中值定理与导数的应用 31 中值定理32 罗必达法则.ppt
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1、第三章 中值定理与导数的应用 3.1 中值定理3.2 罗必达法则3.3 函数单调性的判别法3.4 函数的极值3.5 函数的最大值和最小值3.6 曲线的凹凸与拐点3.7 函数图像的描绘3.8 曲率,下页,3.1 中值定理,1.罗尔(Rolle)定理,2.拉格朗日(Lagrange)定理,3.柯西(Cauchy)定理,首页,上页,下页,3.1 中值定理,1.罗尔(Rolle)定理,定理1,(罗尔定理)如果函数f(x)满足:,(1)在闭区间a,b上连续;(2)在开区间(a,b)内可导;(3)f(a)=f(b),则在(a,b)内至少有一点,使得,首页,上页,下页,例1,验证函数,定理的条件,并求出使,
2、的,值.,解,所以,在,内,使得,的,有两个:,3.1 中值定理,上满足罗尔,首页,上页,下页,2.拉格朗日(Lagrange)定理,定理2,(拉格朗日定理),如果函数f(x)满足:,(1)在闭区间a,b上连续;(2)在开区间(a,b)内可导;,则在(a,b)内至少有一点,使得,3.1 中值定理,首页,上页,下页,格朗日定理的条件,并求 的值.,例2,验证函数,在区间0,1上满足拉,解,拉格朗日定理,(舍),3.1 中值定理,所以在区间0,1上连续;,首页,上页,下页,推论1,如果函数f(x)在区间(a,b)内的导数恒为,零,则f(x)在区间(a,b)内是一个常数.,推论2,如果函数f(x)和
3、g(x)在区间(a,b)内可导,且,则在区间(a,b)内两个函数至多相差一个常数,即,其中C为某个常数.,3.1 中值定理,(用拉格朗日定理证),首页,上页,下页,则在(a,b)内至少有一点,使得,3.柯西(Cauchy)定理,定理3,(柯西定理)如果函数f(x)和g(x)满足:,(1)在闭区间a,b上连续;(2)在开区间(a,b)内可导,且,3.1 中值定理,首页,上页,下页,1.未定式 型的极限求法,3.2 罗必达法则,2.未定式 型的极限求法,3.其他类型的未定式极限的求法,首页,上页,下页,可以除外),,(2)在点,的某邻域内(点,1.未定式 型的极限求法,3.2 罗必达法则,罗必达法
4、则1,如果函数f(x)和g(x)满足下述条件:,(1),均存在且,(3),存在(或为无穷大),则有,首页,上页,下页,例1,求,解,例2,求,解,3.2 罗必达法则,首页,上页,下页,例3,求,解,3.2 罗必达法则,首页,上页,下页,的某邻域内(点,可以除外),,2.未定式 型的极限求法,罗必达法则2,如果函数f(x)和g(x)满足下述条件:,(1),(2)在点,均存在且,(3),存在(或为无穷大),则有,3.2 罗必达法则,首页,上页,下页,例4,求,解,3.2 罗必达法则,首页,上页,下页,例5,求,解,例6,解,求,3.2 罗必达法则,注意 洛必达法则是求未定式的一种有效方法,但与其它
5、求极限方法结合使用,效果更好.,首页,上页,下页,例7,求,解,例8,求,解,方法失效,3.2 罗必达法则,首页,上页,下页,3.其他类型的未定式极限的求法,例9 求,解,例10 求,解,3.2 罗必达法则,首页,上页,下页,例11,求,解,3.2 罗必达法则,首页,上页,下页,3.3 函数单调性判别法,设函数f(x)在区间(a,b)内可导.,定理,(1)如果在(a,b)内,,,则函数f(x)在(a,b)内单调增加;,(2)如果在(a,b)内,,,则函数f(x)在(a,b)内单调减少.,首页,上页,下页,证,应用拉氏定理,得,3.3 函数单调性判别法,首页,上页,下页,表中“”表示单调增加,“
6、”表示单调减少.,例1,判定函数,的单调性.,解,3.3 函数单调性判别法,首页,上页,下页,例2,求函数,的单调区间.,解,3.3 函数单调性判别法,首页,上页,下页,例3,求函数,的单调区间.,解,3.3 函数单调性判别法,首页,上页,下页,例4,求函数,的单调区间.,解,3.3 函数单调性判别法,首页,上页,下页,(2)求导数,并求使 或 不存在的点,得到各单调区间的分界点;,3.3 函数单调性判别法,综合以上几例,得到求函数单调区间的步骤如下:,(1)求函数的定义域;,(3)讨论 在各区间内的符号,判断函数 在各区间内的单调性.,注意 如果函数在某区间内,只有个别点的导数等于零或不存在
7、,但该区间内其余各点的导数均大于(或小于)零,则函数在这个区间内仍是单调增加(或减少)的.,首页,上页,下页,例5,证明:当,时,,证,令,所以,在,内是单调增加的且连续.,3.3 函数单调性判别法,首页,上页,下页,3.4 函数的极值,1.函数极值的定义,2.函数极值的判定和求法,首页,上页,下页,3.4 函数的极值,概念引入,首页,上页,下页,3.4 函数的极值,1.函数极值的定义,定义,设函数,在,的某个邻域内有定义.,(1)如果对于该邻域内的任意点,,都有,(2)如果对于该邻域内的任意点,,都有,函数的极大值与极小值统称为函数的极值,,使函数取得极值的点称为函数的极值点.,首页,上页,
8、下页,取得极值,则函数在点,可导,且在点,2.函数极值的判定和求法,定理1,(必要条件),设函数,在点,的导数,使函数的导数为零的点叫作函数的驻点(或稳定点),3.4 函数的极值,注意,首页,上页,下页,3.4 函数的极值,定理引入,首页,上页,下页,在点,的一个邻域内,定理2,(第一充分条件),设函数,在点,连续且可导(但,可以不存在).,(1)如果在,的邻域内,当,时,,当,时,,,则函数,取得极大值,(2)如果在,的去心邻域内,,时,,当,时,,,则函数,在点,取得极小值,3.4 函数的极值,(3)如果在,的邻域内,当,首页,上页,下页,(2)求导数;,3.4 函数的极值,综合上面两个定
9、理,得到求函数极值的一般步骤如下:,(1)求函数的定义域;,(3)求 的全部驻点或导数不存在的点;,(4)讨论各驻点或导数不存在的点是否为极值点,是极大值点还是极小值点;,(5)求各极值点的函数值,得到函数的全部极值.,首页,上页,下页,例1,求函数,的极值.,解,(1)函数的定义域为,(2),(3)令,得驻点,3.4 函数的极值,(4)列表讨论如下:,首页,上页,下页,3.4 函数的极值,首页,上页,下页,例2,求函数,的极值.,(1)函数的定义域为,解,(2),(3)令,得驻点,(4)列表讨论如下:,3.4 函数的极值,首页,上页,下页,由上表知,函数的极小值为,.驻点,不是极值点,如下图
10、所示.,3.4 函数的极值,首页,上页,下页,例3,求函数,的极值.,解,(1)函数的定义域为,(2),(3)令,得驻点,当,时,导数不存在.,(4)列表讨论如下:,3.4 函数的极值,首页,上页,下页,由上表知,函数的极大值为,3.4 函数的极值,函数的极小值为,首页,上页,下页,取得极小值.,在点,定理3,(第二充分条件),设函数,处具有二阶,导数且,(1)如果,,则函数,在点,(2)如果,,则函数,在点,取得极大值.,3.4 函数的极值,注意,充分条件来判定.,首页,上页,下页,3.4 函数的极值,例4,求函数,在区间,上的极值.,解,首页,上页,下页,(1)求函数 的导数,并求出所有的
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