全国高等学校民族预科教材数学第四章.ppt

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1、第四章 基本初等函数函数是描述客观世界中变量间的依赖关系的工具，是高等数学的研究对象，是现代科学技术中不可缺少的内容，本章简要介绍基本初等函数的概念、性质和图形。,第一节 函数的概念,常量与变量,注意 一个量究竟是常量还是变量,不是绝对的,要根据具体过程和条件来确定.,而在过程中可取不同数值的量称为变量.,在某过程中始终保持同一数值的量称为常量,一、函数的概念,是自变量的所有允许值的集合，称为函数的定义域而因变量的所有对应值的集合则称为函数的值域.,定义1-1 设和是同一变化过程中的两个变量，如果对于变量 的每一允许的取值，按照一定的规律，变量 总有一个确定值与之对应，则称变量 是变量 的函数

2、变量 称为自变量，变量 称为因变量.记为,注意1 在实际问题中,定义域是由实际问题决定的.,注意2 函数的两要素为：定义域与对应规律因此,两个函数只有当它们的对应规律和定义域都完全相同时,才认为是两个相同的函数.,例1例2,例3例4,在不同的区间上用不同的解析式子表示的函数，称为分段函数,例5,分段函数,例6 设,求 f(-2),f(-0.5),f(0),f(1.2)解：f(-2)=(-2)2=4 f(-0.5)=-(-0.5)=0.5 f(0)=0 f(1.2)=1.22=1.44,定义为：当 时，,例7 设,当 时，则,1.单调性,增函数,减函数,设、是函数 在定义区间 内的任意两点,且.

3、若,则称在内是单调递增的;若,则称在 内是单调递减的.,二、函数的几种特性,例证：,2.奇偶性,偶函数,奇函数,如果对于函数 定义域内的任意点,恒有,则称 是偶函数;如果对于函数,定义域内的任意点,恒有,则称,是奇函数.,例证：因为 即,3.有界性,例,4.函数的周期性,对于函数,如果存在正的非零常数 T,使得定义域D内任一x，恒有 且 则称 为周期函数,满足这个等式的最小正数 T,称为函数的周期.,例如 都是周期函数,周 期为.,三、反函数定义 一般地，函数 y=(x)(xA)中，设它的值域为 C我们根据这个函数中 x，y 的关系，用 y 把 x 表示出来，得到 x=(y)如果对于 y 在

4、C 中的任何一个值，通过 x=(y)，在 A 中都有唯一的值和它对应，那么，x=(y)就表示 y 是自变量，x 是自变量 y 的函数这样的函数 x=(y)(yC)叫做函数 y=(x)(xA)的反函数，记作 X=-1(y)(yC)反函数存在条件：在区间I上单调的函数才有反函数。,求反函数的步骤,y=f(x)(xA),x=,(yC),反解,x=(yC),对调,y=(xC),例.求函数y=3x-2的反函数，并画出原函数和反函数的图象.,解 y=3x-2,x=,函数y=3x-2(xR）的反函数为,原函数与反函数的关系：1、原函数和其反函数的图象关于直线y=x对称，2、互为反函数在各自的定义域内单调性一

5、致。,第二节 幂函数、指数函数、对数函数,一、幂函数一般地，函数 叫做幂函数，其中x是自变量，a是常数.注意:幂函数中a的可以为任意实数.,x,y,在同一平面直角坐标系内作出幂函数,的图象.,O,奇,偶,奇,非奇非偶,奇,(1,1),R,R,R,x|x0,0,+）,R,R,y|y0,0,+）,0,+）,在R上增,在（-，0)上减，,在R上增,在0，+）上增，,在（-，0上减,在0，+）上增，,在(0，+)上减,x,y,O,幂函数 的性质,(1)所有的幂函数在(0,)都有定义，并且图象都通过点(1,1),(2)如果a0，则幂函数图象过原点，并且在区间0,)上是增函数；,(3)如果a0，则幂函数图

6、象在区间(0,)上是减函数，在第一象限内，当x从右边趋向于原点时，图象在y轴右方无限地逼近y轴，当x趋向于时，图象在x轴上方无限地逼近x轴；(4)当a为奇数时，幂函数为奇函数；当a为偶数时，幂函数为偶函数,二、指数函数一般地，函数 叫做指数函数，其中x是自变量，a为常数，函数的定义域是R.值域y0.例1解：,指数函数的图象和性质,三、对数函数一般地,函数 叫做对数函数。定义域为（0，+）指数函数与对数函数互为反函数。,对数函数的性质,（0，+）,过点（1，0），即当x=1时，y=0,在(0,+)上是增函数,在(0,+)上是减函数,例4解,A,B,顶点,始边,终边,正角：按逆时针方向旋转形成的角

7、,负角：按顺时针方向旋转形成的角,零角：射线不作旋转时形成的角,第三节 三角函数,1.任意角 的概念,正角：射线按逆时针方向旋转形成的角,负角：射线按顺时针方向旋转形成的角,零角：射线不作旋转形成的角,1)置角的顶点于原点,2)始边重合于X轴的非负半轴,2.象限角,终边落在第几象限就是第几象限角,3.终边与 角相同的角,K3600，KZ,角度制与弧度制的换算：测量角的大小通常用角度制和弧度制，它们的关系是：,360=2rad,180=rad,任意角三角函数的定义：,如图:设 是一个任意角,它的终边与单位圆交于点P(x,y)，那么：,同角三角函数的关系：,有向线段：像MP,OM这种被看作带有方 向的线段，叫做有向线段；,三角函数线：上图中三条与单位圆有关的有向线段MP，OM，AT,分别叫做角的正弦线、余弦线、正切线，统称为三角函数线.,三角函数线,诱导公式：,特殊角的三角函数值：,例1解：,例2,例4证明：,