全微分方程的解法.ppt
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1、恰当方程(全微分方程),一、概念 二、全微分方程的解法,若有全微分形式,则,称为全微分方程。,定义:,例1:,所以是全微分方程.,方程 是否为全微分方程?,解:,通解则为(C为任意常数)。,问题:,(1)如何判断全微分方程?,(2)如何求解全微分方程?,(3)如何转化为全微分方程?,是全微分方程,中连续且有连续的一阶偏导数,则,(1)证明必要性,证明:,因为 是全微分方程,,则存在原函数,使得,所以,将以上二式分别对 求偏导数,得到,又因为 偏导数连续,,,即,所以,(2)证明充分性,设,,求一个二元函数 使它满足,即,由第一个等式,应有,代入第二个等式,应有,这里,因此,,则,因此可以取,此
2、时,这里由于,故曲线积分与路径无关。因此,(1)线积分法:,或,(2)偏积分法,第一个等式对 积分,代入第二个等式求,,即可得,(3)凑微分法,直接凑微分得,例2:验证方程,是全微分方程,并求它的通解。,由于,解:,所以方程为全微分方程。,(1)线积分法:,故通解为,(2)偏积分法:,假设所求全微分函数为,则有,代入可得,因此,从而,即,(3)凑微分法:,由于,方程的通解为:,根据二元函数微分的经验,原方程可写为,例3:验证方程,是全微分方程,并求它的通解。,由于,解:,所以方程为全微分方程。,(1)线积分法:,故通解为,(2)偏积分法:,假设所求全微分函数为,则有,所以,从而,即,(3)凑微
3、分法:,方程的通解为:,根据二元函数微分的经验,原方程可写为,练习:验证方程,是全微分方程,并求它的通解。,方程的通解为:,积分因子法,一、概念 二、积分因子的求法,一、定义:,连续可微函数,使方程,成为全,.,.,例1,的积分因子,并求方程的通解。,解:,是全微分方程。,方程通解为,1.公式法:,求解不容易,特殊地:,(两边同除),a.当 只与 有关时,,b.当 只与 有关时,,2.观察法:,凭观察凑微分得到,常见的全微分表达式,一般可选用的积分因子有,等。,可选用的积分因子有,可选用的积分因子有,例2,解,则原方程成为,.,1.公式法:,原方程的通解为,2.观察法:,将方程左端重新组合,有,可选用的积分因子有,可选用的积分因子有,因此取积分因子为,原方程的通解为,分组求积分因子的思想。,练习,求微分方程,的通解。,
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