息理论中把支付时间间隔相等的一系列款项称为年金（annuity）。年金任意时刻的价值，与支付方式（期初，期末）、计息期的实际利率（有效利率）、支付期与计息期的关系、支付金额有关。年金是金融保险业务中十分常见的支付款项。年金的含义及其延伸年金最原始的含义年金

41、含义的延伸 1）时间间隔可以是年、季度、月、周、日、瞬时；2）支付款项的金额可以相等也可以不等；可以是确定也可以是不确定；支付期可以和计息期相同也可以不同。,2.1 年金的含义,年金的分类 1 按照年金的支付时间和支付金额是否确定，年金可以分为确定年金(Annuity-certain)和风险年金(contingent annuity)。2 按照年金的支付期限长短，年金可以分为定期年金（period-certain annuity)和永续年金（Perpetuity）。3 按照年金的支付周期不同，年金可以分为非连续年金(每年(季、月、)支付一次)和连续年金。4 按照年金在每期的支付时点不同，年金可

42、以分为期初付年金（先付年金）和期末付年金（后付年金）。5 按照年金开始支付的时间不同，年金可以分为即期年金和延期年金。6 按照每次付款的金额是否相等，年金可以分为等额年金(level annuity)和变额年金(varying annuity)。,2.2 年金的现值,期末付定期年金（Annuity-immediate）的现值单位货币期末付定期年金的现值(2-1)计算公式的变形及其意义(2-2)每期末支付k元的定期年金的现值,2.2 年金的现值,期初付定期年金（annuity-due）的现值单位货币期初付定期年金的现值(2-3)计算公式的变形及其意义每期初支付k元的定期年金的现值 与 的关系：1

43、)(2-4)2)(2-5),2.2 年金的现值,例22某企业租用了一间仓库，一次性支付50000元的租金后可以使用8年，假设年实际利率为6，试计算如果每年初支付租金，该仓库的年租金应该是多少？解设每年初的租金为A，则根据题意，可以建立下述方程：因此每年初的租金为即,2.2 年金的现值,例22思考题：如果每年初支付租金7000元可以租下这间仓库，试设计无风险套利方案。解 A7000元7596元，则套利方案：1）签订租赁合同1，每年初支付7000元租金租下这间仓库，租期8年；2）签订租赁合同2，出租这间仓库，租期8年，要求对方一次性支付50000元租金；3）用50000元进行投资或贷放款，在年实际

44、利率6之下，8年内每年初连本带息可获取7596元，每年可获利 75967000596（元）50000 7596 7596 7596 0 1 2 3 4 5 6 7 8 7000 7000 700050000,2.2 年金的现值,例22思考题：如果每年初支付租金8000元才能租下这间仓库，试设计无风险套利方案。解 A8000元7596元，则套利方案：1）向银行借款50000元，期限8年，在年实际利率6之下，每年初分期还款7596元；2）签订租赁合同1，一次性支付50000元租金租下这间仓库，租期8年；3）签订租赁合同2，出租这间仓库，租期8年，要求对方每年初支付8000元租金，其中7596元还银

45、行，每年可获利 80007596404（元）。50000 8000 8000 8000 0 1 2 3 4 5 6 7 8 7596 7596 759650000,例：有一笔1000万元的贷款，为期10年，若年实际利率为9，试对下面三种还款方式比较其利息总量。本金和利息在第10年末一次还清；每年产生利息在当年末支付，而本金在第10年末归还。在10年期内，每年末偿还相同的金额。问题：请先推测大小？解：（1）贷款在10年末的累积值为1000(1+9%)10=2367.36,利息总额为2367.3610001367.36(万元)；（2）每年的利息为10009%=90(万元)，利息总额为1090900

46、(万元)；（3）设每年的偿还额为R，则 解得R=155.82,故利息总额为155.82101000558.2(万元)。结论：偿还越迟，利息总量越高。,2.2 年金的现值,期末付永续年金的现值 永续年金（Perpetuity）及其现值的概念 永续年金是指可以无限期地支付下去的年金（付款次数是无穷大，付款期限是无穷长）。永续年金的现值等于定期年金的现值当支付期限n时的极限。单位货币期末付永续年金的现值(2-6)每期末支付k元的永续年金的现值,2.2 年金的现值,2.2.4 期初付永续年金的现值单位货币期初付永续年金的现值(2-7)与 的关系：(2-8)每期初支付k元的永续年金的现值,例：某人留下遗

47、产10万元。第一个10年将每年的利息付给受益人A，第二个10年将每年的利息付给受益人B，二十年后将每年的利息付给慈善机构C。若此项财产的年实际收益率为7，确定三个受益者的相对受益比例。解：10万元每年产生的利息是7000元。A所占的份额是B所占的份额是C所占的份额是注：请用excel计算上述年金的值。从现值的角度看，A、B、C受益比例近似为49，25和26。注：C的受益也可以看作在20年末一次性得到10万元，其现值等于,2.3 年金的终值,期末付定期年金的终值单位货币期末付定期年金的终值 计算公式的变形及其意义(2-9)每期末支付k元的定期年金的终值,2.3 年金的终值,期初付定期年金的终值单

48、位货币期初付定期年金的终值 计算公式的变形及其意义每期初支付k元的定期年金的终值 与 的关系：1)2)(注)：永续年金不存在终值。,思考题：某人在10年后需要为其子女支付上大学的学费，预计大学4年间每年初支付10000元学费，为此他打算在每年初往一种基金存入一笔钱。如果该基金的年实际利率为6，那么他每年应该存入多少钱，才能保证可以支付子女的学费？解假设每年初需要存入A元，则根据题意可以建立下述方程：因此有 10000 100000 1 2 8 9 10 11 12 13 14 A A A A A,2.4 年金现值与终值的关系,年金现值与终值之间的换算关系 与 的关系：(2-11)与 的关系：(

49、2-12)年金现值与终值之间的倒数关系 与 之间的倒数关系：(2-13)与 之间的倒数关系：(2-14),2.5 年金在任意时点上的值,2.5.1 年金在支付期限开始前任意时点上的值延期年金（deferred annuity）：推迟若干时期后才开始付款的年金。年金在支付期限开始前任意时点上的值，可以看做为一个延期年金的现值。推迟m个时期，且随后有n个时期的期末付年金可看作一个mn期期末付年金扣除一个m期的年金。延期m个时期的期末付定期年金的现值(1)(2-15)(2)(2-16)延期m个时期的期初付定期年金的现值(1)(2-17)(2),2.5 年金在任意时点上的值,2.5.1 年金在支付期限

50、开始前任意时点上的值延期m个时期的期末付永续年金的现值(1)(2)延期m个时期的期初付永续年金的现值(1)(2)（注）：延期年金终值的计算方法与一般年金终值的计算方法相似，其终值的大小与延期期限无关。,2.5 年金在任意时点上的值,年金在支付期限内任意时点上的值(1)将原来的年金分解成两个新的年金：一个由该时点之前的付款组成；另一个由该时点之后的付款组成。(2)原来的年金在该时点上的值=第一个年金在该时点上的终值+第二个年金在该时点上的现值。期末付年金的模型：期初付年金的模型：,2.5 年金在任意时点上的值,年金在支付期限结束后任意时点上的值(1)计算该年金的终值；(2)按年金支付期限末到该时