任意矩阵的行列式的定义和性质.doc

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1、精品论文推荐任意矩阵的行列式的定义和性质陈必红1（1. 深圳大学数学与计算科学学院，广东省深圳市 邮编 518060）摘要：行列式对于线性代数的理论和计算都起到了重要作用。而现有的行列式是定义在方阵上的，非方阵的矩阵并没有好的行列式的定义。本文给出了一个一般矩阵的行列式的定义。在这个定义中，任何矩阵都 有针对行的行列式（简称为行式）和针对列的行列式（简称为列式）这两种行列式。当矩阵为方阵时，这 两个行列式相等，就是现在定义的矩阵的行列式。如果矩阵行数大于列数，矩阵的行式定义为 0，这时如 果矩阵为列满秩的，矩阵的列式就是位置最高的不为 0 的最高阶子式的值，否则矩阵的列式为 0。一个矩 阵如果

2、行数小于列数，则它的行式和列式分别是它转置后的列式和行式。 关键词：线性代数；行列式；线性方程组；中图分类号：O151.22文献标识码：文章编号：Definition and Feature of Determinant of a MatrixCHEN Bihong1(1. College of Mathematics of Shenzhen University, Shen-zhen, Guangdong 518060) Abstract：Determinant is important in theory and calculation of linear algebra. Now use

3、d determinant is defined on square matrix, and a matrix which is not square matrix has not good definition of determinant. This paper gives a generalized definition of determinant of any matrix. In the definition, any matrix has row determinant and column determinant. When the matrix is square, its

4、two determinants are same which also equal to determinantnow used. If the matrixs row number is larger than its column number, its row determinant is defined as 0, and on this time, if the rank of matrix is equal its column number, its column determinant has value of highest no-zero largest order de

5、terminant, otherwise the column determinant is 0. If a matrixs row number is less than its row number, its row determinant and column determinant are column determinant and row determinant of its transpose.0引言笔者在长期的线性代数的教学中，经常发现学生有这种错误，就是当判定一个向量组是 否线性无关的时候，会将此向量组按列拼成矩阵后，声称这个矩阵的行列式不为 0，所以线 性无关，虽然答案有可

6、能恰好正确，但是那个矩阵不是方阵，按现在的观点根本就不存在行 列式。行列式的概念在历史上是在十七世纪由日本数学家关孝和首次提出的3。而行列式在线性代数的理论和算法中有着重要的作用1，可以判定方程组是否有唯一解6，方阵是否有逆5，向量组是否线性无关7，等等。 本文试图针对一个一般的矩阵定义行列式，也是希望这个定义导致了一些现有的行列式的某些判别准则能够推广到一般的矩阵中去。 用本文的对行列式的定义，也是希望对线性代数的某些概念进行更为严格的定义，得到更为一致的结论，使得学生学起来容易。作者简介：陈必红，男，1955 年生，清华大学博士，主要研究方向是观测过程理论，信息论基础理论. E-mail:

7、cbhmath.41一般定义本文讨论实数矩阵，但是所得结论同样用于任何数的矩阵。任何一个m行n列的矩阵A，它可以分块为n个列向量组成，A=(1,2,.,n)，也可以分块1 T T 为m个行向量组成，即 A = 2 ，或A=( , ,.,)T. # 1 2m T m 定义 1. 任给矩阵A=(1,2,.,n)，设A的秩r(A)=r0，A的列向量组中的极大无关组有可能不止一个，这时可对 A 的不同的极大无关组进行排序。 设 A = ( , , ) 及1i1i2irA = ( , , ) 是A的两个不同的极大无关组，则，如果i j1则认为A1在A2的右边， 否则如果i1=j1，就考察A1和A2的第二

8、个向量的下标i2和j2， 同样，数字小的，相应的向量被认为是在左边，否则如果相等，则再比较第三个向量的下标， 这样依此类推，就可以确定A1和A2谁在左边。如果A的列向量组中有一极大无关组处于所有 其它的极大无关组的左边，或者它是A的唯一的一个极大无关组，则称此极大无关组为A的 列主要组。同样的办法可以定义A的行向量组的行主要组。A的列主要组中的列称为A的主要 列，A的非主要列称为A的次要列，A的行主要组中的行称为A的主要行，其它行称为A的次 要行。A中的同时处于主要列和主要行中的元素按原来的相对位置，可以拼成一个r阶方阵， 称为A的主子阵。主子阵的行列式值，称为A的主子行列式值。易知主子行列式

9、值一定不为0。注意主子行列式值并不是本文要定义的A的行列式，而是一个中间的概念。这样，不难知道，对任意矩阵 A，对其进行行初等变换不改变 A 的主要列的位置，对 A 进行列初等变换不改变 A 的主要行的位置。对 A 作若干次列初等变换，可以使 A 的次要列 都成为 0 列，对 A 作若干次行初等变换，可以使 A 的次要行都成为 0 行。定义主要行和主要列的好处有许多，其中的一条就是唯一性，因此在将来给考生出考试 题的时候，要求考生写出一个矩阵的主要列所在位置，答案是唯一的。否则，如果要求考生 给出一个列向量组的极大无关组，答案不唯一，不好写标准答案，教师改题的工作量也增加。 笔者作为线性代数的

10、教师，当然也是希望自己越懒越好，越省事越好。次要列未见得不能够和其它的列组成极大无关组，只不过包括了次要列的极大无关组，肯定不在最左边或者最上面而已。 简而言之，一个矩阵的主子行列式就是它的最靠左上角的具有最大阶数的不为零的子式，主子行列式中牵涉到的列为主要列，牵涉到的行为主要行。 有了主要行和主要列的概念，可以轻松将有关线性方程组中有关解的定理重述如下。 定理 1 给定n元未知向量x=(x1,x2,xn)T的非齐次线性方程组Ax=b, 其增广矩阵为(A,b),设它的秩为r=r(A,b)，则(A,b)有r个主要行。将(A,b)的次要行都删去，得到的缩减了的增广矩阵(A,b), 其对应的去掉了一

11、些方程的方程组Ax=b, 与原方程组同解。Ax=b有解的充分必要条件是b为(A,b)的次要列，在Ax=b有解条件下有唯一解的充分必要条件是A的列都是主要列。当b=o时，b当然是(A,b)次要列，这时方程组Ax=o为齐次方程组，当然肯定有解，而Ax=o有 非零解的充分必要条件是A中存在有次要列，且Ax=o的非零解的基础解系中的解向量的个数 就是A的次要列的个数。下面就可以定义任何一个矩阵的行列式了。定义 2 任给矩阵A，定义A的针对列的行列式，简称为A的列式为：如果A存在次要列，则它的列式为 0，否则，如果A的所有列都是主要列，则定义A的列式的值为主子行列式的值。将这样定义的A的列式记为detc

12、(A), 或|A|c，但是因为A的列式很重要，所以也将A的列 式称为A的行列式，简记为det(A)或者|A|。同理，定义A的针对行的行列式，简称为A的行式 为：如果A存在次要行，则它的行式为 0，否则，如果A的所有行都是主要行，则定义A的行 式为主子行列式的值。将这样定义的A的行式记为detr(A), 或|A|r。根据定义不难知道，当 A 是方阵时，A 的行式和列式是相等的，都等于 A 的行列式的 值。2性质和一些定理定义一般矩阵 A 的行列式，并非在线性代数的理论上有何突破，但是，有可能有助于 建立一致的说法，以便于线性代数的教学。下面可以将一些线性代数的定理，用新定义的行 列式重述。定义

13、3 4对任意矩阵A与B，如果AB=I, I是单位矩阵，则称A是B的左逆矩阵，并记B的 左逆矩阵为BL, B是A的右逆矩阵, 并记A的右逆矩阵为AR。当然，我们知道如果 A 与 B 都是方阵，则左逆矩阵与右逆矩阵相同。定理 2 2 矩阵A有左逆的充分必要条件，是detc(A)0, 有右逆的充分必要条件，是detr(A)0。这在形式上类似于方阵的有关定理。定理 3 矩阵 A 的列向量组线性无关的充分必要条件，是 detc(A)0。A 的行向量组线性 无关的充分必要条件，是 detr(A)0。也可以叙述为，矩阵 A 的列向量组线性相关的充分必要条件，是 detc(A)=0, 而其行向量组线性相关的充

14、分必要条件，是 detr(A)=0。有了这个定理，则今后学生们要判断一组向量的线性相关性，只需要将它们按列排成矩 阵后计算其列式即可。这样的计算具有一致性，就不象现在这样，一会儿方阵要用行列式， 一会儿又要用行初等变换。定理 4 齐次线性方程组Ax=o有非零解的充分必要条件，是detc(A)=0。同样可以说成Ax=o只有零解的充分必要条件，是detc(A)0。如果非齐次线性方程组Ax=b有解，则它有唯 一解的充分必要条件，是detc(A)0。当Ax=b有唯一解时，此唯一解可表示为x=ALb。在这种情况下用矩阵 A 的列式来判断线性方程组的各种情况，类似于系数矩阵是方阵的情况。 上面这三个定理都

15、极为类似于方阵的行列式的相应定理，因此学生们应当是好记的。性质 1 对任意矩阵 A，调换它的两个主要列，则它的列式反号，调换它的两个主要行，则它的行式反号，将一个主要列乘上一个数加到另一个主要列，或将一个主要行乘上一个数 加到另一个主要行，不改变 A 的行式和列式。将一个数 k 乘上一个主要列或者主要行的所 有元素，导致 A 的行式和列式都扩大了 k 倍。除了这个性质外，从前面的定理可以知道，行列式是否为 0 是矩阵 A 的重要性质。因 此有如下定理。定理 5 对任意矩阵 A，对它作初等变换，不改变它的行式和列式的是否为 0 的性质。3结语可以看出，在定义了任意的一个矩阵 A 的行式和列式之后

16、，原有的方阵的行列式的一些性质和结论，就可以非常类似地进行推广。本文作了这样的定义之后，首先还是有利于学生们的学习，但是，也有可能对于进一步发展线性代数的理论有帮助作用。参考文献(References)1 沈永欢，梁在中，许履瑚，蔡倩倩. 实用数学手册M. 科学出版社，2001：95 页.SHEN Y.H, LIANG Z.Z, XU L.H, CAI Q.Q. Pragmatic Mathematics HandbookM. Science PublishingHouse, 2001: p95. (in Chinese)2 居于马. 线性代数M. 清华大学出版社，2002：128 页.JU

17、Y.M, Linear AlgebraM. Tsinghua University Publishing House, 2001: p128. (in Chinese) 3 张红. 数学简史 M. 科学出版社，2007：238 页.ZHANG H. Introduction to History of Mathematics M. Science Publishing House, 2007: p238. (in Chinese) 4 胡茂林. 矩阵计算与应用 M. 科学出版社, 2008: 143 页.Hu M.L. Matrix Calculation and Application M.

18、 Science Publishing House, 2008: p143. (in Chinese) 5 张禾瑞，郝柄新. 高等代数M. 高等教育出版社，2007：192 页.ZHANG H.R, HAO B.X. Advanced AlgebraM. High Education Publishing house, 2007: p192. (in Chinese) 6 易忠. 高等代数与解析几何M. 清华大学出版社，2007：40 页.YI Z. Advanced Algebra and Analytical GeometryM. Tsinghua University Publishing house, 2007: p40. (inChinese)7 赵树源. 线性代数M. 中国人民大学出版社，2008：129 页.Zhao S.Y. Linear Algebra M. Chinese People University Publishing house, 2008: p129. (in Chinese)