切线的性质定理.ppt

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1、切线的性质,复习回顾,1.切线的判定定理,2.切线的判定方法：,（）定义,（）切线的判定定理.,已知直线过圆上一点：,(连半径，证垂直）,不明确直线是否过圆上一点：,(作垂直，证半径）,经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线,直线和圆有唯一公共点时，叫做直线和圆相切。,F,拓展应用：1.在RtABC中,B=90,A的平分线交BC于D,以D为圆心,DB长为半径作D.试说明:AC是D的切线.,课前训练,1.如图，O的半径OAOB，点D在OB的延长线上，连接AD交 O于Q，过点Q作直线PQ交OD于点C，若CD=CQ。求证：PQ是 O的切线。,已知：如图，同心圆O，大圆的弦 AB=CD，且A

2、B是小圆的切线，切点为E 求证：CD是小圆的切线,如图，已知O中，AB是直径，过B点作O的切线BC，连结CO若 ADOC交O于D 求证：CD是O的切线,通过证明三角形全等证明垂直.,如图，AD是BAC的平分线，P为BC 延长线上一点，且PA=PD.求证：PA与O相切.,通过证明两角互余，证明垂直的,如图，AB=AC，AB是O的直径，O交BC于D，DMAC于M 求证：DM与O相切.,通过证平行来证明垂直的,D,如图，已知：AB是O的直径，点C 在O上，且CAB=300，BD=OB，D在 AB的延长线上.求证：DC是O的切线,根据圆周角定理的推论3证明垂直的,如图，AB是O的直径,CDAB，且OA

3、2=ODOP.求证：PC是O的切线.,根据圆周角定理的推论3证明垂直的,已知：如图，AC，BD与O切于 A、B，且ACBD，若COD=900.求证：CD是O的切线.,根据综合运用解题,.,O,A,L,反过来,如果L是O的切线,切点为A,那么半径OA与直线L是不是一定垂直呢?,如何证明？,探索新知,切线的性质定理:,M,假设L与OA不垂直，过O作OML，垂足为M，根据“垂线段最短”的性质，有OMOA。这就是说圆心到直线L的距离小于半径，于是L就要与O相交，这与L是O的切线相矛盾。,如图，AB为O的直径，C为O上一点，AD和过C点的切线互相垂直，垂足为D。求证：AC平分DAB,例题选讲,例：AB是

4、O的弦,C是O外一点,BC是O的切线,AB交过C点的直径于点D,OACD,试判断BCD的形状,并说明你的理由.,例题选讲,1、AB是O的直径,AE平分BAC交O于点E,过点E作O的切线交AC于点D,试判断AED的形状,并说明理由.,随堂训练,2、AB是O的直径,CD切O于C，AECD，BC延长后与AE的延长线交于F，AF=BF，求A的度数。,随堂训练,4、如图，AB是O的直径,O交BC于点D,过点D作O的切线DE交AC于点E,且DEAC，由上述条件，你能推出的正确结论有_.,随堂训练,ADB=90B=CAB=ACCD=DBC=EDAEDA=BCAD=BAD,如图，台风中心P（100，200）沿

5、北偏东30O方向移动，受台风影响区域的半径为200km，那么下列城市A（200，380），B（600，480），C（550，300），D（370，540）中，哪些城市要做抗台风准备？,拓展应用,P,台风路经范围如图所示,、切线和圆只有一个公共点。,、切线和圆心的距离等于半径。,、切线垂直于过切点的半径。,、经过圆心垂直于切线的直线必过切点。,、经过切点垂直于切线的直线必过圆心。,切线的性质归纳,6、经过切点的直径与切线垂直。,如果一条直线具备下列三个条件中的任意两个，就可推出第三个(1)垂直于切线；(2)过切点；(3)过圆心推论1：经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点推论2：经过切点且垂于切线

6、的直线必经过圆心,切线的性质定理:,已知：直线a与圆o相切于点M,直线b经过点M且垂直于直线a。求证：直线b经过圆心o证明：假设直线b经不过圆心o，连接OM,则OM与直线b交于点M,因为直线a与圆o相切于点M,所以OM直线a，又因为直线b直线a，所以OM直线b（平面内垂直于同一条直线的两条直线平行），这与“OM与直线b交于点M”矛盾，所以，直线b经过圆心o。即经过切点垂直于切线的直线必过圆心.,求证：如果圆的两条切线互相平行，则连结两个切点的线段是直径。,已知：AB、CD是O的两条切线，E、F为切点,且ABCD求证：连结E、F的线段是直径。证明：连结EO并延长AB切O于E，OEAB，ABCD，

7、OECDCD是O切线，F为切点，OE必过切点FEF为O直径,已知:AB是半O直径，CDAB于D，EC是切线，E为切点 求证：CE=CF,O,。,A,B,P,过圆外一点可以引圆的几条切线？,切线长,在经过圆外一点的切线上，这一点和切点之间的线段的长叫做这点到圆的切线长。,O,P,A,B,切线与切线长是一回事吗？它们有什么区别与联系呢？,切线长概念,切线:不可以度量。切线长：可以度量。,比一比,B,O,A,B,P,1,2,请证明你所发现的结论。,PA=PB,OPA=OPB,证明：PA，PB与O相切，点A，B是切点 OAPA，OBPB 即OAP=OBP=90 OA=OB，OP=OP RtAOPRtB

8、OP(HL)PA=PB OPA=OPB,试用文字语言叙述你所发现的结论,证一证,PA、PB分别切O于A、B,PA=PB,OPA=OPB,从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角。,几何语言:,反思：切线长定理为证明线段相等、角相等提供新的方法,切线长定理,A,P,O,B,若连结两切点A、B，AB交OP于点M.你又能得出什么新的结论?并给出证明.,OP垂直平分AB,证明：PA，PB是O的切线,点A，B是切点 PA=PB OPA=OPB PAB是等腰三角形，PM为顶角的平分线 OP垂直平分AB,试一试,A,P,O,。,B,若延长PO交O于点C，连结CA、CB

9、，你又能得出什么新的结论?并给出证明.,CA=CB,证明：PA，PB是O的切线,点A，B是切点 PA=PB OPA=OPB PC=PC PCA PCB AC=BC,C,探究：PA、PB是O的两条切线，A、B为切点，直线OP交于O于点D、E，交AB于C。,B,A,P,O,C,E,D,（1）写出图中所有的垂直关系,OAPA，OB PB，AB OP,（3）写出图中所有相等的线段,（2）写出图中与OAC相等的角,OAC=OBC=APC=BPC,OA=OB=OD=OE,PA=PB,AC=BC,AE=BE,已知：如图,PA、PB是O的切线，切点分别是A、B，Q为AB上一点，过Q点作O的切线，交PA、PB于

10、E、F点，已知PA=12CM，求PEF的周长。,易证EQ=EA,FQ=FB,PA=PB,PE+EQ=PA=12cm,PF+FQ=PB=PA=12cm,周长为24cm,例题1,变式：如图所示PA、PB分别切圆O于A、B，并与圆O的切线分别相交于C、D，已知PA=7cm，(1)求PCD的周长(2)如果P=46,求COD的度数,C,O,P,B,D,A,E,三角形内切圆,思考,作圆：使它和已知三角形的各边都相切。,和三角形各边都相切的圆叫做三角形的内切圆，内切圆的圆心叫做三角形的内心，这个三角形叫做圆的外切三角形。,和多边形的各边都相切的圆叫做多边形的内切圆，这个多边形叫做圆的外切多边形。,例题,在A

11、BC中，ABC=500，ACB=750，点O是内心，求BOC的度数。,例2、如图，四边形ABCD的边AB、BC、CD、DA和圆O分别相切于点L、M、N、P，求证：AD+BC=AB+CD,证明：由切线长定理得,AL=AP，LB=MB,NC=MC，DN=DP,AL+LB+NC+DN=AP+MB+MC+DP,即 AB+CD=AD+BC,补充：圆的外切四边形的两组对边的和相等,例题2,例3 ABC的内切圆O与BC、CA、AB分别相切于 点D、E、F，且AB=9cm，BC=14cm，CA=13cm，求AF、BD、CE的长.,解:,设AF=x(cm),BD=y(cm),CEz(cm),AF=4(cm),B

12、D=5(cm),CE=9(cm).,O与ABC的三边都相切,AFAE,BDBF,CECD,例题3,B,D,E,F,O,C,A,如图，ABC的内切圆的半径为r,ABC的周长为l,求ABC的面积S.,解：设ABC的内切圆与三边相切于D、E、F，,连结OA、OB、OC、OD、OE、OF，,则ODAB，OEBC，OFAC.,SABCSAOBSBOC SAOC,ABOD BCOE ACOF,lr,设ABC的三边为a、b、c，面积为S，则ABC的内切圆的半径 r,结论,三角形的内切圆的有关计算,思考,A,B,C,E,D,F,O,如图，RtABC中，C90,BCa,ACb,ABc,O为RtABC的内切圆.求

13、：RtABC的内切圆的半径 r.,设AD=x,BE=y,CE r,O与RtABC的三边都相切,ADAF,BEBF,CECD,解：设RtABC的内切圆与三边相切于D、E、F，连结OD、OE、OF则OAAC，OEBC，OFAB。,结论,变式,思考：如图，AB是O的直径，AD、DC、BC是切线，点A、E、B为切点，若BC=9，AD=4，求OE的长.,例1、已知：P为O外一点，PA、PB为O的切线，A、B为切点，BC是直径。求证：ACOP,P,A,C,B,D,O,例题讲解,练习.如图，ABC中,C=90,它的内切圆O分别与边AB、BC、CA相切于点D、E、F，且BD=12，AD=8，求O的半径r.,A

14、,B,C,E,D,F,O,如图，RtABC中，C90,BC3,AC4,O为RtABC的内切圆.（1）求RtABC的内切圆的半径.（2）若移动点O的位置，使O保持与ABC的边AC、BC都相切，求O的半径r的取值范围。,设AD=x,BE=y,CE r,O与RtABC的三边都相切,ADAF,BEBF,CECD,解：（1）设RtABC的内切圆与三边相切于D、E、F，连结OD、OE、OF则OAAC，OEBC，OFAB。,解得,r1,在RtABC中，BC3,AC4,AB5,由已知可得四边形ODCE为正方形，CDCEOD,RtABC的内切圆的半径为1。,（2）如图所示，设与BC、AC相切的最大圆与BC、AC

15、的切点分别为B、D,连结OB、OD,则四边形BODC为正方形。,A,B,O,D,C,OBBC3,半径r的取值范围为0r3,点评,几何问题代数化是解决几何问题的一种重要方法。,基础题：,1.既有外接圆,又内切圆的平行四边形是_.2.直角三角形的外接圆半径为5cm,内切圆半径为1cm,则此三角形的周长是_.3.O是边长为2cm的正方形ABCD的内切圆,EF切O 于P点，交AB、BC于E、F，则BEF的周长是_.,E,F,H,G,正方形,22cm,2cm,课堂小结,切线的性质定理:,。,P,B,A,O,（3）连结圆心和圆外一点,（2）连结两切点,（1）分别连结圆心和切点,反思：在解决有关圆的切线长问

16、题时，往往需要我们构建基本图形。,想一想,例1,已知，如图，PA、PB是O的两条切线，A、B为切点.直线 OP 交 O 于点 D、E，交 AB 于 C.（1）写出图中所有的垂直关系；（2）写出图中所有的全等三角形.（3）如果 PA=4 cm,PD=2 cm,求半径 OA 的长.,A,O,C,D,P,B,E,解：,(1)OAPA,OBPB,OPAB,(2)OAP OBP,OCAOCB,ACPBCP.,(3)设 OA=x cm,则 PO=PD+x=2+x(cm),在 RtOAP 中，由勾股定理，得,PA 2+OA 2=OP 2,即 4 2+x 2=(x+2)2,解得 x=3 cm,所以，半径 OA 的长为 3 cm.,