信号与系统课件10-采样定理.ppt

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1、三、频率响应H(j)的求法,1.H(j)=F h(t),2.H(j)=Y(j)/F(j)由微分方程求，对微分方程两边取傅里叶变换。由电路直接求出。,三、频率响应H(j)的求法,例1：某系统的微分方程为 y(t)+2y(t)=f(t)求f(t)=e-t(t)时的响应y(t)。,解：微分方程两边取傅里叶变换,jY(j)+2Y(j)=F(j),f(t)=e-t(t),Y(j)=H(j)F(j),y(t)=(e-t e-2t)(t),四、无失真传输与滤波,线性失真:1、振幅失真:系统对信号中各频率分量的幅度产生不同程度的衰减（放大），使各频率分量之间的相对振幅关系发生了变化。2、相位失真：系统对信号中

2、各频率分量产生的相移与频率不成正比，使各频率分量在时间轴上的相对位置发生了变化。这两种失真都不会使信号产生新的频率分量。,非线性失真:由信号通过非线性系统产生的，特点是信号通过系统后产生了新的频率分量。,四、无失真传输与滤波,系统对于信号的作用大体可分为两类：信号的传输滤波传输要求信号尽量不失真，而滤波则要求滤去或削弱不需要的成分，必然伴随着失真。,四、无失真传输与滤波,1、无失真传输,（1）定义：信号无失真传输是指系统的输出信号与输入信号相比，只有幅度的大小和出现时间的先后不同，而没有波形上的变化。即 输入信号为f(t)，经过无失真传输后，输出信号应为其频谱关系为,系统要实现无失真传输，对系

3、统h(t)，H(j)的要求是：,上述是信号无失真传输的理想条件。当传输有限带宽的信号是，只要在信号占有频带范围内，系统的幅频、相频特性满足以上条件即可。,(2)无失真传输条件：,(2)无失真传输条件：,对一个冲击响应系统，要实现无失真传输，则,即,无失真传输系统的幅频特性和相频特性,理想条件。实际中，传输有限带宽的信号，只要在信号占有频带范围内，系统的幅频、相频特性满足以上条件即可。,例：系统的幅频特性|H(j)|和相频特性如图(a)(b)所示，则下列信号通过该系统时，不产生失真的是,(A)f(t)=cos(t)+cos(8t)(B)f(t)=sin(2t)+sin(4t)(C)f(t)=si

4、n(2t)sin(4t)(D)f(t)=cos2(4t),例：系统的幅频特性|H(j)|和相频特性如图(a)(b)所示，则下列信号通过该系统时，不产生失真的是,(A)f(t)=cos(t)+cos(8t)(B)f(t)=sin(2t)+sin(4t)(C)f(t)=sin(2t)sin(4t)(D)f(t)=cos2(4t),该系统是个失真的系统,振幅不失真，相位失真,振幅不失真，相位不失真,振幅不失真，相位失真,振幅不失真，相位失真,2、理想低通滤波器,具有如图所示幅频、相频特性的系统称为理想低通滤波器。c称为截止角频率。理想低通滤波器的频率响应可写为：,在0c 的低频段内，传输信号无失真（

5、通带内不失真）。,冲激响应,2、理想低通滤波器,实际上是不可实现的非因果系统(why?)。,由图可见理想低通滤波器的冲激响应延迟了 秒，而且输出脉冲在其建立之前和建立之后都出现振荡现象，这种振荡一直延伸到。实际上,当t0时,输入信号尚未接入，对于现实的物理系统，当然不可能有输出。这里的结果是由于采用了实际上不可能实现的理想化传输特性所致。,3、物理可实现系统的条件,就时域特性而言，一个物理可实现的系统，其冲激响应在t0时必须为0，即 h(t)=0，t0 响应不应在激励作用之前出现。就频域特性来说，佩利（Paley)和维纳（Wiener)证明了物理可实现的幅频特性必须满足,并且,称为佩利-维纳准

6、则。（必要条件）从该准则可看出，对于物理可实现系统，其幅频特性可在某些孤立频率点上为0，但不能在某个有限频带内为0。,4.9 取样定理,取样定理论述了在一定条件下，一个连续信号完全可以用离散样本值表示。这些样本值包含了该连续信号的全部信息，利用这些样本值可以恢复原信号。可以说，取样定理在连续信号与离散信号之间架起了一座桥梁。为其互为转换提供了理论依据。,信号的取样采样定理,4.9 取样定理,一、信号的取样,所谓“取样”就是利用取样脉冲序列s(t)从连续信号f(t)中“抽取”一系列离散样本值的过程。这样得到的离散信号称为取样信号。它是对信号进行数字处理的第一个环节。,信号抽样也称为取样或采样，是

7、利用抽样脉冲序列 p(t)从连续信号 f(t)中抽取一系列的离散样值，通过抽样过程得到的离散样值信号称为抽样信号，用 fs(t)表示。,抽样的原理方框图:,连续信号经抽样后变成抽样信号，往往还需要再经量化、编码等步骤变成数字信号。这种数字信号经传输、处理等步骤后，再经过上述过程的逆过程就可恢复原连续信号。,周期信号,需要解决两个问题：抽样信号 fs(t)的频谱Fs()与原连续信号 f(t)的频谱F()的关系；2.在什么条件下可从抽样信号 fs(t)中无失真地恢复原连续信号 f(t)。,频谱是原连续信号的频谱以抽样角频率为间隔周期地延拓，频谱幅度受抽样脉冲序列的傅立叶系数加权。,为抽样角频率，为

8、抽样频率 为抽样间隔，,假设原连续信号 f(t)的频谱为 F()，即抽样脉冲 p(t)是一个周期信号，它的频谱为,所以抽样信号的频谱为,在时域抽样（离散化）相当于频域周期化,冲激取样,如图一连续信号f(t),用取样脉冲序列s(t)(开关函数）进行取样，取样间隔为TS，fS=1/TS称为取样频率。,得取样信号 fS(t)=f(t)s(t),取样信号fS(t)的频谱函数为 FS(j)=(1/2)F(j)*S(j),冲激取样信号的频谱,s(t)是周期为Ts的冲激函数序列Ts(t),带限信号：f(t)的频谱只在区间（-m，m)为有限值，其余区间为0。,冲激取样信号的频谱,冲激取样信号的频谱,冲激取样信

9、号的频谱,=,*,=,在画取样信号fS(t)的频谱时，设定S 2m（频谱不发生混叠），因此能设法(如利用低通滤波器)从FS(j)中取出F(j)，即从fS(t)中恢复原信号f(t)。否则将发生混叠，而无法恢复原信号。,当 时各相邻频谱相互分开当 时各相邻频谱相互重叠,冲激取样信号的频谱,如何从抽样信号中恢复原连续信号，以及在什么条件下才可以无失真地由抽样信号恢复原连续信号。著名的抽样定理对此作了明确而精辟的回答。抽样定理在通信系统、信息传输理论、数字信号处理等方面占有十分重要的地位，该定理在连续时间信号与系统和离散时间信号与系统、数字信号与系统之间架起了一座桥梁。该定理从理论上回答了为什么可以用

10、数字信号处理手段解决连续时间信号与系统问题。,二、时域取样定理,二、时域取样定理,当S 2m 时，将取样信号通过下面的低通滤波器,其截止角频率C取m C S-m。即可恢复原信号。,由于 fs(t)=f(t)s(t)=f(t),H(j)h(t)=,为方便，选C=0.5S，则TsC/=1,所以,根据f(t)=fS(t)*h(t)，有,只要已知各取样值，就可唯一地确定出原信号f(t)。,时域取样定理：一个频谱在区间（-m，m)以外为0的带限信号f(t),可唯一地由其在均匀间隔Ts Ts1/(2fm)上的样值点 确定。,注意：为恢复原信号，必须满足两个条件：（1）f(t)必须是带限信号；（2）取样频率

11、不能太低，必须fs2fm，或者说，取样间隔不能太大，必须Ts1/(2fm);否则将发生混叠。,最低允许的取样频率fs=2fm 奈奎斯特频率最大允许的取样间隔Ts=1/(2fm)奈奎斯特间隔,时域抽样定理的图解：假定号 f(t)的频谱只占据 的范围，若以间隔 对 f(t)进行抽样，抽样信号 fs(t)的频谱 FS()是以 S 为周期重复，在此情况下，只有满足 各频移的频谱才不会相互重叠。这样，抽样信号 fs(t)保留了原连续信号f(t)的全部信息，完全可以用 fs(t)唯一地表示 f(t)，或者说，f(t)完全可以由恢复出 fs(t)。,二、时域抽样定理,如果，那么原连续信号频谱在周期重复过程中

12、，各频移的频谱将相互重叠，就不能从抽样信号中恢复原连续信号。频谱重叠的这种现象称为频率混叠现象。,二、时域抽样定理,在满足抽样定理的条件下，可用一截止频率为 的理想低通滤波器，即可从抽样信号 fs(t)中无失真恢复原连续信号 f(t)。,连续时间信号的重建,假设连续频谱函数为F()，抽样频谱函数为FS()，即在频域抽样有,三、频域抽样与频域抽样定理,说明：信号在频率域抽样（离散化）等效于在时间域周期化。,频域抽样定理：频域抽样定理表明，一个时间受限的信号 f(t)，如果时间只占据 的范围，则信号 f(t)可以用等间隔的频率抽样值 唯一地表示，抽样间隔为，它必须满足条件，其中,设 FS()对应的

13、时间信号为 fs(t)，则有,例1,（1）求f(t)的奈奎斯特频率（2）求f(2t)的奈奎斯特频率（3）求f(t)f(t)的奈奎斯特频率,例1,（1）求f(t)的奈奎斯特频率（2）求f(2t)的奈奎斯特频率（3）求f(t)*f(t)的奈奎斯特频率,例2 有限频带信号f1(t)的最高频率为m1(fm1)，f2(t)的最高频率为m2(fm2)，对下列信号进行时域抽样，试求使频谱不发生混叠的奈奎斯特频率fs与奈奎斯特间隔Ts。,解：,所以，奈奎斯特频率为：,奈奎斯特周期为：,所以，奈奎斯特频率为：,奈奎斯特周期为：,所以，奈奎斯特频率为：,奈奎斯特周期为：,所以，奈奎斯特频率为：,奈奎斯特周期为：,所以，奈奎斯特频率为：,奈奎斯特周期为：,例3,解：,由对称性可知：,所以：,此外：,所以：,