函数的单调性与极值.ppt

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1、1、函数极值的概念,2、函数极值的求法,2.4 函数的极大值与极小值,教学目的：.理解极大值、极小值的概念.能够运用判别极大值、极小值的方法来求函数的极值.掌握求可导函数的极值的方法步骤.教学重点：极大、极小值的概念和判别方法，以及求可导函数的极值的方法步骤.教学难点：对极大值、极小值概念的正确理解.,复 习,函数单调递增,函数单调递减,、函数的导数与函数的单调性的关系,、用导数求函数单调区间的方法步骤,利用导数判断函数的单调性,判定定理：,设函数 y=f(x)在某个区间内有导数.,如果在这个区间内 y 0，那么y=f(x)为这个区间内的增函数;,(2)如果在这个区间内 y 0，那么y=f(x

2、)为这个区间内的减函数.,(3)如果在这个区间内 y=0，那么y=f(x)为这个区间内的常数函数.,观察下面的函数图象,a,b,可以看出:函数在x=a的函数值f(a)比它临近点的函数值都要大;在x=b的函数值f(b)比它临近点的函数值都要小.象这样的点我们把它叫做极值点.f(a)是函数的一个极大值,f(b)是函数的一个极小值.,学习新课,函数极值的概念,一般地,设函数 y=f(x)在x=x0及其附近有定义，,如果f(x0)的值比x0附近所有各点的函数值都大，我们就说 f(x0)是函数y=f(x)的一个极大值，记作：y极大值=f（x0），点 x0 是 f(x)的一个极大值点;,函数的极大值与极小

3、值统称为函数的极值.使函数取得极值的点称为极值点。,如果f(x0)的值比x0附近所有各点的函数值都小，我们就说 f(x0)是函数y=f(x)的一个极小值，记作：y极小值=f（x0），点 x0 是 f(x)的一个极小值点；,观察与思考：,在极值点处，曲线如果有切线，则切线是水平的。,换句话说,极值点处的导数都为零.,但是导数为零的点不一定是极值点.如图中x=x5处不是极值点.,如何根据函数的导数确定函数的极值点呢?,1.图中有几个极值点?2.极值与导数有何关系？,4个极值点.,继续观察可导函数的图象,a,b,f(a)=0,f(x)0,f(x)0,f(b)=0,f(x)0,f(x)0,可以看出:曲

4、线在极值点处切线的斜率为0,并且,曲线在极大值点左侧切线的斜率为正,右侧为负.曲线在极小值点左侧切线的斜率为负,右侧为正.,x1,x2,在极大值点附近,在极小值点附近,f(x)0,f(x)0,f(x)0,f(x)0,也就是说，先求出y=0的根，再检查y在方程y=0的根的左右附近的符号，就可以确定函数的极值了。,函数极值的判定定理,判别f(x0)是极大、极小值的方法:,函数极值的求法,(1)确定函数的定义域；,求可导函数 f(x)的极值点和极值的方法步骤：,(2)求导数 f(x)；,(3)求方程f(x)=0 的根;,检查f(x)在方程f(x)=0的根的左右的符号,如果在根的左侧附近为正,右侧附近

5、为负,那么函数y=f(x)在这个根处取得极大值;如果在根的左侧附近为负,在根的右侧附近为正,那么函数y=f(x)在这个根处取得极小值.如果左右不改变符号，那么f(x)在这个根处无极值.,当 x 变化时,y,y 的变化情况如下表:,因此,当x=2时y有极大值,并且y极大值=28/3;当 x=2时y有极小值,并且y极小值=-4/3.,解：函数y 的定义域为(,)；,y=x-4=(x-2)(x+2),令y=0 得 x1=2,x2=2,例1,求函数y=x3-4x+4的极值.,极小值-4/3,极大值28/3,+,-,+,例2 求y=(x2-1)3+1的极值.,解:函数的定义域为(-,+);,y=6x(x

6、2-1)2,令y=0,解得 x1=-1,x2=0,x3=1.,当x变化时,y,y的变化情况如下表:,由上表知,当x=0时,y有极小值,并且y极小值=0.,关于函数极值概念的几点说明:,(1)函数f(x)在点x0 及其附近有定义是指在点x0及其左右 邻域都有定义.,(2)极值点是函数f(x)定义域中的内点,因而闭区间的端点 不会是函数的极值点.,(3)极值是一个局部概念,是仅对某一点的左右两侧邻域而言的.一个函数在其定义域内可以有多个极值点.,(4)函数的极大值与极小值没有必然的大小联系,函数的一个极小值可能大于它的一个极大值.,(5)可导函数的极值点一定是它导数为0的点.反之,函数的导数为0的

7、点,不一定是该函数的极值点.因此导数为0的点仅是该点为极值点的必要条件.如:y=x3.,(6)某点为极值点的充分条件是这点两侧的导数异号.,课堂小结,1、函数的极大、极小值的定义以及判别方法.,2、求可导函数f(x)的极值的三个步骤:,(1)求导数f(x);(2)令f(x)=0,求方程的根;(3)列表，检查f(x)在方程根左右的值的符号，如果左正右负，那么f(x)在这个根处取得极大值；如果左负右正，那么f(x)在这个根处取得极小值，如果左右都是正，或者左右都是负，那么f(x)在这根处无极值.,注 如果函数在某些点处连续但不可导，也需要考虑这些点是否是极值点.,课堂练习,课本页练习题,课后作业,课本页习题.第()()()题.,