优化方法第1章第1节.ppt

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1、2023/6/15,最优化方法,1,最优化方法,授课教师：王艳秋生物数学教研室,2023/6/15,最优化方法,2,举 例,例1：对边长为a的正方形铁板，在四个角处剪去相等的正方形以制成方形无盖水槽，问如何剪法使水槽的容积最大？,解 设剪去的正方形边长为x，由题意易知，与此相应的水槽容积为要使其最大，则,令,得两个驻点：,因此，每个角剪去边长为,的正方形可使所制成的水槽容积最大,2023/6/15,最优化方法,3,举 例,例2：某单位拟建一排四间的车库，平面位置如图所示由于资金及材料的限制，围墙和隔墙的总长度不能超过40m，为使车库面积最大，应如何选择长、宽尺寸？,2023/6/15,最优化方

2、法,4,举 例,解：设四间车库长为，宽为.由题意可知面积为,且变量，应满足,即求,2023/6/15,最优化方法,5,举 例,例3.（混合饲料配合）以最低成本确定满足动物所需营养的最优混合饲料。设每天需要混合饲料的批量为100磅，这份饲料必须含：至少0.8%而不超过1.2%的钙;至少22%的蛋白质;至多5%的粗纤维。假定主要配料包括石灰石、谷物、大豆粉。这些配料的主要营养成分为：,2023/6/15,最优化方法,6,配料,每磅配料中的营养含量(%),钙,蛋白质,纤维,每磅成本（元）,石灰石谷物大豆粉,0.380 0.00 0.000.001 0.09 0.020.002 0.50 0.08,0

3、.0164 0.0463 0.1250,举 例,2023/6/15,最优化方法,7,举 例,解:设 x1,x2,x3 是生产100磅混合饲料所需的石灰石、谷物、大豆粉的量（磅）。,第1章 基本概念,1.1 最优化问题简介1.2 凸集和凸函数1.3 最优性条件1.4 最优化方法概述,2023/6/15,最优化方法,8,2023/6/15,最优化方法,9,第1章 基本概念1.1 最优化问题简介,（一）最优化（optimization）的定义 所谓最优化就是在众多可行的方案或方法中找到最好的方案和方法。最优方案就是达到最优目标的方案。最优化方法就是搜寻最优方案的方法。,2023/6/15,最优化方法

4、,10,（二）最优化问题的数学模型 实际问题建立模型分析求解模型检验并评价模 型求得最优解,1.1 最优化问题简介,重点,2023/6/15,最优化方法,11,1.1 最优化问题简介,建立最优化问题数学模型的三要素：（1）决策变量。决策变量是由数学模型的解确定的未知量。（2）约束或限制条件。由于现实问题的客观物质条件限制，模型必须包括把决策变量限制在它们可行值之内的约束条件，而这通常是用约束的数学函数形式来表示的。（3）目标函数。优化问题决策变量的一个数学函数，它用来衡量优化问题的效率，即优化问题追求的目标。,2023/6/15,最优化方法,12,模型的转换1、2、,1.1 最优化问题简介,2

5、023/6/15,最优化方法,13,1.1 最优化问题简介,最优化问题的划分（根据不同的性质对最优化有不同的划分）：,2023/6/15,最优化方法,14,1.1 最优化问题简介,2023/6/15,最优化方法,15,1.1 最优化问题简介,（三）基本概念,1.约束最优化问题（）是最优化问题的一般数学表现形式。只要在问题中存在任何约束条件，就称为约束最优化问题。,2023/6/15,最优化方法,16,1.1 最优化问题简介,（1）等式约束最优化,（2）不等式约束最优化,（3）混合约束最优化：既有等式约束又有不等式约束的最优化问题。,2023/6/15,最优化方法,17,1.1 最优化问题简介,

6、2.无约束最优化如果问题中无任何约束条件，则称为无约束最优化问题。其数学模型为,3.离散最优化 最优化模型中决策变量的取值为离散的最优化问题。,4.连续最优化 最优化模型中决策变量的取值为连续的最优化问题。,2023/6/15,最优化方法,18,1.1 最优化问题简介,5.光滑最优化 连续最优化模型中函数为光滑的最优化问题。即模型（）中所有函数都是连续可微的。只要有一个函数非光滑的，则称为非光滑最优化。,6.线性规划,2023/6/15,最优化方法,19,1.1 最优化问题简介,线性规划问题的一般形式为：,2023/6/15,最优化方法,20,1.1 最优化问题简介,线性规划问题的矩阵表示：,

7、2023/6/15,最优化方法,21,1.1 最优化问题简介,7.二次规划问题（它为非线性规划问题）,2023/6/15,最优化方法,22,1.1 最优化问题简介,8.非线性最优化 模型（）中的函数中有一个关于x是非线性的，就称为非线性最优化问题。9.可行点（feasible point）10.可行域（feasible region）所有可行点的全体称为可行域。,2023/6/15,最优化方法,23,1.1 最优化问题简介,11、有效约束（active constraint）和无效约束（inactive constraint）,2023/6/15,最优化方法,24,例1.1,1.1 最优化问题

8、简介,2023/6/15,最优化方法,25,1.1 最优化问题简介,13、有效集在一个可行点，所有有效约束的全体被称为该可行点的有效集，记为,14、可行域的内点,15、可行域的边界不是内点的可行点称为可行域的边界点,2023/6/15,最优化方法,26,1.1 最优化问题简介,15、最优解、严格最优解,2023/6/15,最优化方法,27,1.1 最优化问题简介,16、局部最优解、严格局部最优解,则称x*为最优化问题（）的局部最优解，如果不等式严格成立，则称为严格局部最优解。,2023/6/15,最优化方法,28,1.1 最优化问题简介,例1.2 下图中的决策变量哪些是局部极小解，哪些是严格局

9、部极小解？,2023/6/15,最优化方法,29,1.1 最优化问题简介,17、凸规划,如果最优化问题的目标函数是凸的，可行域是凸集，则问题的任何最优解（不一定唯一）必是全局最优解，这样的最优化问题称为凸规划。,2023/6/15,最优化方法,30,1.2 凸集和凸函数,（一）凸集1、凸集的定义,2023/6/15,最优化方法,31,2、凸集的例子,1.2 凸集和凸函数,2023/6/15,最优化方法,32,3、凸集的性质,1.2 凸集和凸函数,2023/6/15,最优化方法,33,1.2 凸集和凸函数,2023/6/15,最优化方法,34,1.2 凸集和凸函数,2023/6/15,最优化方法,35,证明：（归纳法）由凸集的定义知当m=2显然成立，假设当m=k时成立，验证当m=k+1时成立。,1.2 凸集和凸函数,2023/6/15,最优化方法,36,1.2 凸集和凸函数,