任意角的三角函数修改.ppt

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1、摩天轮相信同学们都不陌生吧，好多同学都坐过，当你坐上摩天轮后，你就开始绕中心不停地旋转，这样就形成了各种各样的角。,问题1：如图，摩天轮的半径为10m，中心O离地面为20m，现在小明坐上了摩天轮，并从点P开始以每秒1度的速度逆时针转动，当转动30秒后小明离地面的高度是多少？60秒后呢？,.,10m,20m,300,问题2：设转动度后小明离地面的高度为h,为00900,试着写出h和的关系式。,P1,任意角的三角函数,掌握任意角的三角函数的定义；已知角终边上一点，会求角的各三角函数值；记住三角函数的定义域、值域，诱导公式（一）。,知识与能力,1、理解并掌握任意角的三角函数的定义；2、树立映射观点，

2、正确理解三角函数是以实数为自变量的函数；3、通过对定义域，三角函数值的符号，诱导公式一的推导，提高学生分析、探究、解决问题的能力。,过程与方法,1、使学生认识到事物之间是有联系的，三角函数就是角度（自变量）与比值（函数值）的一种联系方式；2、学习转化的思想，培养学生严谨治学、一丝不苟的科学精神。,情感态度与价值观,任意角的正弦、余弦、正切的定义（包括这三种三角函数的定义域和函数值在各象限的符号），以及这三种函数的第一组诱导公式。,重点：,用单位圆上点的坐标刻画三角函数，学生熟悉的函数y=f（x）的实数到实数的对应，而这里给出的函数首先是实数（弧度制）到点的坐标的对应，然后才是实数（弧度制）到实

3、数（横坐标或纵坐标）的对应.这就会给学生理解造成一定的困难。,难点：,锐角三角函数定义,在终边上移动点P的位置,这三个比值会改变吗?,锐角三角函数定义,r=1,锐角三角函数可以用单位圆上的点的坐标来表示,在直角坐标系中,以原点O为圆心,以单位长度为半径的圆叫单位圆。,任意角的三角函数,推广:,我们也可以利用单位圆定义任意角三角函数(正弦,余弦,正切)。,x,设是一个任意角,它的终边与单位圆交于点P(x,y)则:,y 叫的正弦,x叫的余弦,叫的正切,任意角的三角函数定义:,思考：,求角的三角函数值，即可求终边与单位圆交于点的纵横坐标或坐标的比值。,如何求角的三角函数值?,y,x,O,例1：求 的

4、正弦,余弦,正切的值.,根据上述方法否能求得特殊角三角函数值?,分析：由OMPOM0P0，可求出相应的三角函数值。,例2：已知的终边经过点P0（4，3），求角的正弦,余弦,正切的值。,解：,例3：如图所示，已知角终边上一点P的坐标为（4，3），求角的三角函数值。,解：4，3,5,事实上:三角函数也可定义为,设是一个任意角,它的终边经过点P(x,y),则,根据三角函数的定义能否确定正弦,余弦,正切的值在四个象限内的符号?,任意角的三角函数符号,规律：“一全正、二正弦正、三正切正、四余弦正”.,例4：确定下列三角函数值的符号。,分别位于第三象限、第四象限、第一象限、第四象限。,例5：求证：当且仅当

5、不等式组下列不等式组成立时，角为第三象限角。,因为sin0，所以在第三象限或第四象限，或的终边落在y轴的负半轴上。因为tan0所以在第一象限或第三象限。由于sin0与tan0同时成立，所以在第三象限。,解：,直角三角中的锐角三角函数 象限角中的锐角三角函数 单位圆上点的坐标表示的锐角三角函数 单位圆上点的坐标表示的任意角三角函数 任意角终边上任一点坐标定义三角函数,反思三角函数的定义,根据三角函数的定义:终边相同的角的同一三角函数值是否相等？,诱导公式,终边相同,终边相同的角的集合为：,点的坐标相同,同一三角函数值,终边相同的角的同一三角函数值相等，由此得到一组公式（公式一）：,利用公式一，作

6、用在于可将求任意角的三角函数值，转化为求0（或0360)范围内的三角函数值。,例6：求下列三角函数的值。,解：,前面我们学习了任意角的三角函数，它主要从数上研究了它们，能否从图形上来研究呢？,单位圆中的三角函数线,思考1：如图，设角为第一象限角，其终边与单位圆的交点为P（x，y），则，都是正数，你能分别用一条线段表示角的正弦值和余弦值吗？,思考2：若角为第三象限角，其终边与单位圆的交点为P（x，y），则，都是负数，此时角的正弦值和余弦值分别用哪条线段表示？,思考3：为了简化上述表示，我们设想将线段的两个端点规定一个为始点，另一个为终点，使得线段具有方向性，带有正负值符号。根据实际需要，应如何规

7、定线段的正方向和负方向？,规定：线段从始点到终点与坐标轴同向时为正方向，反向时为负方向。,一、有向线段,我们规定OM与x轴同向时，OM的方向是正向，x为正值；OM与x轴反向时，OM的方向是负向，x为负值；无论是那种情况都有:OM=x=cos。我们规定MP与y轴同向时，MP的方向是正向，y为正值；MP与y轴反向时，MP的方向是负向，y为负值；无论是那种情况都有:MP=y=sin。,二、正弦线、余弦线,设任意角与单位圆交于点p(x,y)，则r=|op|=1.,sin=,y,因此，p(x,y)坐标也表示为p(cos,sin).,cos,=x,三、正切线,称AT为角的正切线.,过A(1,0)作圆的切线

8、，,例7：不查表，比较大小。,解：,由图形得到,和,解：,由图形得到,（）,和,解：,由图形得到,和,1、正弦线,2、余弦线,3、正切线,注意：正弦线、余弦线、正切线都是有向线段，有正负之分.,结论,三角函数线是三角函数的几何表示，它可以直观刻画三角函数的概念与三角函数的定义结合起来，可以从数与形两方面认识三角函数的定义.,定义域为R；,定义域为R；,定义域为,三角函数(正弦,余弦,正切)都是以角为自变量,以单位圆上点的坐标或坐标的比值为函数值的函数.(由于角的集合与实数集合之间可以建立一一对应关系,三角函数可以看成是自变量为实数的函数.)所以三角函数可以记为:,1、任意角的三角函数定义,.,

9、（）,+,+,-,-,+,+,-,-,+,+,-,-,2、三角函数在象限内的符号,应用,（1）判断符号,（2）求值,、公式一(诱导公式),1.（2009全国）的值为(),A,A.,B.,C.,D.,解析：,本题主要考察诱导公式：,A.0,C.1,D.,B.,2.（2009陕西）则 的值为（）,B,解析：,本题考查同角三角函数的基本关系式和运算能力，以及转化与化归的思想。因 故选B。,3.(2007江西)若，则 等于（）,A.-3,B.,C.3,D.,D,解析：,故选D,1.以下四个命题中，正确的是(),D第四象限的角可表示为:,A在定义域内，只有终边相同的角的三 角函数值才相等。,B,C若a是

10、第二象限的角，则,C,。,2.若角a的终边过点(-3，-2)，则(),Asina tana0Bcosa tana0Csina cosa0Dsina cota0,C,C,C,3,D,B,4.当为钝角时，cos和tan取负值。,5.（1）正（2）负（3）零（4）负（5）正（6）正,6.（1）或或（2）或或（3）或或（4）或或,7.（1）0.8746（2）（3）0.5（4）1,1.终边在不同位置的角对应的三角函数值的情况，包括三角函数值的符号情况，终边相同的角的同一三角函数的值相等。,2.（1）如图所示（2）、（3）、（4）略。,3.225角的正弦、余弦、正切线的长分别为2.5米，4.3米，2.9米，期中5，2.5是准确数，其余都是近似数（图略）。,4、三角函数线是三角函数的几何表示，它直观地刻画了三角函数的概念.与三角函数的定义结合起来，可以从数与形两方面认识三角函数的定义，并使得对三角函数的定义域、函数值符号的变化规律、公式一得理解容易了。,