人身保险的数理基础.ppt
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1、人 身 保 险,第二章人身保险的数理基础,2.1寿险精算概论2.2利息理论2.3生命表和生命函数2.4生存年金2.5人寿保险保费的确定2.6健康和人身意外伤害保险保费的确定,2.1.1寿险精算的概念2.1.2寿险精算的起源2.1.3寿险精算的内容2.1.4寿险精算的意义2.1.5寿险精算的基础,2.1寿险精算概论,2.1.1寿险精算的概念,保险精算的概念保险精算就是运用数学、统计学、金融学、保险学及人口学等学科的知识和原理,对保险业经营管理中的各个环节进行数量分析,为保险业提高管理水平、制定策略和做出决策提供科学依据和工具的一门学科保险精算:寿险精算和非寿险精算,一个案例,2000年初成立了X
2、YZ人寿保险公司,注册资本为20亿元。假设该公司出售一种两全保单“一生如意”,该保单是这样设计的:保险金额为10万元,当被保险人在60岁前死亡时或活到60岁时支付。,问题,问题一:该保单应该如何定价?问题二:在资产负债表上,如何确定该保单相应的负债?问题三:被保险人如果退保,该返还其多少?问题四:如果该产品是分红保单,如何确定红利的分配原则?问题五:如何对该保单的利润进行敏感性分析?问题六:保费收入如何投资以及如何进行资产负债管理?问题七:怎样才能确保该公司的偿付能力?问题八:如何确定该公司的价值?,寿险精算的概念,概念:是在对人身保险事故出险率及出险率的变动规律加以研究的基础上,考虑资金投资
3、回报率及其变动,根据保险种类.保险金额.保险期限.保险金给付方式.保险费缴纳方式及保险人对经营费用等的估计等,对投保人需缴纳的保险费水平.保险人有不同时期必须准备的责任准备金以及人身保险的其他方面等进行的科学精确的计算.,1693年,英国天文学家、数学家爱德华.哈雷根据德国布雷斯劳市居民的死亡资料,编制了世界上第一个完整的死亡表,有科学的方法精确地计算出各年龄段人口的死亡率。18世纪,托马斯.辛普森根据哈雷的死亡表构造了依据死亡率变化而变化的保险费率表。后来,詹姆斯多德森又根据年龄的差异确定了更为精确的保险费率表。1724年,法国数学家亚伯拉罕.德.莫伊维提出了死亡法则。,寿险精算的起源,寿险
4、精算的内容,人身保险按投保人数的不同,可分为一元生命人身保险复合生命人身保险,随机事件与概率大数定律及其在保险中的应用,寿险精算的基础,寿险精算的基础,随机事件与概率随机试验符合符合以下特征的事件:1.可以在相同的条件下重复地进行;2.每次试验的可能结果不止一个,并且能事先明确实验的可能结果;3.进行一次试验之前不能确定哪一个结果会出现.概率:表示随机事件的可能性的大小,概率在就表示某种事件出现的可能性就大.0P(A)1,寿险精算的基础,大数定律及其在保险中的应用大数定律应用于保险时得出的最有意义的结论是:当保险标的的数量足够大时,通过以往统计数据计算出的估计损失概,精算师的职业排名,The
5、Best and Worst Jobs(2008),什么是精算学和精算师?,精算学是指综合运用数学、统计学和金融理论研究经济市场,特别是其中涉及保险、养老金计划中的随机现象的一门学科;精算师就是指那些运用精算学知识分析研究经济风险的专职从业人员。精算师的工作范围除了保险公司外,还遍及咨询机构、政府机构、大型企业的员工福利计划部门、医院、银行和投资公司等所有需要研究经济风险的部门。,保险精算的发展和现状,精算职业范围的发展精算职业团体的发展精算学作为一门学科的发展,专门职业和精算师,它的基本目的是为公众及公众利益提供服务;它为成员个人提供支持,并提高成员集体的社会地位;它是一个学习性的社团,鼓励
6、研究,促进成员之间的交流;它的成员具有专业技能;对那些在专业技能考试中达到必需标准的成员,它经常以签名证书的形式给予资格证明;它通过提供后续职业教育,帮助并要求成员保持职业技能;它建立了成员所必须遵循的行为规范和实践标准;它拥有惩戒程序以保证成员遵守行为规范和维护职业标准。,精算职业的目标,正确和实用的理论;高尚的道德标准和服务客户、雇主或其他公共利益的意愿;精算师在为公共利益提供服务中的角色,比如保险公司的指定精算师;组织形成具有凝聚力的自我管理团体;愿意为解决公众和社会服务的争论作出贡献;保持资质标准,提高职业声誉。,保险精算的发展和现状,从传统产品到非传统产品从寿险到非寿险、养老金、财务
7、和投资从保险公司到咨询机构、政府部门从各个国家独立的精算制度到国际统一的精算标准,精算在我国的发展,精算职业团体在我国的发展精算教育在我国的发展精算师资格考试,如何才能成为合格的精算师,第一种以欧洲大部分国家和拉美国家为代表,一般只要在大学取得相应的学位后,在实务领域有一定工作经验后即可由精算职业组织认可其为精算师;第二种以北美和英联邦国家为代表,主要凭参加精算职业组织举行的职业资格考试来认可精算师资格。我们国家的精算考试体系属于上述第二种精算师资格认可体系,也就是说,考生必须通过专门的精算职业资格考试才能获得中国精算师资格。,精算师应该具有的三项基本素质,职业道德:其基本原则有:精算师应该为
8、公众利益服务;精算师有责任保护客户的隐私;精算师在明确自己有足够的知识和经验后才能提供精算建议;公司、客户和精算师本人的利益有冲突时,精算师应当向客户说明;精算师如果违背了职业道德的要求,将受到精算职业组织的惩罚。专业素质:精算师的专业素质主要表现为量化分析金融市场特别是保险市场中的随机现象的能力。也是保险公司参与市场竞争最重要的比较优势之一。沟通能力:精算师不仅要懂得如何利用精算知识发现和解决问题,也必须懂得如何向包括政府监管部门、公司管理层和股东、投保人和其他相关公众交流自己的研究结果。,保险精算的主要内容,寿险精算利息理论生命表理论寿险精算数学非寿险精算非寿险精算数学养老金精算和其它精算
9、理论投资和财务理论,2.2.1利息概述及度量2.2.2利息力2.2.3利率、贴现率及息力之间的关系2.2.4现金流的现值与终值的计算2.2.5确定年金,2.2利息理论,是借贷关系中借款人为取得资金的使用权而支付给贷款人的报酬。从投资的角度看,利息是一定量的资本经过一段时间的投资后产生的价值增值。利息补偿了贷款者因为让度资金的使用权而可能遭受的损失理论上,利息可以是任何有价值的东西,未必一定是资本或货币实际中,利息多用货币资本表示,利息的基本概念,利息=得到的-付出的,基本概念:本金:每项业务开始时投资的金额称为本金;终值:业务开始一定时期后回收到的总金额称为该时刻的积累值(或积累值);利息=终
10、值-本金(或积累值-本金);暂时假定,在投资期间不再加入或抽回本金,以后将放松这一假设。时间单位-“度量期”或“期”。除非特别声明,一个度量期就是一年。,利息概述及度量,利息的度量,终值函数1终值函数2第N期利息,单位货币的终值函数,期初投资的1元本金在时刻t时所得到的总价,是度量利息和利率最基本的工具。,K个货币单位的终值函数,终值函数a(t)A(t)=A(0)+I(t)a(t)=A(t)/A(0)A(t)=Ka(t)A(0)=K,a(t),有时也称为t期积累因子,累积函数简称a(1)为积累因子。,终值函数金额函数贴现函数第N期利息,1-K-1,0,t,=,终值函数a(t)A(t)=A(0)
11、+I(t)a(t)=A(t)/A(0)A(t)=Ka(t)A(0)=K,性质:(1),初始值,本金,(2),(3),若连续结转利息,则累积涵数为连续涵数;否则为非连续涵数,(4),累积涵数必然通过(0,1)和(1,1+i)两点,四种常见终值函数的图形,贴现函数a-1(t):也叫为t期贴现因子。a-1(1)简称为贴现因子,并简记为v;,为了在t期末得到某个积累值,而在开始时投资的本金金额,称为该积累值的现值(或折现值),现值函数,一个货币单位的终值在期初的价值,也称贴现函数,现值函数a-1(t)A-1(t)=K.a-1(t),终值函数金额函数贴现函数第N期利息,1-K-1,0,t,=,例题2.1
12、:假设终值函数如果期初的100元在第三年末可以累积到172元,试计算在第五年末可以累积到多少元?,例题:,1、,例题2.2,如果A(t)=t2+2t+3,试确定对应的终值函数a(t),并验证a(t)是否满足三个基本性质,满足三个基本性质,利息概述及度量,2.利息的定义:资本借入者因使用资本而支付给资本所有者的一种报酬,即使用资本的代价。,影响利息大小的三要素本金利率时期长度,利率=利息/本金,利率的本质:反映资金增长速度,3.利息计算的方法,3.利息计算的方法,线形积累单利,指数积累复利,实际利率:是指在某一时期开始时,投资一单位本金时,在此时期内应获之利息。实际利率是在期末支付且整个时期内只
13、支付一次利息。用i表示,如果一个时期内支付或结转若干次利息,相应的利率称为名义利率,3.利息计算的方法,例2.3,某人以1万元本金进行5年投资,前2年的利率为5,后3年的利率为6,分别以单利和复利计算5年后的累计积累值。,答案,单利(simple interest),一、含义:1、每期只对本金计算利率 2、每期的利息为常数 3、利息总量与时期数线性正相关二、单利的累积涵数:单利具有线性累积涵数,三、单利累积涵数的特点:,利息=本金利率时期数,实际利率是时间的减涵数,例题2.4 如果,试计算i5,复利(pound interest),一、复利的含义:1、每期都对本金和上期的利息计算利息2、每期的
14、利息是变数二、复利的累积涵数,三、特点:,例题2.5,复利的实际利率就等于复利率,单利与复利的区别,相同点:1、单利和复利投资的本金在整个投资期间不变2、原始投资利率在整个投资期间不变。区别:1、单利的实际利率是时间的减涵数,复利的实际利率是一常数2、在时刻0和时刻1时,单利和复利的累积值相等,该期间内产生的利息相等3、单利在相等的期间内有相等的利息额,复利在相等的期间内有相等的利息增长率4、单利考虑绝对增量的变化,复利考虑相对增量的变化5、复利几乎用于所有的金融业务,单利只用于短期计算或复利的不足期近似计算,单复利计息之间的相关关系,单利的实质利率逐期递减,复利的实质利率保持恒定。时,相同单
15、复利场合,单利计息比复利计息产生更大的积累值。所以短期业务一般单利计息。时,相同单复利场合,复利计息比单利计息产生更大的积累值。所以长期业务一般复利计息。,单/复利场合积累函数示图,单利与复利的比较,例、以年利率5%为例,比较单利和复利计算方法的异同效果。解:1)单利情况下,每年的实际利率水平,6年内,实际利率水平降低了一个百分点,2)复利的实际利率等于复利率3)复利累计值超过单利累计值3%的时刻,可见,经过6年的时间,复利方式比相同单利方式的累积值超过了3%,利息概述及度量,4.利息的度量实际利率:i名义利率:i(m)名义利率和实际利率的相互转化i=1+i(m)/mm-1名义贴现率和实际贴现
16、率D=1-1-d(m)/mm,利息转换频率不同,实质利率:以一年为一个利息转换期,该利率记为实质利率名义利率:在一年里有m个利息转换期,假如每一期的利率为j,有。利息力:假如连续计息,那么在任意时刻t的瞬间利率叫作利息力。实质贴现率和名义贴现率的定义与实质利率、名义利率类似。,名义利率与实际利率转化,名义利率,1,1,实际利率与名义利率关系,名义利率:(1)一个度量周期内结转m次利息的利率(2)度量的是资本在一个小区间 内的实际利率(3)必须于一个度量周期内所包含的小区间的个数相联系 名义利率与实际利率的关系:,在年名义利率一定的条件下,m越大,年实际利率越大,休息,名义贴现率,名义贴现率,1
17、,1,名义贴现率,名义贴现率:(1)一个度量周期内收取n次贴现值的贴现率(2)度量的是一个小区间 内的实际贴现率名义贴现率与实际贴现率的关系:,休息,在年名义贴现率一定的条件下,一年内结转的贴现次数越多,年实际贴现率越小。,贴现函数与实际贴现率,贴现函数:贴现是累积的逆运算,是计算现在值,贴现函数是累积函数的倒数,贴现与累积是两种互相对称的计算货币时间价值的方法。时刻t的一个单位货币在时刻0的价值称为贴现函数(discount function),单利的贴现涵数:,复利的贴现涵数:,称v为贴现因子,贴现函数与实际贴现率,实际贴现率:一个计息期内的利息收入与期末货币量的比值。其中的利息是在期末实
18、现的。,注意:1、di 2、对于同样一笔业务,利息值与贴现值相等 3、利息在期末支付,贴现在期初收取 4、利率说明了资本在期末获得利息的能力,贴现率说明了资本在期初获得利息的能力,单利的实际贴现率,单利的实际贴现率dt,例、i=10%,单利,试计算d5,实际利率与实际贴现率的关系,1、,2,3、贴现函数:,4、累积函数:,5、,这一关系的字面意义是:借贷1元,在期末还1+i,等价于期初借1-d,在期末还1元。,单贴现,1、单贴现:与单利相对应,每一时刻的贴现额相等,贴现涵数为:,2、单贴现不同于单利,具有与单利相类似但反向的性质,3、当投资时期加长时,单利的实际利率递减,而单贴现的 实际贴现率
19、递增,复贴现,复贴现:每一时刻产生的贴现值不相等,贴现函数为:,单贴现和复贴现对单个时期产生的结果相同。对较长的时期,单贴现比复贴现产生较小的现值,而对较短的时期则情况相反,例题2.6,已知某项投资在一年中能得到的利息金额为336元,而等价的贴现金额为300元,求投资本金。解:设本金为p,则pi=336,pd=300,例2.7,1、确定500元以季度转换8%年利率投资5年的积累值。2、如以6%年利,按半年为期预付及转换,到第6年末支付1000元,求其现时值。3、确定季度转换的名义利率,使其等于月度转换6%名义贴现率。,1、2、3、,例题,如何用贴现率比较收益?现有面额为100元的债券在到期前一
20、年的时刻价格为95元,一年期储蓄利率为5.25%,如何进行投资选择?解:从贴现的角度看,债券的贴现率为:,储蓄的贴现率为:,从年利率的角度看:债券的,而储蓄的年利率为5.25%,因此,债券投资略优于储蓄,利息力,利息力又简称息力,是衡量在某个确切点上利率水平的指标.用&表示 a(t)=e&t.dt a-1(t)=e-1&t.dt,利息力(利息强度),利息力:(要求累积函数必须是连续的,且可微,既是每个瞬间都可以进行利息的换算)(1)度量了资本在无穷小区间上的获利能力。(2)刻画了资本在每一时刻上的获利强度。(3)是累积函数的相对变化率,(4)是连续结转利息时的名义利率,(5),累积函数由利息力
21、和时间长度唯一确定,利息力,定义:瞬间时刻利率强度,等价公式,一般公式恒定利息效力场合,例2.8,确定1000元按如下利息效力投资10年的积累值1、2、,例2.8答案,利息力(利息强度),例题3:如果,确定投资1000元在第1年末的累计值和第二年内的利息金额。解:,常数利息力,(1)资本在任一时点上的获利强度都相等,记为,(2),利息力为常数时,实际利率也是常数;反之未必,常数利息力和实际利率的关系式,例题:已知年度实际利率为8%,求等价的利息强度。解:,例题:一笔业务按利息强度6%计息,求投资500元,经过8年的累计值。解:,单利和复利的利息力,单利的累积函数:a(t)=1+it,复利为a(
22、t)=(1+i)t,单利的利息力:,是时间的减函数,复利的利息力:,与时间无关,贴现力(贴现效力),(1)贴现函数的单位变化率(2)度量每一时刻上获得贴现值的能力,记为:,利息力与贴现力是等价的,关系,利率、贴现率及息力之间的关系,名义利率与名义贴现率的关系(相同计息期内的),实际利率与实际贴现率之间的关系是:,当李,名义利率与名义贴现率之间的关系为:,实际利率与名义贴现率之间的关系:,名义利率与实际贴现率之间的关系:,例题2.9,1、初始投资500元,每季度结转一次利息的年利率为8%,5年后的累积值是多少?,2、年利率6%,每半年结转一次,到第6年末时可得1000元,现时投资要多少?,例题,
23、3、已知每年计息12次的年名义贴现率为8%,求等价的实际利率。解:,例题,4、以每年计息2次的年名义贴现率为10%,在6年后支付5万元,求其现值。解:设现值为PV,则,例题,5、一张100元的期票在到期前3个月被人以96元买走,试确定:1)购买者所得到的按季度转换的名义贴现率2)购买者所得到的年度年度实质利率,解:1)季度贴现额=100-96=4元,季度贴现率,年名义贴现率=44%=16%,2)季度实际利率:,利率和贴现率,期末计息利率第N期实质利率期初计息贴现率第N期实质贴现率,单利场合利率与贴现率的关系,复利场合利率与贴现率的关系,复利场合利率与贴现率的关系,某人投资1万元,如果以5的利率
24、复利计息,那么此人利息获取的方式是怎样的,两年后一共获得多少利息?如果该投资项目是以5的贴现率复利计息,那么此人利息获取的方式是怎样的,两年后一共获得多少利息?,已知利息率,求a(t)已知利息率,求a-1(t)已知贴现率,求a(t)已知贴现率,求a-1(t)已知息力。求a(t)或a-1(t),现金流的现值与终值的计算,已知利息率,求a(t).设本金为了,经过t后的终值(1)在单利的条件下:a(t)=1+it(2)在复利的条件下:a(t)=(1+i)t(3)在实际利率的条件下:a(t)=(1+i1)(1+i2)(1+it)(4)在名义利率的条件下:a(t)=1+i(m)/mmt,已知利息率,求a
25、-1(t).设时期t的终值为1(1)在单利的条件下:a-1(t)=(1+it)-1(2)在复利的条件下:a-1(t)=(1+i)-t(3)在实际利率的条件下:a-1(t)=(1+i1)-1(1+i2)-1(1+it)-1(4)在名义利率的条件下:a-1(t)=(1+i(m)/m)-mt,已知贴现率,求a(t).(1)在单贴现率的条件下:a(t)=(1-dt)-1(0t1/d)(2)在复贴现率的条件下:a(t)=(1-d)-t(3)在实际贴现率的条件下:a(t)=(1-d1)-1(1-d2)-1(1-dt)-1(4)在名义贴现率的条件下:a(t)=(1-d(m)/m)-mt,已知贴现率,求a-1
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