信息学奥赛一本通 第3章第3节 堆及其应用(C++版).ppt

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1、第三节 堆及其应用,一、预备知识,完全二叉树：如果一棵深度为K二叉树，1至k-1层的结点都是满的，即满足2i-1，只有最下面的一层的结点数小于2i-1，并且最下面一层的结点都集中在该层最左边的若干位置，则此二叉树称为完全二叉树。,二、堆的定义,堆结构是一种数组对象，它可以被视为一棵完全二叉树。树中每个结点与数组中存放该结点中值的那个元素相对应，如下图：,三、堆的性质,设数组A的长度为len，二叉树的结点个数为size，sizelen，则Ai存储二叉树中编号为i的结点值（1isize），而Asize以后的元素并不属于相应的堆，树的根为A1，并且利用完全二叉树的性质，我们很容易求第i个结点的父结点

2、（parent(i)）、左孩子结点(left(i)、右孩子结点(right(i)的下标了,分别为：i/2、2i、2i+1；更重要的是，堆具有这样一个性质，对除根以外的每个结点i，Aparent(i)Ai。即除根结点以外，所有结点的值都不得超过其父结点的值，这样就推出，堆中的最大元素存放在根结点中，且每一结点的子树中的结点值都小于等于该结点的值，这种堆又称为“大根堆”；反之，对除根以外的每个结点i，Aparent(i)Ai的堆，称为“小根堆”。,四、堆的操作,用堆的关键部分是两个操作：put操作，即往堆中加入一个元素；get操作，即从堆中取出并删除一个元素。1、往堆中加入一个元素的算法(put)

3、如下：（1）在堆尾加入一个元素，并把这个结点置为当前结点。（2）比较当前结点和它父结点的大小 如果当前结点小于父结点，则交换它们的值，并把父结点置为当 前结点。转（2）。如果当前结点大于等于父结点，则转（3）。（3）结束。,重复n次put操作，即可建立一个小根堆。我们举一个例子看看具体过程：设n=10，10堆的数量分别为：3 5 1 7 6 4 2 5 4 1。设一个堆结构heap11,现在先考虑用put操作建一个小根堆，具体方法是每次读入一个数插入到堆尾，再通过调整使得满足堆的性质(从堆尾son=len开始，判断它与父结点son/2的大小，若heapson=heapson/2为止)。开始时堆

4、的长度len=0。,实际上，我们也可以直接用完全二叉树的形式描述出这个过程，得到如下的一棵完全二叉树（堆）：,void put(int d)/heap1为堆顶int now,next;heap+heap_size=d;now=heap_size;while(now 1)next=now 1;if(heapnow=heapnext)break;swap(heapnow,heapnext);now=next;,使用C+标准模板库STL（需要头文件）：void put(int d)heap+heap_size=d;/push_heap(heap+1,heap+heap_size+1);/大根堆pus

5、h_heap(heap+1,heap+heap_size+1,greater();/小根堆,2、从堆中取出并删除一个元素的算法(get)如下：（1）取出堆的根结点的值。（2）把堆的最后一个结点（len）放到根的位置上，把根覆盖掉。把堆 的长度减一。（3）把根结点置为当前父结点pa。（4）如果pa无儿子（palen/2），则转（6）；否则，把pa的两（或一）个儿子中值最小的那个置为当前的子结点son。（5）比较pa与son的值，如果fa的值小于或等于son，则转（6）；否则，交换这两个结点的值，把pa指向son，转（4）。（6）结束。,int get()/heap1为堆顶int now=1,ne

6、xt,res=heap1;heap1=heapheap_size-;while(now*2=heap_size)next=now*2;if(next heap_size,使用C+标准模板库STL（需要头文件）：int get()/pop_heap(heap+1,heap+heap_size+1);/大根堆pop_heap(heap+1,heap+heap_size+1,greater();/小根堆return heapheap_size-;,五、堆的应用,例1、合并果子(fruit)【问题描述】在一个果园里，多多已经将所有的果子打了下来，而且按果子的不同种类分成了不同的堆。多多决定把所有的果子

7、合成一堆。每一次合并，多多可以把两堆果子合并到一起，消耗的体力等于两堆果子的重量之和。可以看出，所有的果子经过n-1次合并之后，就只剩下一堆了。多多在合并果子时总共消耗的体力等于每次合并所耗体力之和。因为还要花大力气把这些果子搬回家，所以多多在合并果子时要尽可能地节省体力。假定每个果子重量都为1，并且已知果子的种类数和每种果子的数目，你的任务是设计出合并的次序方案，使多多耗费的体力最少，并输出这个最小的体力耗费值。例如有3种果子，数目依次为1，2，9。可以先将 1、2堆合并，新堆数目为3，耗费体力为3。接着，将新堆与原先的第三堆合并，又得到新的堆，数目为12，耗费体力为 12。所以多多总共耗费

8、体力=3+12=15。可以证明15为最小的体力耗费值。,【输入文件】输入文件fruit.in包括两行，第一行是一个整数n（1=n=30000），表示果子的种类数。第二行包含n个整数，用空格分隔，第i个整数ai（1=ai=20000）是第i种果子的数目。【输出文件】输出文件fruit.out包括一行，这一行只包含一个整数，也就是最小的体力耗费值。输入数据保证这个值小于231。,【样例一输入】31 2 9【样例一输入】103 5 1 7 6 4 2 5 4 1,【样例一输出】15【样例一输出】120,【数据规模】对于30%的数据，保证有n=1000；对于50%的数据，保证有n=5000；对于全部的

9、数据，保证有n=30000。,【问题分析】1、算法分析 将这个问题换一个角度描述：给定n个叶结点，每个结点有一个权值Wi，将它们中两个、两个合并为树，假设每个结点从根到它的距离是Di，使得最终(wi*di)最小。于是，这个问题就变为了经典的Huffman树问题。Huffman树的构造方法如下：（1）从森林里取两个权和最小的结点；（2）将它们的权和相加，得到新的结点，并且把原结点删除，将新结点插入到森林中；（3）重复(1)(2)，直到整个森林里只有一棵树。,2、数据结构 很显然，问题当中需要执行的操作是：(1)从一个表中取出最小的数(2)插入一个数字到这个表中。支持动态查找最小数和动态插入操作的

10、数据结构，我们可以选择用堆来实现。因为取的是最小元素，所以我们要用小根堆实现。用堆的关键部分是两个操作：put操作，即往堆中加入一个元素；get操作，即从堆中取出并删除一个元素。3、操作实现 整个程序开始时通过n次put操作建立一个小根堆，然后不断重复如下操作：两次get操作取出两个最小数累加起来，并且形成一个新的结点，再插入到堆中。如1+1=2，再把2插入到堆的后面一个位置，然后从下往上调整，使得包括2在内的数组满足堆的性质,即：,get和put操作的复杂度均为log2n。所以建堆复杂度为nlog2n。合并果子时，每次需要从堆中取出两个数，然后再加入一个数，因此一次合并的复杂度为3log2n

11、，共n-1次。所以整道题目的复杂度是nlog2n。,【参考程序】#include#include using namespace std;int heap_size,n;int heap30001;void swap(int,now=next;int get()int now,next,res;res=heap1;heap1=heapheap_size-;now=1;while(now*2 n;,for(i=1;i x;put(x);for(i=1;i n;i+)/取、统计、插入x=get();y=get();/也可省去这一步，而直接将x累加到heap1然后调整ans+=x+y;put(x+y

12、);cout ans endl;int main()freopen(fruit.in,r,stdin);freopen(fruit.out,w,stdout);ios:sync_with_stdio(false);/优化。打消iostream的输入输出缓存，使得cin cout 时间和printf scanf 相差无几work();return 0;,使用C+标准模板库STL：#include#include#include using namespace std;int n;priority_queue,greater h;/优先队列 void work()int i,x,y,ans=0;c

13、in n;for(i=1;i x;h.push(x);,for(i=1;i n;i+)/取、统计、插入x=h.top();h.pop();y=h.top();h.pop();ans+=x+y;h.push(x+y);cout ans endl;int main()freopen(fruit.in,r,stdin);freopen(fruit.out,w,stdout);work();return 0;,例2、堆排序(heapsort)【问题描述】假设n个数存放在A1.n中，我们可以利用堆将它们从小到大进行排序，这种排序方法，称为“堆排序”。输入两行，第1行为n，第2行为n个整数，每个数之间用1

14、个空格隔开。输出1行，为从小到大排好序的n个数，每个数之间也用1个空格隔开。【问题分析】一种思路是完全按照上一个例题的方法去做。【参考程序1】#include#include using namespace std;int heap_size,n;int heap100001;,void swap(int,heap1=heapheap_size-;now=1;while(now*2 n;for(i=1;i x;put(x);,for(i=1;i n;i+)cout get();cout get()endl;int main()freopen(heapsort.in,r,stdin);freop

15、en(heapsort.out,w,stdout);work();return 0;另一种思路是考虑这样两个问题，一是如何构建一个初始（大根）堆？二是确定了最大值后（堆顶元素A1即为最大值），如何在剩下的n-1个数中，调整堆结构产生次大值？对于第一个问题，我们可以这样理解，首先所有叶结点（编号为N/2+1到N）都各自成堆，我们只要从最后一个分支结点（编号为N/2）开始，不断“调整”每个分支结点与孩子结点的值，使它们满足堆的要求，直到根结点为止，这样一定能确保根（堆顶元素）的值最大。“调整”的思想如下：即如果当前结点编号为i,则它的左孩子为2*i,右孩子2*i+1,首先比较Ai与MAX（A2*i

16、，A2*i+1）；如果Ai大，说明以结点i为根的子树已经是堆，不用再调整。否则将结点i和左右孩子中值大的那个结点j互换位置，互换后可能破坏以j为根的堆,所以必须再比较Aj 与MAX（A2*j，A2*j+1）,依此类推，直到父结点的值大于等于两个孩子或出现叶结点为止。这样，以i为根的子树就被调整成为一个堆。编写的子程序如下：void heap(int r,int nn,int ii)/一次操作，使r满足堆的性质，得到1个最大数在rii中 int x,i=ii,j;x=rii;/把待调整的结点值暂存起来 j=2*i;/j存放i的孩子中值大的结点编号，开始时为i的左孩子编号 while(j=nn)/

17、不断调整，使以i为根的二叉树满足堆的性质 if(j nn/故意让j超出范围，终止循环,ri=x;/调整到最终位置 经过第一步骤建立好一个初始堆后，可以确定堆顶元素值最大，我们就把它A1与最后一个元素AN交换，然后再对A1.N-1进行调整，得到次大值与AN-1交换，如此下去，所有元素便有序存放了。主程序的框架如下：【参考程序2】int a100001;int i,temp,n;int main()输入n和n个元素；for(i=n/2;i=1,i-)heap(a,n,i)；/建立初始堆，且产生最大值A1,for(i=n;i=2;i-)/将当前最大值交换到最终位置上，再对前i-1个数调整 swap(

18、a1,ai);heap(a,i-1,1)；输出；return 0;【小结】堆排序在数据较少时并不值得提倡，但数据量很大时，效率就会很高。因为其运算的时间主要消耗在建立初始堆和调整过程中，堆排序的时间复杂度为O（nlog2n），而且堆排序只需一个供交换用的辅助单元空间，是一种不稳定的排序方法。,例3、鱼塘钓鱼（fishing）【问题描述】有N个鱼塘排成一排（N100），每个鱼塘中有一定数量的鱼，例如：N=5时，如下表：即：在第1个鱼塘中钓鱼第1分钟内可钓到10条鱼，第2分钟内只能钓到8条鱼，第5分钟以后再也钓不到鱼了。从第1个鱼塘到第2个鱼塘需要3分钟，从第2个鱼塘到第3个鱼塘需要5分钟，,【编

19、程任务】给出一个截止时间T(T1000)，设计一个钓鱼方案，从第1个鱼塘出发，希望能钓到最多的鱼。假设能钓到鱼的数量仅和已钓鱼的次数有关，且每次钓鱼的时间都是整数分钟。【输入格式】输入文件共5行，分别表示：第1行为N；第2行为第1分钟各个鱼塘能钓到的鱼的数量，每个数据之间用一空格隔开；第3行为每过1分钟各个鱼塘钓鱼数的减少量，每个数据之间用一空格隔开；第4行为当前鱼塘到下一个相邻鱼塘需要的时间；第5行为截止时间T；【输出格式】输出文件仅一个整数（不超过231-1），表示你的方案能钓到的最多的鱼。,【知识准备】最优化原理、贪心法、动态规划、用堆结构实现贪心。【问题分析】算法一：我们可以这样想：如

20、果知道了取到最大值的情况下，人最后在第i个鱼塘里钓鱼，那么用在路上的时间是固定的，因为我们不会先跑到第i个鱼塘里钓一分钟后再返回前面的鱼塘钓鱼，这样把时间浪费在路上显然不划算，再说在你没到某个鱼塘里去钓鱼之前，这个塘里的鱼也不会跑掉（即数量不会减少）。所以这时我们是按照从左往右的顺序钓鱼的，也可以看成路上是不需要时间的，即人可以自由在1i个鱼塘之间来回走，只要尽可能选取钓到的鱼多的地方就可以了，这就是我们的贪心思想。其实，这个贪心思想并不是模拟钓鱼的过程，只是统计出在各个鱼塘钓鱼的次数。程序实现时，只要分别枚举钓鱼的终,【输入样例】510 14 20 16 92 4 6 5 33 5 4 41

21、4,【输出样例】76,点鱼塘（从鱼塘1到鱼塘n），每次按照上述贪心思想确定在哪些鱼塘里钓鱼，经过n次后确定后最终得到的一定是最优方案。算法二：其实，这道题是考虑最优性问题的，所以我们也可以用动态规划来解决，假设用Opttn来表示第t分钟时，人在第n个鱼塘里钓鱼，最多所能钓到的鱼数。则：Opttn=MaxinumOptt-kn-1+S；穷举k，S为t-k+1到t之间，除去从第n-1的鱼塘走到第n个鱼塘的时间，在第n个鱼塘中可以钓到的鱼数。算法三：建立以fish为关键字的大根堆，包括能钓到鱼的数量和池塘的编号。然后借助枚举创造条件，实现复杂度为O（m*nlogn）的算法。【参考程序】#includ

22、e#include using namespace std;struct Data int fish,lake;/堆中结点的信息;,Data heap101;int t101,f101,d101;int Max,k,t1;void maintain(int i)/维护堆 Data a;int next;a=heapi;next=i*2;while(next=k)if(next k,void work()int i,j,m,n;cin n;for(i=1;i fi;for(i=1;i di;for(i=1;i ti;cin m;for(k=1;k 0/剩余时间变少,if(ans Max)Max=

23、ans;/刷新最优解 t1+=tk;/累计走路需要的时间 cout#include#include#define fish first#define lake secondusing namespace std;priority_queue heap;,int t101,f101,d101;int ans,m,Max,n,k,t1,Time;void work()int i,j;cin n;for(i=1;i fi;for(i=1;i di;for(i=1;i ti;cin m;for(k=1;k 0/剩余时间变少,if(ans Max)Max=ans;/刷新最优解t1+=tk;/累计走路需要

24、的时间cout Max endl;int main()freopen(fishing.in,r,stdin);freopen(fishing.out,w,stdout);work();return 0;,【上机练习】,1、合并果子(fruit)【问题描述】在一个果园里，多多已经将所有的果子打了下来，而且按果子的不同种类分成了不同的堆。多多决定把所有的果子合成一堆。每一次合并，多多可以把两堆果子合并到一起，消耗的体力等于两堆果子的重量之和。可以看出，所有的果子经过n-1次合并之后，就只剩下一堆了。多多在合并果子时总共消耗的体力等于每次合并所耗体力之和。因为还要花大力气把这些果子搬回家，所以多多在

25、合并果子时要尽可能地节省体力。假定每个果子重量都为1，并且已知果子的种类数和每种果子的数目，你的任务是设计出合并的次序方案，使多多耗费的体力最少，并输出这个最小的体力耗费值。例如有3种果子，数目依次为1，2，9。可以先将 1、2堆合并，新堆数目为3，耗费体力为3。接着，将新堆与原先的第三堆合并，又得到新的堆，数目为12，耗费体力为 12。所以多多总共耗费体力=3+12=15。,可以证明15为最小的体力耗费值。【输入文件】输入文件fruit.in包括两行，第一行是一个整数n（1=n=30000），表示果子的种类数。第二行包含n个整数，用空格分隔，第i个整数ai（1=ai=20000）是第i种果子

26、的数目。【输出文件】输出文件fruit.out包括一行，这一行只包含一个整数，也就是最小的体力耗费值。输入数据保证这个值小于231。,【样例一输入】31 2 9【样例一输入】103 5 1 7 6 4 2 5 4 1,【样例一输出】15【样例一输出】120,2、鱼塘钓鱼（fishing）【问题描述】有N个鱼塘排成一排（N100），每个鱼塘中有一定数量的鱼，例如：N=5时，如下表：即：在第1个鱼塘中钓鱼第1分钟内可钓到10条鱼，第2分钟内只能钓到8条鱼，第5分钟以后再也钓不到鱼了。从第1个鱼塘到第2个鱼塘需要3分钟，从第2个鱼塘到第3个鱼塘需要5分钟，,【编程任务】给出一个截止时间T(T1000

27、)，设计一个钓鱼方案，从第1个鱼塘出发，希望能钓到最多的鱼。假设能钓到鱼的数量仅和已钓鱼的次数有关，且每次钓鱼的时间都是整数分钟。【输入格式】输入文件共5行，分别表示：第1行为N；第2行为第1分钟各个鱼塘能钓到的鱼的数量，每个数据之间用一空格隔开；第3行为每过1分钟各个鱼塘钓鱼数的减少量，每个数据之间用一空格隔开；第4行为当前鱼塘到下一个相邻鱼塘需要的时间；第5行为截止时间T；,【输入样例】510 14 20 16 92 4 6 5 33 5 4 414,【输出样例】76,【输出格式】输出文件仅一个整数（不超过231-1），表示你的方案能钓到的最多的鱼。,3、最小函数值(minval)【问题描

28、述】有n个函数，分别为F1,F2,.,Fn。定义Fi(x)=Ai*x2+Bi*x+Ci(xN*)。给定这些Ai、Bi和Ci，请求出所有函数的所有函数值中最小的m个（如有重复的要输出多个）。【输入格式】第一行输入两个正整数n和m。以下n行每行三个正整数，其中第i行的三个数分别位Ai、Bi和Ci。输入数据保证Ai=10，Bi=100，Ci=10 000。【输出格式】输出将这n个函数所有可以生成的函数值排序后的前m个元素。这m个数应该输出到一行，用空格隔开。,【输入样例】3 10 4 5 3 3 4 5 1 7 1,【输出样例】9 12 12 19 25 29 31 44 45 54,【数据规模】n,m=10 000,