定积分知识总结.docx

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1、定积分知识总结_、基本概念和性质(1) 定义j f (x)-dx的定义:lim2ES - lim Xf 化)-(x 一x ) ns . 1 ns- 把la,b区间分成n个小区间，a = xVxV.Vx = b要求当n 8时，max(x -x ) 0 记/ =L ,x 在/上的代数面积为S ,在/上用矩形代替S ,在/上任取一点& ,i zzl i ii ii iis 牝 f (&)G -x /ii i i-1 求和：S = f (&.) (x.x.i=1 求极限：即lim f (& ) - (x - x )n* . 、i-1i =1(2) 定脚的性质 f 1 = b - aa 线性运算性质：f

2、 hf (x) + P -g(x)dx =以 f f (x) - dx + P f g (x) dxaaaf f (x) dx = -f f (x) dxaf f (x) dx = 0b a 区间的可加性:f f (x)dx = f f (x)dx + f f (x)dxGaac、，b,c的区间可积即可，不一定要求c (a,b) f (x)在a,b上可积且/(x) 0,0f (x) dx 0a 苟(x), g(x)在a,b上可积鸟(x) g(x),则f f (x) dx f g(x) dxaa 若f (x)在a,b上连续，f (x) 0, f (x)不恒等于0,则ff (x) dx0af (x

3、) = 0:可能个别点上等于0,也可能整个区间均为0; f (x)三0:则是指在整个 区间上都等于0推论：苟(x), g (x)在区间la,。上连续，f (x) g (x),且f (x)不恒等于g (x),则：f f (x) dxf g (x) dxaa若f(x)在a,。上可积，则f (x) - dx f | f (x)| dx-a f 若f (x)在la,。上可积，m f (x) M, xla, b m,肋均为常数，则: m(b - a) f f (x) dx M (b - a)a (积分中值定理)若f(x)在闭区间a,b上连续，则至少存在一点la,bl使得：f f (x) dx =f (&

4、) (b - a)a、微积分基本公式1、积分上限函数及其导数定义：设函数f (x)在区间a,b上连续，对于任意x e a,b , f (x)在区间a,x上 也连续，所以函数f (x)在a,x上也可积.显然对于a,b上的每一个x的取值，都 有唯一对应的定积分fxf (t )dt和x对应，因此fxf (t )dt是定义在a, b上的函数.记aa为中(x) = f xf (t)dt，x ea, b.a称以x)叫做变上限定积分有时又称为变上限积分函数.定理1：如果函数f (x)在区间a,b上连续，则中= j xf (t)dt 在a, b上可导，a且(x) = xf (t)dt = f (x) (a x

5、 g(x)及直线x = a,x = b所围成平面的面积A (如图5.8所示)取x为积分变量，x日a,b.下面用微元法求面积A.在区间a,b上任取一小区间x,x + dx，该区间上y-小曲边梯形的面积dA可以用高f (x) - g(x)，底边为dx的小矩形的面积 近似代替，从而得面积元素dA = f (x) - g (x)dx . 写出积分表达式，即A = i b f (x) - g (x)dx.A =里(y)-V(y)dy.c里展(2)极坐标系下面积的计算设曲边扇形由极坐标方程p = p(0)与射线0 =a,0 = a 0)和直线x = a,x = b及工轴所围成的曲边梯形绕x轴旋转一周而成(

6、如图5.15).取x为积分变量，它的变化区间为a, b，在a, b上任取一小区间x, x + dx， 相应薄片的体积近似于以f (x)为底面圆半径，dx为高的小圆柱体的体积，从而 得到体积元素为dV =兀f (x)2dx，于是，所求旋转体体积为V =兀 j b f (x)2 dx .(2)平行截面面积为已知的立体体积设一物体被垂直于某直线的平面所截的面积可求，则该物体可用定积分求其 体积.不妨设直线为x轴，则在x处的截面面积A(x)是x的已知连续函数，求该物体 介于x = a和x = b(a b)之间的体积(如图5.19).取x为积分变量，它的变化区间为a,b，在微小区间x, x + dx上A

7、( x)近似不到体积元素dV = A(x)dx .图 5.19变，即把x, x + dx上的立体薄片近似看作A(x)为底，dx为高的柱片，从而得于是该物体的体积为V = j bA(x)dx.a类似地，由曲线X *(力和直线y = c,y = d及y轴所围成的曲边梯形绕y轴旋转一周而成(如图5.16),所得旋转体的体积为4、平面曲线的弧长分类公式直角坐标设y = f (x)为光滑曲线，则在a,b弧段上弧长为：s = j b J1 + f ( X)2 dx a参数方程若光滑曲线由参数方程中) a t p给出，则曲线弧弧长 y =w (t)为：s = j。6P给出，且r (0 )在0, P 上具有连

8、续导数，则曲线弧弧长为：s = j*r(0)2 + r(0)2d0a5、定积分在物理学上的应用分类公式变力沿直线作功若积分变量为x(a x b),变力的函数表达式为f (x)，则变力沿直线所作的功为：w = jbf(x)dxa水压力若将由曲线y = f (x), y = f (x)(f (x) f (x)及直线1212x = a,x = b(a b)所围成的平面薄板铅直放入水中，水的比 重为y，取x轴铅直向下，液面为y轴，则平面薄板一侧所受 的压力为=j: y x号x) -f1( x腿引力当引力闭的方向不随小区间x,x + Ax的改变而变化 时 被积函数即为两质点间的引力f (x) = G，其中r为 r 2两质点间的距离，G为引力系数，.、”2分别为两质点的 质量。当引力AF的方向随小区间x,x + Ax的改变而变化时， 将引力分解成x轴、y轴方向的个分力，再分别用元素法 得出定积分的表示式。