全国大学生力学竞赛-材料力学冲刺.ppt
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1、材 料 力 学,竞 赛 训 练(2),一、简化问题,二、平衡与叠加,三、结构的失效,模型简化,数学简化,物理事实简化,对称结构简化,整体平衡,局部平衡,叠加原理及其应用,构件的失效,训 练 内 容,危险截面和危险点,组合结构的失效,四、变动荷载问题,变动荷载对结构强度、刚度和稳定性的最不利位置,利用极值性质确定最不利位置,临界点、临界线以及它们所界定的区域,五、极值和优化问题,利用函数导数求极值,张量的极值就是其主值,利用极值出现处的性质和特点求极值,结构的优化,基础性概念和基本方法,六、非线性问题,七、能量方法,八、应变的测量,物理非线性,几何非线性,稳定问题,互等定理,温度荷载问题,动荷载
2、问题,非线性问题,应变测试原理,常用测试方法,五、极值和优化问题,利用函数导数求极值,提示 利用函数导数求极值的关键,是明确自变量和目标函数,并建立目标函数与自变量之间的函数关系。,一般可以直接利用目标函数的物理意义来确定所求出极值是极大或极小。大多数情况下不必通过二阶导数确定极值的性质。,由于在许多情况下是在有限区间内讨论问题的,因此应注意区间两端点处的函数值是否可能构成极值。,如果函数是线性的,那么极值一定出现在所讨论的区间的两个端点处。,例 圆形横截面对称地去掉最上下部份,有可能使抗弯截面系数增加。求使抗弯截面系数为最大的角度。,圆台的惯性矩等于四个三角形与四个扇形对水平对称轴惯性矩的和
3、。,三角形对水平对称轴的惯性矩 I1,直角三角形对于过形心的 C 轴的惯性矩。,例 圆形横截面对称地去掉最上下部份,有可能使抗弯截面系数增加。求使抗弯截面系数为最大的角度。,圆台的惯性矩等于四个三角形与四个扇形对水平对称轴惯性矩的和。,三角形对水平对称轴的惯性矩,扇形对水平对称轴的惯性矩,圆台关于水平对称轴的惯性矩,抗弯截面系数,抗弯截面系数,未切前抗弯截面系数,五、极值和优化问题,利用函数导数求极值,利用极值出现处的性质和特点求极值,提示 函数在某点处取极值,那么在这一点处函数的导数为零。若函数是挠度,则意味着该点转角为零。,例 如图的简支梁中,BC 段为刚体。AC 段的抗弯刚度为EI,求梁
4、中的最大挠度。,梁的变形如图。,先求支反力。,最大挠度必产生于 AC 之间。,将原结构视为两段悬臂梁。,由 可解得,故有最大挠度,提示 简支梁问题的求解,可以在极值点处分解为两个悬臂梁来进行分析。,五、极值和优化问题,利用函数导数求极值,结构的优化,利用极值出现处的性质和特点求极值,提示 优化的结构,应使结构的各部份的强度、刚度和稳定性都得到充分的利用。,在强度问题中,优化的结构应尽量使结构中各构件(或构件中的各个部份)的危险点应力同时达到许用应力。,例 如图的混凝土梁单位长度的重量为 q。为了便于运输,可在梁上预埋吊钩。吊钩位置应在何处?如何正确吊装以避免梁开裂?,吊钩应置于横截面尺寸小的一
5、侧,并关于中点对称预埋。,梁处于吊装状态时,可简化为如图的梁。,弯矩的峰值出现在 C、D 截面。,考察 C、D 截面的弯矩与 a 的函数关系。,只有 C、D 截面弯矩的绝对值相等,才能使最大绝对值弯矩为最小。,为了避免产生附加的弯矩,在吊装时可考虑采用辅助吊杆。,提示 当某个参量同时决定两个函数,且这两个函数处于此长彼消的态势时,这两个函数值的交点往往就是极值点。,分析和讨论,梁的横截面为矩形,两支座怎样移动,才能使梁的承载能力为最大?,梁的横截面如图,两支座怎样移动,才能使梁的承载能力为最大?,例 如图承受均布荷载的梁由三个相通的油缸支承。为使梁中弯矩为最小,油缸的直径比应为多少?并求中间支
6、座与两端支座的高度差。,分析 由于底部油缸连通,即油压相同,因此梁所承受的支反力与油缸支承面积成正比。,因此,欲求梁中弯矩为最小的要求,实际上是对支反力的要求。,问题可简化为如图的模型。,当梁中正弯矩与负弯矩数值相等时,梁中弯矩最小。,梁中的正弯矩随 R 的增加单调递减。,梁中的负弯矩数值随 R 的增加单调递增。,端部支反力:,例 如图承受均布荷载的梁由三个相通的油缸支承。为使梁中弯矩为最小,油缸的直径比应为多少?并求中间支座与两端支座的高度差。,跨中弯矩,跨中弯矩取极值的位置,该处弯矩,中点弯矩,跨中弯矩极值与中点弯矩数值相等:,由此可得中点支反力:,端部支反力:,两者之比:,若油缸压力为
7、p:,支座高度差:,分析和讨论,如图的悬臂梁承受均布荷载,右端有一铰支座。为了提高梁的承载能力,可以把支座的位置适当向上提升。,支座高度差,等于多少,才能使梁的承载能力提高得最多?,等强度梁的概念,由此即可确定截面的尺寸。,截面尺寸主要取决于弯矩,但在剪力很大而弯矩较小的区段也应考虑剪力的影响。,根据强度设计梁的截面,在左端,只考虑剪力的影响,随着 x 的增加,应考虑弯矩的影响,由于对称性,可以只考虑左半部份。,例 图中梁的宽度 b 保持不变,材料许用应力为 和,根据等强度观点确定梁的高度 h 的变化规律。,显然 h1 应大于 零,即,故有,例 图中梁的宽度 b 保持不变,材料许用应力为 和,
8、根据等强度观点确定梁的高度 h 的变化规律。,分析和讨论,为什么汽车车厢的支承弹簧要采取如图的结构形式?,分析和讨论,为了提高结构的承载能力和经济性,可以采取哪些措施?,改善荷载分布方式和支承方式,利用材料性能改善结构的承载方式,改善构件的几何形式,在超静定结构中有意识地利用装配应力,提示 梁由混凝土材料制成,如果横截面从左图改为右图,只能改善强度而不能改善刚度。,把构件的材料由低质钢改为优质钢,不能提高其刚度和稳定性。,分析和讨论,两个梁材料相同,左梁分为若干层,右梁为整体材料,谁能承受更大的力 F?,两个构件材料相同,一个由整体钢筋制成,一个由若干根钢丝组成,两者有效横截面积相同,谁能承受
9、更大的力 F?,五、极值和优化问题,利用函数导数求极值,结构的优化,张量的极值就是其主值,利用极值出现处的性质和特点求极值,提示 应力、应变、惯性矩和惯性积这三类量都是张量。,杆件横截面上的形心主惯性矩就是该截面上沿不同方位的惯性矩的极值。,例 如图的结构中,若允许在顶端增加一根可拉压的弹簧以增加抗失稳能力,那么弹簧应如何安置最为合理?,分析 图示的杆件失稳,发生在横截面形心主惯性矩较小的方向上。,故应沿 x 轴安装弹簧最合理。,因此,应先计算图示坐标系下的两个惯性矩和惯性积,再求其主方向。,分析和讨论,将宽为 6b 的硬纸折叠成上图的形状粘牢,竖立起来。,另外,将宽为 8b 的硬纸折叠成下图
10、的形状粘牢竖立。,如果上图的结构能够承受的竖向压力为 F,那么下图结构能够承受多大的荷载?,分析和讨论,提示 如果截面的对称轴多于两个,那么任意过形心的轴都是该截面的形心惯性主轴。,如图的横截面中,各部份对形心惯性主轴的贡献是相等的。,五、极值和优化问题,利用函数导数求极值,结构的优化,张量的极值就是其主值,利用极值出现处的性质和特点求极值,提示 应力、应变、惯性矩和惯性积这三类量都是张量。,应力的极值问题有三个层面:(1)是杆件中哪个横截面上的应力?(2)是该横截面上哪个点的应力?(3)是该点处哪个方位上的应力?,第三个层面上的极值问题的实质就是主应力和主方向。,图解法求张量极值 应力圆,1
11、.应力圆的概念,圆心,半径,这是一个关于动点(,)的圆方程。,以 为横轴、为纵轴建立坐标系。,切应力的符号规定 对单元体中任意点有顺时针方向矩的切应力为正。这一规定无论是对单元体本身所有的四个面,还是对斜截面都是一样的。,注意 在应力圆的应用中,x 与 y 是区别开的。,2.根据单元体应力作应力圆,1)建立 坐标系;,4)连接 A 和 A,该线段与横轴交点即为圆心 O,OA 即为半径;,2)在 平面中确定点;,3)确定点;,5)作圆。,用应力圆上的点表示斜截面上的应力,在应力圆上,从 A 开始,与 保持相同的转向,转 2 的角度至 K 点,K 点所对应的横坐标即为斜截面上的正应力,纵坐标即切应
12、力。,在应力圆上,A 点所对应的横坐标即为单元体左侧面上的正应力,纵坐标即切应力。,3.应力圆的应用,斜截面上的应力:,在应力圆上,从 A 开始,与 保持相同的转向,转 2 的角度至 K 点,K 点所对应的横坐标即为斜截面上的正应力,纵坐标即切应力。,主应力和主方向:,最大切应力:,例 对如图的应力状态,求=30 截面上的正应力和切应力。并求主应力大小。,应力状态,作应力圆,从 A 点开始,逆时针转 60 到 K 点,分析和讨论,应力圆退化成一个点对应于什么应力状态?,应力圆通过原点时是什么应力状态?,应力圆的圆心在原点时是什么应力状态?,例 求如图斜面上的切应力。,分析,已知信息:,A 点位
13、置,B 点所在的竖直线,BOA 的大小,目标:,确定圆心 O 位置,注意 BBA=60!,例 求如图斜面上的切应力。,应力圆作法,过 A 点作竖线垂线。,过 A 点作 30斜线交竖线于 B。,作 AB 的垂直平分线交横轴于 O。,以 O 为圆心,以 OA 为半径作圆。,分析和讨论,如何作应力状态的应力圆?,4.关于应变圆,应变圆的原理与应力圆相同。,应变圆的横轴为线应变,纵轴为切应变之半/2。,切应变以直角的增加量为正。,例 根据直角应变花的测量值画出应变圆。,分析,已知信息:,三个应变值;,a 与 c 幅角相差 90;,a 与 b 幅角相差 45;,圆心必定在 AC 中点。,OAK O PB
14、。,例 根据直角应变花的测量值画出应变圆。,应变圆作法,确定 AC 的中点 O,,截取 O B=AK。,以 O 为圆心,以 O K 为半径,即可作应变圆。,作a、b 和 c 三条竖线;,五、极值和优化问题,利用函数导数求极值,结构的优化,张量的极值就是其主值,利用极值出现处的性质和特点求极值,提示 应力、应变、惯性矩和惯性积这三类量都是张量。,应力的极值问题有三个层面:(1)是杆件中哪个横截面上的应力?(2)是该横截面上哪个点的应力?(3)是该点处哪个方位上的应力?,第三个层面上的极值问题的实质就是主应力和主方向。,六、非线性问题,物理非线性,应力与应变关系非线性,荷载与变形关系非线性,提示
15、注意物理非线性不影响静定结构的内力,仅影响其变形。物理非线性必定影响超静定结构的内力。,在拉压、扭转和弯曲等横截面应力公式中,只有拉压应力公式可以直接用于物理非线性问题之中。,例 图示结构中,AB 材料应力应变关系为,AC 为,两杆横截面积相同,试求 A 点铅垂位移。,根据平衡求出各杆内力。,各杆线应变,各杆变形量,六、非线性问题,物理非线性,分段线性问题,当构件某些部位或某些区段进入了塑性,有可能使外荷载与变形量之间呈现出分段线性的形态。,应力与应变关系非线性,荷载与变形关系非线性,例 在两端固定的杆件截面 C 上,沿轴线作用的 F 力由零缓慢地增长至杆件完全进入塑性。b a,杆件的横截面积
16、为 A,材料的弹性模量为E,屈服极限为 S。根据理想弹塑性模型,画出截面 C 的位移 uC 随 F 力变化的图像。,先考虑左右两段均处于弹性阶段的情况。,设两段的轴力分别为拉力 FNA 和压力 FNB,则有,可得,由于 b a,故左段先进入塑性。,左段刚进入塑性时,,荷载继续增加时,,右段的轴力,左段的轴力,C 截面的位移取决于右段,当 时,,分析和讨论,如果不卸载,加载曲线将如何进一步发展?,提示 在某些超静定结构中,即使本构关系是线性的,荷载位移关系也会呈现出分段线性的情况。,分析和讨论,图示结构中,荷载 F 和 C 点位移的关系会是分段线性的吗?,荷载 F 和 C 点位移的关系图线具有什
17、么趋势?,例 如果在右段刚进入塑性时即开始卸载,直到外荷载为零。求残余应力和 C 截面残余位移。,卸载可认为是附加上反向荷载 F。,弹性阶段,右梁刚进入塑性,反向荷载 F 相应的变形满足 Hooke 定律。,左段附加压力,右段附加拉力,C 截面的附加位移,左段残余应力,右段残余应力,C 截面的残余位移,例 半径为 R 的刚性圆盘在圆周上由六根等距排列且完全一样的立柱支撑。竖向集中力F 可在圆盘上自由平行移动。立柱柔度很小,但其屈服极限 S 为 F/4。如果要使每一根立柱都不进入塑性,F 应该限制在什么区域内?如果要使圆盘不致于倾翻,F 应该限制在什么区域内?,与失稳分析类似,若要每一根立柱都不
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