其它类型的数字滤波器.ppt

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1、第8章 其它类型的数字滤波器,8.1 几种特殊的滤波器8.2 格型滤波器8.3 简单整系数数字滤波器8.4 采样率转换滤波器,8.1 几种特殊的滤波器,8.1.1 全通滤波器 如果滤波器的幅频特性对所有频率均等于常数或 1，即|H(e j)|=1,02(8.1.1)则该滤波器称为全通滤波器。全通滤波器的频率响应函数可表示成 H(e j)=e j()(8.1.2),全通滤波器的系统函数一般形式如下式：,(8.1.3),或者写成二阶滤波器级联形式：,(8.1.4),下面证明(8.1.3)式表示的滤波器具有全通幅频特性。,(8.1.5),式中，,由于系数ak是实数，所以,图 8.1.1 全通滤波器一

2、组=零极点示意图,观察图 8.1.1，如果将零点zk和极点p*k组成一对，将零点z*k与极点pk组成一对，那么全通滤波器的极点与零点便以共轭倒易关系出现，即如果z-1k为全通滤波器的零点，则z*k必然是全通滤波器的极点。因此，全通滤波器系统函数也可以写成如下形式：,(8.1.6),8.1.2 梳状滤波器 例如，,0a1，零点为 1，极点为a,所以H(z)表示一个高通滤波器。以zN代替H(z)的z，得到：,(8.1.7),图 8.1.2 梳状滤波器 的零极点分布和幅频响应特性(N=8),8.1.3 最小相位系统 最小相位系统在工程理论中较为重要，下面给出最小相位系统的几个重要特点。(1)任何一个

3、非最小相位系统的系统函数H(z)均可由一个最小相位系统Hmin(z)和一个全通系统Hap(z)级联而成，即 H(z)=Hmin(z)Hap(z)(8.1.8)证明 假设因果稳定系统H(z)仅有一个零点在单位圆外，令该零点为z=1/z0,|z0|1,则H(z)可表示为,(8.1.9),(2)在幅频响应特性相同的所有因果稳定系统集中，最小相位系统的相位延迟(负的相位值)最小。高阶全通系统总可以由一阶和二阶全通系统函数相乘来表示。一阶和二阶全通系统的系统函数分别如(8.1.10)和(8.1.11)式：,对(8.1.10)式，,(8.1.10),(8.1.11),其中a为实数，且|a|1；,图 8.1

4、.3 一阶全通系统具有非正=相位的几何证明图,由于上式中分数部分的分子、分母是共轭的，因此相角相反，所以 argHap(e j)=-2 arg(e j-a)对 0，关于arg(e j-a)作图如图 8.1.3 所示，图中=arg(e j-a)。;由图 8.1.3可见，,对(8.1.11)式，,故,画出上式中的各相角如图 8.1.4 所示。图中1=arg(ej-a)，2=arg(ej-a*)。由图可看出，,根据三角形外角大于内角的定理有,图 8.1.4 二阶全通系统具有非正=相位的几何证明图,由(8.1.8)式有,由初值定理可得出,由于,对因果稳定系统，|ai|1,所以|h(0)|hmin(0)

5、|(8.1.12)(8.1.12)式说明，在幅频特性相同的所有因果稳定系统集中，最小相位系统对(n)的响应波形延迟最小。如果定义h(n)的积累能量E(m)为,则最小相位系统的最小能量延迟可用(8.1.13)式，即。,由于|H(e j)|=|Hmin(e j)|,即,由parseval定理有,(3)最小相位系统保证其逆系统存在。给定一个因果稳定系统H(z)=B(z)/A(z)，定义其逆系统为,(8.1.14),8.2 格型滤波器,8.2.1 全零点格型滤波器 一个M阶的FIR滤波器的系统函数H(z)可写成如下形式：,(8.2.1),其中，b(i)M表示M阶FIR滤波器的第i个系数，并假设首项系数

6、b0=1。H(z)对应的格型结构如图 8.2.1 所示。,图 8.2.1 全零点格型滤波器网络结构,图 8.2.2 全零点格型结构=基本单元,下面推导由H(z)=B(z)的系数bi求出格型结构网络系数ki的逆推公式。图 8.2.2 所示基本格型单元的输入、输出关系如下式：em(n)=e m-1(n)+r m-1(n-1)km(8.2.2a)rm(n)=e m-1(n)km+rm-1(n-1)(8.2.2b)且 e0(n)=r0(n)=x(n)(8.2.2c)y(n)=em(n)(8.2.2d),设Bm(z),Jm(z)分别表示由输入端x(n)至第m个基本单元上、下输出端em(n)、rm(n)对

7、应的系统函数，即,a),b),当m=M时，Bm(z)=B(z)。对(8.2.2)式两边进行Z变换得,a),b),a)b)式分别除以E0(z)和R0(z)，a)b)式有,(8.2.5),(8.2.6),由(8.2.3)式有B0(z)=J0(z)=1,所以,令m=2,3,:,M，可推出,(8.2.7),将上式分别代入(8.2.5)和(8.2.6)式得,a),b),下面导出km与滤波器系数b(m)ma)a)b)式，利用待定系数法可得到如下两组递推关系：,(8.2.9),(8.2.10),例 8.2.1 FIR滤波器由如下差分方程给定：,求其格型结构系数，并画出格型结构图。解 对差分方程两边进行Z变换

8、的H(z)=B3(z)：,图 8.2.3 H(z)的格型结构流图,8.2.2 全极点(IIR)格型滤波器 IIR滤波器的格型结构受限于全极点系统函数，可以根据FIR格型结构开发。设一个全极点系统函数由下式给定：,(8.2.12),图 8.2.4 全极点(IIR)滤波器格型结构,例 8.2.2 设全极点IIR滤波器系统函数为 求其格型结构网络系数，并画出格型结构。,解,由例 8.2.1 所求FIR格型结构网络系数：,图 8.2.5 例 8.2.2 中的IIR格型结构,8.3 简单整系数数字滤波器,8.3.1 建立在多项式拟合基础上的简单整系数滤波器 1.多项式拟合的基本概念 设序列x(n)中的一

9、组数据为x(i),i=-M,:,0,:,M，我们可以构造一个p阶多项式fi来拟和这一组数据x(i):,总的拟合误差为,(8.3.1),(8.3.2),为了使拟合满足最小均方误差准则，令E对各系数的导数为零，即令,则(8.3.3)式可写成如下形式：,(8.3.3),(8.3.4),2.最佳拟合模板与简单整系数FIR滤波器的单位脉冲响应h(n)在实际应用中，并不将fi的p+1 个系数全求出来，而是只求出a0,就可实现对x(n)的最佳拟合。由(8.3.1)式可知，例如，当M=2,p=2 时，为五点二次(抛物线)多项式拟合。据(8.3.4)式，并考虑当k+r=奇数时sk+r=0，有,(8.3.5),其

10、中，代入上式可得,(8.3.6),(8.3.7),(8.3.8),图 8.3.1 低通滤波器幅频特性(a)M=2,p=2;(b)M=3,p=3,8.3.2 建立在零极点对消基础上的简单整系数滤波器 如前所述，在单位圆上等间隔分布N个零点，则构成“梳状滤波器”。如果在z=1 处再设置一个极点，对消该处的零点，则构成低通滤波器，其系统函数和频率响应函数分别为,a,b),图 8.3.2 低通滤波器零、极点分布及幅频特性(N=10)(a)(8.3.9a)式的零、极点分布图；(b)(8.3.9b)式的幅频特性,基于同样的思想，在z=-1 处设置一个极点对消该处的零点，则构成高通滤波器，其系统函数及频率响

11、应函数分别为,a),b),图 8.3.3 高通滤波器零、极点分布及幅频特性(a)(8.3.10a)式零、极点分布；(b)幅频特性,假设我们要求带通滤波器的中心频率为0，0 0，应当在z=ej0和z=e-j0处设置一对共轭极点，则带通滤波器的系统函数和频响函数为,a),b),图 8.3.4 带通滤波器零、极点分布及幅频特性(N=12,0=/6)(a)(8.3.11a)式的零、极点分布；(b)幅频特性曲线,例如，取理想全通滤波器频响为 HAP(e j)=ce-jm,m为正整数，c为常数 要从HBP(ej)中减去带通滤波器HBP(ej)时，二者的相位特性必须一致。为此，HBP(z)a)式，存在一常数

12、相移/2)：,a),相应的频响函数为,b),取HAP(ej)中的m=N/2-1即可满足相位特性一致条件，带阻滤波器的系统函数和频响函数分别为,),(8.3.13b),(8.3.14),例 8.3.1 设计一个简单整系数低通滤波器，要求f60 Hz时，衰减不大于 3 dB，阻带最大衰减s=40 dB，采样频率fs=1200 Hz。b)和(8.3.14)式知道,(8.3.15),式中有两个未知数N和k。由已知条件可知：通带边界频率fp=60 Hz，ap=3 dB，相应的数字滤波器的 3 dB通带边界频率为,为了书写简单，令,(8.3.16),(8.3.17),(8.3.18),当N较大时，sin(

13、3/2N)3/2N，所以，可用 3/2N代替sin(3/2N)，得到:,频响的主瓣宽度由N确定，当p给定时，p与主瓣宽度有关。所以，为了求得N值，应利用下式：,当p很小时，sin(p/2)p/2，并令N p/2=x，则,因为在p处sinx/x恒为正，所以有,将sinx/x展开成台劳级数：,仅取前两项近似得,代入p=3 dB,k=3,解出x=0.8078,N=5.14，取N=6，所求低通滤波器系统函数为,(8.3.19),可求出|HLP(ej0)|=216，如果希望|HLP(ej0)|=1,则取,例 8.3.2 在信号采集时，往往会受到 50 Hz电源频率干扰，现希望设计一个整系数 50 Hz陷

14、波器，滤除 50 Hz干扰。要求陷波器阻带尽量窄，最好在 50 Hz2 Hz以内，而通带应尽量平坦。给定采样频率fs=400 Hz，试设计该陷波器。,解 由前述可知，这类整系数陷波器要用一个全通滤波器减去一个带通滤波器实现。所以，该题的关键是设计一个满足要求的带通滤波器。如前述，带通滤波a)式的形式：,(8.3.20),由于第一个极点z=ej/4一定是HBP(z)的一个零点，所以将其代入(8.3.20)式分子中，应有,为整数,所以，N/4=2l+1,N=4(2l+1),即N应是 4 的奇数倍，即,a),b),其频响函数为,a),b),图 8.3.5 50 Hz数字陷波器幅频特性(a)l=50,

15、k=1;(b)l=24,k=1;(c)l=24,k=2,8.4 采样率转换滤波器,8.4.1 信号的整数倍抽取 设x(n1,T1)是连续信号xa(t)的采样序列，采样率F1=1/T1(Hz)，T1称为采样间隔，单位为秒，即 x(n1T1)=xa(n1T1)(8.4.1)T2=DT1(8.4.2),图中n1和n2分别表示x(n1T1)和x(n2T2)序列的序号，于是有 y(n2T2)=x(n2DT1)(8.4.3)当n1=n2D时，y(n2T2)=x(n1T1)。,图 8.4.1 数字信号的抽取,如果x(n1T1)是连续信号xa(t)的采样信号，则xa(t)和x(n1T1)的傅里叶变换Xa(j)

16、和X(ej1)将分别是,(8.4.4),(8.4.5),其中，=2f(rad/s),f为模拟频率变量，1为数字频率。,由(2.4.7)式有,(8.4.6),(8.4.7),为了对抽样前后的频谱进行比较，作图时均以模拟角频率为自变量(横坐标)，为此按(8.4.6)式将X(ej1)写成的函数为,(8.4.8),图 8.4.2 xa(t),x(n1T1)及其傅里叶变换,图 8.4.3 抽取后的y(n2T2)及其频谱Y(ej2),图 8.4.4 带有抗混叠滤波器的抽取系统框图,图 8.4.5 信号在抽取前后的时域和频域示意图,在抽取前先令x(n1T1)乘以周期序列(n1T1)，即,其它,(8.4.9)

17、,(8.4.10),其中，(n1T1)定义如下：,于是(n1T1)的DFS展开式为,将(8.4.12)式代入(8.4.9)式得,(8.4.13),图 8.4.6 对x(n1T1)的直接抽取和等效抽取,下面推导Y(e j2)与X(e j1)的关系：,令,则,(8.4.14),(8.4.15),式中，.所以有(省去z2的下标),(8.4.16),图 8.4.7 在csa2/2时，抽取前后信号的时域和频域关系示意图,图 8.4.8 在csa2/2时，抽取前后信号的时域和频域关系示意图,例 8.4.1 一整数倍抽取系统如图 8.4.9所示，试求输出序列y(n2T2)。解 设输入序列x(n1T1)是已知

18、的，且设抽取后信号的采样率仍满足采样定理。,图 8.4.9 整数倍抽取系统,图中 x0(n1T1)=x(n1T1)x1(n1T1)=x(n1-1)T1所以 y0(n2T2)=y0(n2DT1)=x0(n2DT1)y1(n2T2)=y1(n2DT1)=x1(n2DT1)=x(n2D-1)T1故 y2(n2T2)=y0(n2T2)+y1(n2T2)=x(n2DT1)+x(n2D-1)T1,8.4.2 信号的整数倍内插 1.整数倍内插的概念与内插方法 从理论上讲，可以对已知的采样序列x(n1T1)进行D/A转换，得到原来的模拟信号x(t)，然后再对x(t)进行较高采样率的采样得到y(n2T2)，这里

19、 T1=IT2(8.4.17),图 8.4.10 内插概念示意图,图 8.4.11 零值内插方案的系统框图 图 8.4.12 内插过程中的各序列,2.整数倍内插的频域解释 为了回答上面的问题，我们设x(n1T1)为模拟信号x(t)的采样序列，并假定x(t)及其傅里叶变换X(j)如图 8.4.13所示。,图 8.4.13 x(t)和X(j)的示意图,图 8.4.14 x(n1T1),y(n2T2)和 I=3,下面分析图 8.4.11 中v(n2T2)的频谱，最后讨论为了得到满足插值要求的y(n2T2)(如图 8.4.14 所示)，对h(n2T2)的技术要求。,其它,(8.4.18),(8.4.1

20、9),图 8.4.15 和 频谱图(I=3),图 8.4.16 低通滤波器的理想幅频特性,3.内插器的输入、输出关系 1)时域输入、输出关系 由图8.4.11，有,及,其它,所以,(8.4.21),2)频域输入、输出关系,(8.4.22),(8.4.23),由(8.4.19)式知道,所以,在复频域分析图 8.4.11 时，其输入x(n1T1)的Z变换X(z1)与输出y(n2T2)的Z变换Y(z2)的关系推导如下：,(8.4.24),(8.4.25),为I的整数倍即,所以,(8.4.26)式中所有变量都为z2,所以可去掉下标得,(8.4.26),(8.4.27),4.整数倍抽取和内插在数字语音系

21、统中的应用 1)数字语音系统中信号的采样过程及存在的问题。2)数字语音系统中改进的A/D转换方案,图 8.4.17 语音信号的一般采样过程,图 8.4.18 数字语音系统的改进A/D转换器方案 及其各点信号波形与相应频谱,图 8.4.18 数字语音系统的改进A/D转换器方案 及其各点信号波形与相应频谱,图 8.4.19 改进的D/A转换方案框图,对(n1T1)进行D/A变换，得到：,时,时,图 8.4.20(n2T2)及(n1T1)的时域和频域表示,图 8.4.21(t)的时域和频域表示,图 8.4.22 模拟低通滤波器 幅频特性要求,图 8.4.23 恢复模拟信号 及其频谱,8.4.3 多采

22、样率FIR系统的网络结构 1.整数倍抽取器的FIR直接实现 整数(D)倍抽取器框图如图 8.4.24 所示。抗混叠低通滤波器用FIR结构时，抽取器的时域输入、输出关系为(设h(rT1)长度为N),(8.4.29),(8.4.30),图 8.4.24 D倍抽取器框图,图 8.4.25 D倍抽取器的FIR直接实现,图 8.4.26 等效变换后D倍抽取器的FIR直接实现,图 8.4.27 抽取器FIR结构的线性相位形式,2.整数倍内插器的FIR直接实现 整数倍内插系统框图如图 8.4.28 所示。滤除镜像频谱滤波器h(n2T2)采用FIR结构时，I倍内插器的FIR直接实现结构如图 8.4.29 所示。,图 8.4.28 整数倍内插系统框图,图 8.4.29 整数倍内插器FIR直接实现结构,图 8.4.30 FIR滤波网络的转置型结构,图 8.4.31 滤波网络转置后的内插系统的直接实现,图 8.4.32 内插系统直接实现的高效结构,图 8.4.33 内插器的线性相位FIR直接实现,