区间数密度加权调和平均中间算子及其在多属.doc

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1、精品论文区间数密度加权调和平均中间算子及其在多属性决策中的应用卫贵武 重庆文理学院经济与管理学院，重庆永川 (402160) E-mail: weiguiwu摘要：针对群决策中的决策者群体偏好信息分布问题，研究了不确定多属性决策密度中间算子。在已有的区间数密度加权平均(IDWA)中间算子和区间数间密度加权几何平均 (IDWGA)中间算子的基础上，提出区间数密度加权调和平均(IDWHA)中间算子，并将该算 子与已有的UWHA，UOWHA，UHA，Min和Max算子进行合成，得到的合成算子兼顾了多 种算子的特点。最后给出了一个算例分析，说明了本文提出方法的可行性和实用性。 关键词：区间数密度加权调

2、和平均(IDWHA)中间算子；元素聚类；密度加权向量；集结 中图分类号:C934文献标志码:AInterval density weighted harmonic averaging middle operator and its application to multiple attribute decision makingWEI Gui-wuDepartment of Economics and Management, Chongqing University of Arts and Sciences, Yongchuan, Chongqing (402160)AbstractWith

3、respect to the information distribution on the decision makers preference, the problem of densityweighted averaging middle operator in uncertain multiple attribute decision making is investigated. Based on the and interval density weighted averaging (IDWA)middle operator and interval density weighte

4、d geometric averaging (IDWGA)middle operator, a new interval density weighted harmonic averaging (IDWHA) middle operator is proposed. Composite operators composed of the IDWHA and uncertain weighted harmonic averaging (UWHA), uncertain ordered weighted harmonic averaging (UOWHA), uncertain harmonic

5、averaging (UHA), Min, Max operators give attention to manifold operators characteristics. Finally, a numerical example is used to illustrate the applicability and effectiveness of the proposed method.Keywords: interval density weighted harmonic averaging (IDWHA) middle operator; argument clustering;

6、 density weighted vector; aggregation- 1 -1.引言有序加权平均(OWA)算子1是美国学者 YAGER 教授于 1988 年提出来的一个多属性 信息集结方法。该算子已在决策分析、管理 科学、人工智能、数据挖掘、专家系统及模 糊系统等诸多领域得到了广泛应用1-13。文 献2,3 提出了有序加权几何平均(OWG) 算 子。文献14-15提出了有序加权调和平均 (OWHA)算子。文献6基于可能度的区间数 排序方法和信息集结方法，定义了不确定有 序加权平均(UOWA)算子。文献16 定义了不确定有序加权几何平均( UOWG) 算子。文献 17 定义了不确 定加权

7、调和平均 (UWHA) 算子和不确定有序加权调和平均 (UOWHA)算子。易平涛、郭亚军和张丹宁 18-19认为与 WAA(或 WGA)算子对各个数据 元素重要性进行加权的思路不同，OWA 算 子是对元素按照所处的大小位置进行加权， 因而 OWA 算子运用了元素之间大小秩序的 信息，并通过位置权重的配置体现“与”、 “或”、“偏与”、“偏或”等集结特征，但是 OWA 算子没有考虑元素之间分布的疏密程度，在 大部分信息集结问题中，数据元素分布几乎- 7 -都是不均匀的,此时考虑元素之间疏密程度 1gLg 121n的信息显得十分必要。为此易平涛、郭亚军和张丹宁18-19提出了用密度集结方式对多 g

8、1g G = 212 n MMM 源信息进行融合的新思路，据此提出了密度 ggg 加权平均(DWA)中间算子。进而以 DWA 算 n1n 2Lnn 子为中间算子，将 DWA 与 WAA, OWA, AA,其中， g 为任意两区间数的贴近度，满足Min 和 Max 等算子结合，能利用更多的决策gij = g ji， gii = 1。对 i, j n ，有 信息，从而达到最好的决策效果。易平涛和 郭亚军20将 DWA 算子进一步拓展为密度加 权几何平均(DWGA)中间算子，并构建基于 DWA 算子及 DWGA 算子的多种合成算子， 接着对密度集结算子的整体性质进行了分 析。候芳和郭亚军21将本文将

9、密度加权平均0 gij 1，则称矩阵 G 为贴近度矩阵。由聚类分析法，对应不同的截割水平 ( 0,1) 可以得到不同的数据集合的 个数 m ( m 1, 2,L, n) 。令 f 为数据集合的个数 m 与截割水平 的一个映射， m 个(DWA) 中间 算子和 密度 加权几 何平均 数据集合为 A , A ,L, A。 区间数密度权(DWGA)中间算子推广到区间数情形，提出 了区间数密度加权平均(IDWA)中间算子和 区间数密度加权几何平均(IDWGA)中间算 子。本文将在已有的 IDWA 算子和 IDWGA 算子的基础上，再进一步提出区间密度加权调和平均(IDWHA)中间算子，并将该算子与12

10、m向量 的确定见参考文献21。下面引入区间数密度加权平均(IDWA)n中间算子和区间密度加权几何平均(IDWGA) 中间算子。令 I 为全体实数区间数的集合。 定 义421对 区 间 数 据 集已有的 UWHA，UOWHA，UHA，Min 和A = ( a%1 , a%2 ,L, a%n ) ，设 IDWA： I I ，Max 算子进行合成，得到的合成算子兼顾了 多种算子的特点。最后给出了一个算例分 析。2.预备知识为方 便起见， 记 M = 1, 2,L, m ，若mIDWA , ( a%1 , a%2 ,L, a%n ) = i ( Ai )i =1(3)式中， A1 , A2 ,L, A

11、m 称为序化后 A 的一维m 组聚类，()N = 1, 2,L, n 。 = 1 ,2 ,L,mm是密度加权定 义116-18区 间 数a% = a L , aU,向量，i 0,1,i = 1 ； 为某一具i =1b% = bL , bU R , 称备幂等性、介值性及单调性的信息集结算子，则称函数 IDWA 是区间数密度加权平均g (a%, b% ) = 1 c (d (a%, b% )为 a%, b% 的贴近度。其中 d ( a%, b% ) 为区间数中间算子，也称为 IDWA 算子。类似 IDWA 算子，下面引入 IDWGA 算 子的定义。a%, b% 的距离， c 为参数， g (a%,

12、 b% ) 0,1 。定义 221 设有 n 个区间数，若矩阵定义 521设 IDWGA： I n I ，若miIDWGA ,( a%1 , a%2 ,L, a%n) = ( Ai )i =1(4)则称函数 IDWGA 区间数是密度加权几何平均中间算子，也称为 IDWGA 算子。定义 5中字符的含义与定义 4 相同。3. 区间数 密度加权调和 平均 (IDWHA)中间算子2007 年, 刘金培和陈华友教授17提出IDWHA 算子处理的数据元素为非负区间数。定义 8 中字符的含义与定义 4 相同。 由于 IDWHA 算子为中间算子，下面进一步定义与 UWHA，UOWHA，UHA，Min+ n和

13、Max 结合使用的 5 种合成算子。了一种集成离散区间数据信息的不确定加定义 9 设 IDWHAUWHA ： I I + ，若权调和平均(UWHA)算子和不确定有序加权调和平均(UOWHA)算子:IDWHAmWHA, , ( a%1 , a%2 ,L, a%n )定义 617. 设UWHA : I + n I + , 若= 1i()UWHA( a%1 , a%2 ,L, a%nn) = 1 j(5)i =1 UWHA Ai=1(8)j =1 a% jmiT其中： = (1 , 2 ,L,n )是区间数据组i =1ki1(i )(i ) ( a%1 , a%2 ,L, a%n ) 的倒数加 权向

14、 量，满 足n jj =1b%j j 0,1, j = 1，称函数 UWHA 为j =1其中：mn 维不确定加权调和平均(UWHA)算子。A = bji M , j = 1, 2,L, ki ,ki = n定义 717. 设UOWHA : I + n I + , 若nwij， b%(i )%为数据集 A 中一元素，i =1UOWHAw( a%1 , a%2 ,L, a%n ) = 1 ( 1 ,2 , m )(i ) ij = L a%是密度加权向量，j =1 ( j ) ( (i )(i )(i ) )(6)i =1 ,2,L, k为其中： w = ( w1 , w2 ,L, wn )是与

15、UOWHAA = (b%, b%,O, b%) 中元素重要性的归T(i )(i )(i ) 算子相关联的倒数加权向量(位置向量)，满i12kiki足 w j 0,1,n w j = 1，且a% ( j ) 是数据一化加权向量，满足jjj =1 (i ) = 1, (i ) 0 。j =1组 ( a%1 , a%2 ,L, a%n ) 中第 j 个最大的元素，称则称函数 IDWHAUWHA 为区间密度调和加+ n权平均算子，也称 IDWHAUWHA 算子。函数 UOWHA 为 n 维不确定有序加权调和平均(UOWHA)算子。定义 10 设 IDWHAUOWHA ： I I + ，若下面，在 ID

16、WA 算子和 IDWGA 算子的IDWHAUOWHA,w, ( a%1 , a%2 ,L, a%n )基础上，提 出区间密 度加权调和 平均m1i(IDWHA)中间算子。定义 8 设 IDWHA： I + n I + ，若= UOWHA ( A )=1(9)m i IDWHA ,( a%1 , a%2 ,L, a%n) = 1mi =1i( Ai )i =1i =1 iki1(i )(i ) w jb%j(7)则称函数 IDWHA 是区间密度加权调和平均 中间算子，也称为 IDWHA 算子。一般要求其中：j =1mA = b(i ) i M , j = 1, 2,L, k ,k = n算子，也

17、称 DWHAMax 算子。%iji， (i ) ii =1定义 11-13 中字符的含义与定义 9 相b%j为数据集 A 中第 j 个最大的元素，同。当然 IDWHA 算子也具有同 IDWA 算子和 IDWGA 算子一样的性质。并且还可 = (1 ,2 ,L,m ) 是密度加权向量，ii( (i )(i )(i ) )以与文献6,16,21中的算子结合，形成更多 的多源密度集结算子。wi =w1 , w2,L, wk为jj( (i )(i )(i ) )Ai =b%1, b%2,O, b%k中元素重要性的归ki4. 算例分析一化加权向量，满足j =1w(i ) = 1, w(i ) 0 。现用

18、文献21 的算例来说明本文提出的方法。设有一方案集合为 A ， A 中的数据可则称函数 IDWHAUOWHA 为区间密度有序加权调和平均算子，也称 IDWHAUOWHA 算 子。以看作是 8 个方案的取值范围。因此，对该方案的优劣排序可以理解为多人单准则的 决策问题。A = A1 , A2 , A3 , A4 , A5 , A6 , A7 , A8 ，其 中+ n定义 11 设 IDWHAUHA ： I I + ，若A1 = 0.01, 0.03, A2 = 0.012, 0.02，IDWHAUHA ( a%1 , a%2 ,L, a%n) = 1m HA ( A )A = 0.23, 0.3

19、6, A= 0.27, 0.45ii =1i=1(10)m34A5 = 0.66, 0.78, A6 = 0.46, 0.83A7 = 0.31, 0.68, A8 = 0.35, 0.56 。由文献21的方法，当 = 0.7, m = 3 ， i i =1 ki(i ) ki可将 A 分割为： (1 b%j )A1 = (0.66, 0.78)j =1则称函数 IDWHAUHA 为区间密度调和平A2 = (0.01, 0.03,0.012, 0.02)均算子，也称 IDWHAUHA 算子。A3 =(0.23, 0.36,0.27, 0.45,。+ n定义 12 设 IDWHAMin ： I

20、I + ，若m0.46, 0.83,0.31, 0.68, 0.35, 0.56)当 a = 2 ，由文献21的表 2，可知密度权重向量为：IDWHAMin ( a%1 , a%2 ,L, a%n) = 1 i() =0.333, 0.134, 0.833 。i =1 Min Ai(11)则称函数 IDWHAMin 为区间调和密度最小 算子，也称 IDWHAMin 算子。()同时 UWHA 的权重为： = (0.0837,0.0358, 0.1534, 0.0775,0.1786, 0.1312, 0.2163,0.1235)+ n定义 13 设 IDWHAMax ： I I + ，若同时 U

21、OWHA 的 权重为：w = (0.0201,0.1011, 0.1404, 0.1525,IDWHAMax ( a%1 , a%2 ,L, a%n) = 1mi =1iMax ( Ai )(12)0.1942, 0.2124, 0.0941, 0.0852)则有如下计算结果：则称函数 IDWHAMax 为区间调和密度最大UWHA( A) = 0.0719, 0.1638 UOWHA( A) = 0.0518, 0.1106 IDWHAUWHA ( A) = 0.0631, 0.1416 IDWHAUOWHA ( A) = 0.0640, 0.1316 IDWHAUHA ( A) = 0.06

22、49, 0.1325 IDWHAMin ( A) = 0.0657, 0.1065 IDWHAMax ( A) = 0.0640, 0.17055.结束语本文在在 IDWA 算子和 IDWGA 算子的 基础上，提 出区间密 度加权调和 平均 (IDWHA) 中间 算子 ，进 而与 UWHA ， UOWHA，UHA，Min 和 Max 结合，形成了5 种合成算子。并且本文提出的算子还可以 与 IDWA、IDWGA、UAA、UGA、UWAA、 UWGA、UOWA、UOWGA、Min 和 Max 结合，形成更多的多源密度信息集结算子。 这些合成算子的提出更好的丰富了多源密 度信息集结算子。最后给出了

23、算例分析。参考文献1 Yager R R. On ordered weighted averaging aggregation operators in multicriteria decision making J.IEEE Trans. On Systems, Man and Cybernetics,1988, 18:183-190.2 Chiclana F, Herrera F, Herrera-Viedma E. Integrating multiplicative preference relations in amultipurpose decision2making model

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