几类不同增长的函数模型.ppt

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1、3.2函数模型及其应用几类不同增长的函数模型,【知识提炼】三种函数模型的性质,增函数,增函数,增函数,y轴,x轴,越来越快,越来越慢,axxnlogax,【即时小测】1.思考下列问题(1)在区间(0,+)上,当a1,n0时,是否总有logax1,n0,xx0时,logaxx0时,数量增加特别快,足以体现“爆炸”的效果.,2.已知变量y=1+2x,当x减少1个单位时,y的变化情况是()A.y减少1个单位 B.y增加1个单位C.y减少2个单位 D.y增加2个单位【解析】选C.由y=1+2x可知,当x减少1个单位时,y相应减少2个单位.,3.某超市每月的利润的平均增长率为2%,若12月份的利润是当年

2、1月份利润的m倍,则m等于()A.(1.02)12 B.(1.02)11 C.(0.98)12 D.(0.98)11【解析】选B.设1月份的利润为a,则当年12月份的利润为a(1+2%)11,故m=(1.02)11.,4.在函数y=3x,y=log3x,y=3x,y=x3中增长速度最快的是.【解析】由指数函数、对数函数、幂函数、一次函数的增长差异可判断出y=3x的增长速度最快.答案:y=3x,5.如图所示曲线反映的是函数模型的增长趋势.,【解析】由图象知,此函数的增长速度越来越慢,因此反映的是幂函数模型或对数型函数模型的增长速度.答案:幂函数或对数型,【知识探究】知识点 几类函数模型的增长差异

3、观察图形,回答下列问题:,问题1:函数t(x),f(x),g(x),h(x)随着x的增大,函数值有什么共同的变化趋势?问题2:函数t(x),f(x),g(x),h(x)增长的速度有什么不同?,【总结提升】1.四类不同增长的函数模型(1)增长速度不变的函数模型是一次函数模型.(2)增长速度最快即呈现爆炸式增长的函数模型是指数型函数模型.(3)增长速度较慢的函数模型是对数型函数模型.(4)增长速度平稳的函数模型是幂函数模型.,2.几类函数模型的选择(1)一次函数模型:当x增加一个单位时,y增加或减少的量为定值,则y是x的一次函数,一次函数的图象为直线.(2)二次函数模型:二次函数是常用的重要模型,

4、y是x或其他量的二次函数,常用来求最大值或最小值问题,要注意定义域.(3)指数函数模型、对数函数模型:当问题中每期(或每年、每段等)的增长率相同,则为指数函数模型或对数函数模型,一般与增长率、衰减率、利息等现实生活联系紧密.,【知识拓展】求解数学应用题必须突破的三关(1)阅读理解关:一般数学应用题的文字阅读量都比较大,要通过阅读审题,找出关键词、句,理解其意义.(2)建模关:即建立实际问题的数学模型,将其转化为数学问题.(3)数理关:运用恰当的数学方法去解决已建立的数学模型.,【题型探究】类型一几类函数模型的增长差异【典例】1.(2015怀柔高一检测)四个变量y1,y2,y3,y4随变量x变化

5、的数据如下表:关于x呈指数函数变化的变量是.,2.函数f(x)=1.1x,g(x)=lnx+1,h(x)=的图象如图所示,试分别指出各曲线对应的函数,并比较三个函数的增长差异(以1,e,a,b,c,d为分界点).,【解题探究】1.典例1表格中四个变量y1,y2,y3,y4随变量x变化最快的是哪一组?提示:由表中的数据可以看出y2随着x变化,数值增长的速度最快.2.典例2中判断各曲线对应的函数的关键是什么?1,e,a,b,c,d的含义是什么?提示:关键是依据指数函数、对数函数、幂函数的增长速度,判断各曲线对应的函数.1,e,a,b,c,d的含义是相应曲线交点的横坐标.,【解析】1.从表格观察函数

6、值y1,y2,y3,y4的增加值,哪个变量的增加值最大,则该变量关于x呈指数函数变化.从表格中可以看出,变量y2,y3,y4均是从2开始变化,变量y1,y2,y3,y4都是越来越大,但是增长速度不同,其中变量y2的增长速度最快,根据指数函数变化的特点,可知变量y2随着x变化呈指数函数变化.答案:y2,2.由指数爆炸、对数增长、幂函数增长的差异可得曲线C1对应的函数是f(x)=1.1x,曲线C2对应的函数是h(x)=,曲线C3对应的函数是g(x)=lnx+1.由题图知,当0h(x)g(x);当1g(x)h(x);当ef(x)h(x);当ah(x)f(x);当bg(x)f(x);当cf(x)g(x

7、);当xd时,f(x)h(x)g(x).,【方法技巧】常见的函数模型及增长特点(1)线性函数模型:线性函数模型y=kx+b(k0)的增长特点是直线上升,其增长速度不变.(2)指数函数模型:能用指数型函数f(x)=abx+c(a,b,c为常数,a0,b1)表达的函数模型,其增长特点是随着自变量x的增大,函数值增长的速度越来越快,常称之为“指数爆炸”.,(3)对数函数模型:能用对数型函数f(x)=mlogax+n(m,n,a为常数,m0,x0,a1)表达的函数模型,其增长的特点是开始阶段增长得较快,但随着x的逐渐增大,其函数值变化得越来越慢,常称之为“蜗牛式增长”.(4)幂函数模型:能用幂型函数f

8、(x)=ax+b(a,b,为常数,a0,1)表达的函数模型,其增长情况由a和的取值确定,常见的有二次函数模型和反比例函数模型.,【变式训练】有一组数据如下表:现准备用下列函数中的一个近似表示这些数据满足的规律,则其中最接近的一个是()A.v=log2t B.v=tC.v=D.v=2t-2,【解析】选C.取t=1.992,代入A,得v=log22=11.5,代入B,得v=-11.5,代入C,得v=1.5,代入D,得v=22-21.5.经计算可知最接近的一个是选项C.,类型二指数函数、对数函数与幂函数模型的比较【典例】(2015赤峰高一检测)函数f(x)=2x和g(x)=x3的图象如图所示.设两函

9、数的图象交于点A(x1,y1),B(x2,y2),且x1x2.(1)请指出图中曲线C1,C2分别对应的函数.(2)结合函数图象,判断f(6),g(6),f(2011),g(2011)的大小.,【解题探究】本例图中两图象分别过哪几个关键点?增加的速度怎样?它们交点的横坐标x1,x2大约在什么范围内?提示:曲线C1过原点,曲线C2与y轴有交点,曲线C2增加的速度快.又因为f(1)g(1),f(2)g(10),所以1x12,9x210.,【解析】(1)C1对应的函数为g(x)=x3,C2对应的函数为f(x)=2x.(2)因为f(1)g(1),f(2)g(10),所以1x2.从图象上可以看出,当x1x

10、2时,f(x)g(x),所以f(2011)g(2011).又因为g(2011)g(6),所以f(2011)g(2011)g(6)f(6).,【延伸探究】1.(改变条件)若将“函数f(x)=2x”改为“f(x)=3x”,又如何求解(1)呢?【解析】由图象的变化趋势以及指数函数和幂函数的增长速度可知:C1对应的函数为g(x)=x3,C2对应的函数为f(x)=3x.,2.(改变问法)本例条件不变,(2)中结论若改为:试结合图象,判断f(8),g(8),f(2015),g(2015)的大小.【解析】因为f(1)g(1),f(2)g(10),所以1x2.从图象上可以看出,当x1x2时,f(x)g(x),

11、所以f(2015)g(2015).又因为g(2015)g(8),所以f(2015)g(2015)g(8)f(8).,【方法技巧】由图象判断指数函数、对数函数和幂函数的方法根据图象判断增长型的指数函数、对数函数和幂函数时,通常是观察函数图象上升得快慢,即随着自变量的增长,图象最“陡”的函数是指数函数,图象趋于平缓的函数是对数函数.,【补偿训练】(2015包头高一检测)函数f(x)=lgx,g(x)=0.3x-1的图象如图所示:,(1)试根据函数的增长差异指出曲线C1,C2分别对应的函数.(2)比较两函数的增长差异(以两图象交点为分界点,对f(x),g(x)的大小进行比较).,【解析】(1)曲线C

12、1对应的函数为g(x)=0.3x-1,C2对应的函数为f(x)=lgx.(2)当0f(x);当x1g(x);当xx2时,g(x)f(x);当x=x1或x=x2时,g(x)=f(x).,【延伸探究】1.(改变问法)本题条件不变,试根据图象确定x1与1,x2与10的大小关系.【解析】根据C2对应的函数关系式为f(x)=lgx,结合图象与x的交点为(1,0)可知,x1f(10),根据图象,可知x210.,2.(改变问法)本题条件不变,试根据图象比较f(1.5),g(1.5),f(2015),g(2015)的大小.【解析】由于f(3)=lg30,g(3)=0.33-1f(10),结合图象可知3g(x)

13、,故f(1.5)g(1.5);由于x210时,g(x)f(x),故g(2015)f(2015),又因为f(2015)f(1.5),所以g(2015)f(2015)f(1.5)g(1.5).,类型三函数模型的选择问题【典例】1.(2015临汾高一检测)某公司为了适应市场需求,对产品结构做了重大调整.调整后初期利润增长迅速,后来增长越来越慢,若要建立恰当的函数模型来反映该公司调整后利润y与产量x的关系,则可选用()A.一次函数 B.二次函数C.指数型函数 D.对数型函数,2.(2015邯郸高一检测)某工厂生产某种产品,每件产品的出厂价为50元,其成本价为25元,因为在生产过程中平均每生产一件产品有

14、0.5立方米污水排出,为了净化环境,工厂设计两套方案对污水进行处理,并准备实施.方案一:工厂的污水先净化处理后再排出,每处理1立方米污水所用原料费2元,并且每月排污设备损耗费为30000元;方案二:工厂将污水排到污水处理厂统一处理,每处理1立方米污水需付14元的排污费.问:,(1)工厂每月生产3000件产品时,你作为厂长,在不污染环境,又节约资金的前提下应选择哪种方案?通过计算加以说明.(2)若工厂每月生产6000件产品,你作为厂长,又该如何决策呢?,【解题探究】1.典例1中由“初期利润增长迅速,后来增长越来越慢”,联想到哪类函数的增长特性?提示:符合对数函数的增长特点.2.典例2中要进行两种

15、方案的选择,需对两种方案进行什么比较?提示:需分为每月生产3000件产品,每月生产6000件产品两种情况下分别计算出两种方案的利润,进行比较利润大小,作出选择.,【解析】1.选D.一次函数保持均匀的增长,不符合题意;二次函数在对称轴的两侧有增也有降;而指数函数是爆炸式增长,不符合“增长越来越慢”;因此,只有对数函数最符合题意,先快速增长,后来越来越慢.,2.设工厂每月生产x件产品时,依方案一的利润为y1,依方案二的利润为y2,由题意知y1=(50-25)x-20.5x-30000=24x-30000,y2=(50-25)x-140.5x=18x.(1)当x=3000时,y1=42000,y2=

16、54000,因为y1y2,所以应选择方案一处理污水.,【方法技巧】解函数应用题的四个步骤第一步:阅读、理解题意,认真审题.读懂题中的文字叙述,理解叙述所反映的实际背景,领悟从背景中概括出来的数学实质.审题时要抓住题目中的关键量,善于联想、化归,实现应用问题向数学问题的转化.,第二步:引进数学符号,建立数学模型.一般地,设自变量为x,函数为y,并用x表示各相关量,然后根据已知条件,运用已掌握的数学知识、物理知识及其他相关知识建立函数关系式,将实际问题转化为一个数学问题,实现问题的数学化,即所谓建立数学模型.第三步:利用数学方法解答得到的常规数学问题(即数学模型),求得结果.第四步:再转译成具体问

17、题作出解答.,【变式训练】(2015抚顺高一检测)某文具店出售软皮本和铅笔,软皮本每本2元,铅笔每枝0.5元,该店推出两种优惠办法:(1)买一本软皮本赠送一枝铅笔;(2)按总价的92%付款.现要买软皮本4本,铅笔若干枝(不少于4枝),若购买铅笔数为x枝,支付款数为y元,试分别建立两种优惠办法中y与x之间的函数关系式,并说明使用哪种优惠办法更合算?,【解题指南】根据题意列出两个一次函数关系式,办法(1)的函数模型增长得快,办法(2)的函数模型增长得慢.,【解析】由优惠办法(1)得到y与x的函数关系式为:y=24+0.5(x-4)=0.5x+6(x4,且xN).由优惠办法(2)得到y与x的函数关系

18、式为:y=(0.5x+24)92%=0.46x+7.36(x4,且xN).令0.5x+6=0.46x+7.36,解得x=34,且当4x34时,0.5x+60.46x+7.36,即当购买铅笔数少于34枝(不少于4枝)时,用优惠办法(1)合算;当购买铅笔数多于34枝时,用优惠办法(2)合算;当购买铅笔数是34枝时,两种优惠办法支付的总钱数是相同的,即一样合算.,【补偿训练】有甲,乙两家健身中心,两家设备和服务都相当,但收费方式不同.甲中心每小时5元;乙中心按月计费,一个月中30小时以内(含30小时)90元,超过30小时的部分每小时2元.某人准备下个月从这两家中选择一家进行健身活动,其活动时间不少于

19、15小时,也不超过40小时.(1)设在甲中心健身活动x小时的收费为f(x)元,在乙中心健身活动x小时的收费为g(x)元,试求f(x)和g(x).(2)问:选择哪家比较合算?为什么?,【解析】(1)f(x)=5x,15x40,(2)当5x=90时,x=18,即当15xg(x);所以当15x18时,选甲比较合算;当x=18时,两家一样合算;当18x40时,选乙比较合算.,易错案例 几类函数模型的增长差异【典例】(2015白城高一检测)下列函数中随x的增大而增大且速度最快的是()A.y=ex B.y=100lnxC.y=x10 D.y=1002x,【失误案例】,【错解分析】分析上面的解析过程,你知道错在哪里吗?提示:错误的根本原因在于影响指数型函数增长速度的量是指数函数的底数,而非其系数,本题误认为100,得出1002x比 ex增大速度快的错误结论.,【自我矫正】选A.指数爆炸式形如指数函数.由于影响指数型函数增长速度的量是指数函数的底数,因为e2,所以 ex比1002x增大速度快.,【防范措施】明确影响指数函数增长的因素影响指数函数增长速度的量是指数函数的底数,而非其系数.如本题y=ex与y=1002x,底数e2,因此系数对其影响可以忽略,故y=ex的增长速度大于y=1002x的增长速度.,