中科院计算流体力学最新讲义CFD112讲双曲型方程组.ppt

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1、,计算流体力学讲义2011 第二讲 双曲型方程组及间断解李新亮；力学所主楼219；82543801,知识点：双曲型方程的特征方程 双曲型方程的弱解及熵条件 Riemann间断解 精确解、近似解初步,1,讲义、课件上传至(流体中文网）-“流体论坛”-“CFD基础理论”下载地址2：http:/cid-,Copyright by Li Xinliang,2,知识回顾,1.流体力学基本方程,概念：连续介质假设；Euler描述/Lagrange描述,N-S方程 描述 质量、动量、能量守恒 的方程组流通量：单位时间内通过垂直于x/y/z 轴单位面积的 质量、动量、能量,无量纲量：物理量与参考量（特征量）之

2、比,2.偏微分方程（组）及其类型,解耦成N个独立的方程双曲型,有N个实特征根（含重根）N个独立特征向量,全部为复特征根,有1个N重特征根独立特征变量数N,抛物型,椭圆型,特征线；特征相容关系；,双曲方程边界条件提法,方法：独立给定j个方程的边界条件 如果 lj0,则在左端给定vj的边界条件 如果 lj0,则在右端给定vj的边界条件,Copyright by Li Xinliang,3,一维Euler方程,3,变系数方程组的情况,令：,令,（行向量）,在x-t空间引入曲线：,满足：,1.双曲型方程组的特征方程,Copyright by Li Xinliang,4,（变系数情况）虽然不能解耦，但能

3、转换成常微方程组,2.1 双曲型方程组,Copyright by Li Xinliang,5,若不考虑粘性，流体微团运动过程中熵不变；如果来流熵均匀分布，则全流场熵均匀分布,例：一维等（均）熵运动,预备知识：完全气体中的热力学量,密度、压力、温度、熵、焓,内能、声速,只有两个独立变量,（完全气体）仅与温度有关,小常识：等熵（绝热）关系,绝热与等温情况相比，气体更难压缩了,等熵情况下，仅有一个独立的热力学变量；给定任何一个都意味着给定全部热力学量；,矩阵B的特征值,若不考虑粘性，流体微团运动过程中熵不变；如果来流熵均匀分布，则全流场熵均匀分布,均熵运动情况下，能量方程可用熵为常数替代,一维均熵流

4、动控制方程（Euler方程简化版）,沿特征线1：,有：,沿特征线1：R不变,（1）转化为,x,t,参数方程,特征线,参数方程,寻找积分因子,设,注意：声速c 是温度的函数，可不是常数！c2 T(c2 就是温度啊！）,绝热关系式,8,知识点，牢记！,一维均熵流动沿特征线Riemann不变量保持不变,x,t,特征线1,特征线2,同理推导，,沿特征线2：,在（x,t）空间：,沿特征线1：,沿特征线2：,A,B,C,扰动源扰动向两侧传播,扰动波以当地声速向两侧传播,观测者,感受到两侧的扰动,例2.1：有限振幅波的传播问题,考虑一维无粘流动（Euler方程），初始时刻（t=0）流动状态如下：,试分析t=

5、t0时刻的流动状态（假设流场不出现间断）,不同时刻的速度分布（A=1）,不同时刻的速度分布（A=0.01）,思考题：小扰动的传播情况？,数值解,利用特征线，分析不同区域的差异,等（均）熵情况下，同族特征线不会相交,Copyright by Li Xinliang,9,目的：学会如何运用Riemann不变量解题,Copyright by Li Xinliang,10,一维扰动波的传播（上：A=1;下：A=0.01）,大扰动，非线性波,小扰动，线性波,基本解题思路：利用特征关系,1,2,3,x,t,解出 x1,x2,利用Riemann不变量得：,解出,区域（2），（4）未扰动,区域（1）内的流动使

6、用基本方法计算,区域（3）内的计算可简化,A B,D,C,E,F,G,(3)区内的波传播速度为常数，且在传播过程中物理量保持不变 简单波 特征线为直线,注意：,因而方程是非线性的,给定x3,t3 利用,Copyright by Li Xinliang,11,（假设t3充分小）,解出t3时刻的流场，继续推进下个时刻,概念：简单波,区域（3）内扰动波的传播特点,考虑（3）区内的,同属一条特征线M 上的任意两个点4 和5：,由于点1 和点3 均在未扰动区：,在（3）区内，所有物理量（u,c）沿特征线M不变 特征保持直线，特征波传播速度不变,简单波,Copyright by Li Xinliang,1

7、2,Copyright by Li Xinliang,13,各区物理含义,x,t,（1）,（2）,（3）,（4）,x,扰动区,t=0时刻,t=t1时刻,右行波,左行波,区域（1），感受到左、右波的影响,区域（3），仅感受到左行波的影响简单波,区域（2），尚未感受到波,x,t=t2时刻,区域（4），波已传播过去，恢复平静,波型、波速不变,3.双曲型方程的间断解,双曲方程的特点：扰动波传播速度有限 可能产生间断,弱间断：函数连续，但导数间断（如稀疏波的波头、波尾）强间断：函数本身间断（如激波、接触间断）,流体力学控制方程：积分型（假设函数连续、光滑）微分型,间断处虽然无法满足微分型方程，但积分型方

8、程（三大守恒律）仍然满足,例：激波两侧关系,原则：连续区需满足微分方程 间断两侧必须满足积分方程,Copyright by Li Xinliang,14,z,4.双曲型方程的弱解及熵条件,1）弱解,若u(x,t)在除有限条间断外连续可微且满足方程（1）；且在间断线 满足：,（1）,Copyright by Li Xinliang,15,则称 u(x,t)是方程（1）的弱解,“间断处满足积分方程”,任意控制体,Green 公式,充分小的积分路线,两侧均视为常值,间断传播的速度,快速记忆法：,Copyright by Li Xinliang,16,弱解不是唯一的,例：,弱解：,t时刻的分布：,全部

9、都满足,物理模型,三个全都是弱解,初始条件：,物理解：,概念：双曲型方程（1）的“物理解”,当：时收敛到的解,Copyright by Li Xinliang,17,2）熵条件,定理：若u(x,t)是（1）的弱解，且在间断处满足：,其中w是介于u+及u-之间的任意值。则u(x,t)是唯一的物理解。,物理含义：特征线汇聚 间断,特征线(斜率 u),不满足熵条件，非物理,特性线向间断处汇聚 满足熵条件,特征线,特性线从间断处发散 不满足熵条件,2.2 Riemann间断解,1.Riemann问题,一维无粘流动初始间断的演化问题,例子：激波管问题,间断条件：,质量、动量、能量守恒,Copyright

10、 by Li Xinliang,18,Sod激波管问题密度（上）、压力（中）及速度（下）分布,Copyright by Li Xinliang,19,Riemann问题对CFD的意义,A,1,2,3,4,有限体积法示意图,目的：计算A点所在界面的通量（以便获知控制体内物理量的变化）,1）利用数值方法（“插值”），用（偏）左侧点的值计算出 用（偏）右侧点的值计算出,A点物理量有两个值，如何处理？当做Riemann问题处理！,2）求解Riemann问题（界面左侧为右侧为）获得穿过界面的通量,Riemann问题求解思路：a)精确解：利用空气动力学（积分关系式+特征线）b)近似解：积分近似、微分近似,

11、流场中可能出现的三种波：激波：强间断，满足R-H 关系式接触间断：特殊间断，仅密度突变（两侧速度、压力相同）膨胀波：等熵波,间断条件：R-H关系式,质量、动量、能量守恒,初始值不满足间断关系，会分解成三个波独立传播,Copyright by Li Xinliang,20,质量通量守恒,动量通量守恒,能量通量守恒,随激波运动，厚度充分小的控制体,如果，R-H关系显然成立,Sod 激波管起动后气流演化过程示意图,膨胀波 接触间断 激波,示意图,一般情况：五种可能,x,t,激波 接触间断 激波,膨胀波 接触间断 激波,激波 接触间断 膨胀波,膨胀波 接触间断 膨胀波,膨胀波 膨胀波,（1）（2）,（

12、3）（4）,（5）,分析,Copyright by Li Xinliang,21,动画演示：密度的演化,2.求解方法 针对每种情况分别考虑；利用积分关系，将微分方程化成代数方程计算,激波 接触间断 激波,Zone:1 3 4 2,积分关系式（RH关系）：1-3 两区,2-4 两区,6个方程，6个未知数。可解！,其中：,1)情况（1）：左、右激波,Copyright by Li Xinliang,22,1-3 两区关系式,2-4 两区关系式,求解思路：消元法,3个方程，4个未知数,设压力已知，解出速度,联立方程，得：,1方程，1未知数，可解；例如：Newton法,x,y,Newton法示意图,解

13、出p*后，代入原方程，求出其余未知数,左行激波,右行激波,Copyright by Li Xinliang,24,情况2：右激波、左膨胀波 Sod 激波管问题属于该情况,预备知识：膨胀波（稀疏波）,高压,低压,Sod 激波管问题，t=0.14时刻压力分布,波头,波尾,膨胀波,膨胀波,膨胀波 接触间断 激波,x,t,膨胀波：内部物理量连续、光滑 头、尾物理量连续，但导数不连续（弱间断）,膨胀波两侧物理量的关系式：,1）熵不变2）Riemann不变量不变,Copyright by Li Xinliang,25,方法：先计算（3），（4）两区的值；再计算膨胀波内部（5）区的值,（1）,（2）,（5）

14、,（3）,（4）,2-4 两区关系式（激波RH关系）：,1-3两区关系式（等熵关系式）：,5个方程，5个未知数，方程可解！,为什么未知数个数比双激波的情况少1个？,求解方法与双激波情况相同，先解出（3），（4）区速度对压力的依赖关系,Copyright by Li Xinliang,26,激波、膨胀波前后速度-压力的依赖关系可写成统一的形式：,左波（激波或膨胀波）：,右波（激波或膨胀波）,（表示（3）（4）区的速度和压力）,其中：,激波,膨胀波,得到方程：,(*),1 个方程，1个未知数，可解,求解(*)得到3,4两区的压力,然后，解出速度和密度,膨胀波内部物理量的计算,x,t,x,t,波头,

15、波尾,处理方法：1）计算膨胀波的范围 波头传播速度 波尾传播速度,（1）,（2）,（5）,(3),(4),2）在膨胀波区内，利用特征相容关系计算 利用简单波的特性，简化计算,简单波,x=0,特征线由x=0发出,再利用另一条特征线的信息：,解出,再利用等熵关系，计算,Copyright by Li Xinliang,27,Copyright by Li Xinliang,28,求解步骤,step1.求解方程(*)，解出 3，4区的压力 单未知数代数方程；数值方法求解,其中：,step 2.求出3，4区的速度、密度、激波移动速度,step 3.计算出稀疏波区的量,针对情况1，求解完成；对于情况2

16、继续step 3,其中各区的范围如下（以情况2 讨论）：,1 区：5 区：3 区：4 区：2 区：,以上步骤完全适用于 情况3，4，5（因为*式同时适用于激波和稀疏波）,Riemann 问题五种可能情况,x,t,激波 接触间断 激波,膨胀波 接触间断 激波,激波 接触间断 膨胀波,膨胀波 接触间断 膨胀波,膨胀波 膨胀波,（1）（2）,（3）（4）,（5）,如何区分这5种情况？,Copyright by Li Xinliang,29,假设,准则如下：,情况1,情况3,情况4,利用函数（由*式定义）,函数性质很好 单调连续,情况5,情况5,情况4,情况3,情况1,Riemann 求解总步骤：1）

17、根据上述判决区分情况 2）按照上一页的步骤求解,真空区,Copyright by Li Xinliang,30,Riemann问题的具体计算步骤,1.判断可能会出现的情况（五种情形之一）,a.定义函数,b.进行判断,情况5,情况4,情况3,情况1,情况5,情况4,情况2,情况1,单调增函数，性质很好,计算出，根据 的大小进行判断，具体见下图：,Copyright by Li Xinliang,31,2.求解中心区的压力和速度,单未知数的代数方程，迭代求解（例如Newton法，F(p)性质好，求解不困难）,3.确定中心区接触间断两侧的密度 以及左、右波传播的速度 a.左波为激波的情况（情况1,3

18、）,b.左波为稀疏波的情况（情况2，4，5）,中心区接触间断左侧的物理量,膨胀波的波头及波尾速度,激波的传播速度,对于情况（5），波尾速度为：,中心区为真空，音速 无定义，改由该式计算,Copyright by Li Xinliang,32,c.右波为激波的情况（情况1，2）,中心区接触间断右侧的物理量,b.右波为稀疏波的情况（情况2，4，5）,4.计算稀疏波区域的值（如果有稀疏波的话）,a.左稀疏波 b.右稀疏波,情况2，4,情况5：,Copyright by Li Xinliang,33,思考题：上述求解方法要求间断两侧流场分布为常数，如果初始时刻流场分布是x的函数，怎样利用该理论解计算？

19、,提示：把曲线离散化，看成折线,Copyright by Li Xinliang,34,4 近似Riemann解初步,精确Riemann解计算量较大；近似Riemann解：积分型（HLL,HLLC）、微分型（Roe）,4.1 HLL 近似Riemann解（Harten,Lax&van Leer）,Ref.：E.F.Toro:Riemann Solvers and Numerical Methods for Fluid Dynamics,Springer,2009(Third Edition),基本原理：双激波近似,t=0,t=t0,激波1，速度Z1,激波2，速度Z2,假设间断面产生两道激波，速

20、度分别为Z1,Z2,根据质量、动量、能量守恒，容易计算出图中控制体积内的总质量、总动量、总能量,t0 时刻激波才传到控制体边界，因此0 到t0时刻，控制体边界处物理量保持0时刻的值。,利用总量，求出图中控制体内的平均值，作为该区域物理量的近似值,Copyright by Li Xinliang,35,4.2 HLLC 近似Riemann解（Toro）,发展了HLL近似解，用三波模型来近似（如图）,三波近似，左、右波的速,T 时刻的流动状态,激波,激波,接触间断,模型：左右两道激波，中间有接触间断激波速度已知为:ZL,ZR,未知数（4个）：,方程（6个）：两道激波的RH关系式,方程多了两个？（因

21、为假设激波速度已知）常用方法：去掉两个方程去掉两个能量方程，4个未知数，4个方程，求解求解过程简单，轻易可给出表达式,满足：物理意义为平均增长率,Copyright by Li Xinliang,36,4.3 Roe 近似Riemann解,u,f(u),uL,uR,uRoe,Roe平均,Riemann问题：,近似：用平均增长率替代瞬时增长率,常系数线性方程组，求解简单（相似变换解耦求解）,Copyright by Li Xinliang,37,作业,2.1 公式推导,（1）一激波从左向右传播。激波左侧物理量为;激波右侧压力为，试计算激波右侧的速度。,（2）有一扇膨胀波从左向右传播。膨胀波左侧物

22、理量为；膨胀波右侧压力为，试计算膨胀波右侧的速度。,膨胀波,要求：务必写出详细的步骤推导（越详细越好）。切忌照抄书上的公式。,作业：,2.2 如下Sod 激波管问题:,求出理论解，并分别画出t=0.14时刻 的分布曲线。,Copyright by Li Xinliang,38,知识点，重要练习，熟练掌握！,Copyright by Li Xinliang,39,编程小经验,模块化，边编写，边验证,a1.先编写一个模块（函数），计算如下函数：,a2.编写完成后，对这段代码进行验证（重要）,打印出数据，画出曲线，根据经验判断,b1.编写另一个模块，解方程（Newton法，弦位法，抛物线法）,模块先独立验证，再耦合联调,b2.用算例进行验证，例如,经验：模块之间先独立调试，会简化调试过程（避免交叉干扰）,c1.组合前两个模块，组合成求解 模块C2.进行验证。解出，与文献（或数值解）对比,其他模块开发,