中学数学研究(几何)第四讲.ppt

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1、1,中学数学研究（几何）,第四讲 平面解析几何研究与解题,2010年8月,第四讲,2,中学数学课程中平面解析几何部分的内容要求,全日制义务教育数学课程标准（实验稿）第三学段 空间与图形图形与坐标认识并能画出平面直角坐标系；在给定的直角坐标系中，会根据坐标描出点的位置、由点的位置写出它的坐标。能在方格纸上建立适当的直角坐标系，描述物体的位置。在同一直角坐标系中，感受图形变换后点的坐标的变化。灵活运用不同的方式确定物体的位置。,2010年8月,第四讲,3,2010年8月,第四讲,4,中学数学课程中平面解析几何部分的内容要求,普通高中数学课程标准（实验）数学2 平面解析几何初步 内容与要求平面解析几

2、何初步（约18课时）（1）直线与方程在平面直角坐标系中，结合具体图形，探索确定直线位置的几何要素。理解直线的倾斜角和斜率的概念，经历用代数方法刻画直线斜率的过程，掌握过两点的直线斜率的计算公式。能根据斜率判定两条直线平行或垂直。,2010年8月,第四讲,5,中学数学课程中平面解析几何部分的内容要求,根据确定直线位置的几何要素，探索并掌握直线方程的几种形式（点斜式、两点式及一般式），体会斜截式与一次函数的关系。能用解方程组的方法求两直线的交点坐标。探索并掌握两点间的距离公式、点到直线的距离公式，会求两条平行直线间的距离。,2010年8月,第四讲,6,中学数学课程中平面解析几何部分的内容要求,（2

3、）圆与方程回顾确定圆的几何要素，在平面直角坐标系中，探索并掌握圆的标准方程与一般方程。能根据给定直线、圆的方程，判断直线与圆、圆与圆的位置关系。能用直线和圆的方程解决一些简单的问题。,2010年8月,第四讲,7,中学数学课程中平面解析几何部分的内容要求,（3）在平面解析几何初步的学习过程中，体会用代数方法处理几何问题的思想。（4）空间直角坐标系通过具体情境，感受建立空间直角坐标系的必要性，了解空间直角坐标系，会用空间直角坐标系刻画点的位置。通过表示特殊长方体（所有棱分别与坐标轴平行）顶点的坐标，探索并得出空间两点间的距离公式。,2010年8月,第四讲,8,中学数学课程中平面解析几何部分的内容要

4、求,选修2-1 圆锥曲线与方程圆锥曲线与方程（约16课时）（1）圆锥曲线了解圆锥曲线的实际背景，感受圆锥曲线在刻画现实世界和解决实际问题中的作用。经历从具体情境中抽象出椭圆、抛物线模型的过程，掌握它们的定义、标准方程、几何图形及简单性质。,2010年8月,第四讲,9,中学数学课程中平面解析几何部分的内容要求,了解双曲线的定义、几何图形和标准方程，知道双曲线的有关性质。能用坐标法解决一些与圆锥曲线有关的简单几何问题（直线与圆锥曲线的位置关系）和实际问题。通过圆锥曲线的学习，进一步体会数形结合的思想。,2010年8月,第四讲,10,中学数学课程中平面解析几何部分的内容要求,（2）曲线与方程结合已学

5、过的曲线及其方程的实例，了解曲线与方程的对应关系，进一步感受数形结合的基本思想。,2010年8月,第四讲,11,选修4-4 坐标系与参数方程坐标系回顾在平面直角坐标系中刻画点的位置的方法，体会坐标系的作用。通过具体例子，了解在平面直角坐标系伸缩变换作用下平面图形的变化情况。能在极坐标系中用极坐标刻画点的位置，体会在极坐标系和平面直角坐标系中刻画点的位置的区别，能进行极坐标和直角坐标的互化。能在极坐标中给出简单图形（如过极点的直线、过极点或圆心在极点的圆）的方程。通过比较这些图形在极坐标系和平面直角坐标系中的方程，体会在用方程刻画平面图形时选择适当坐标系的意义。借助具体实例（如圆形体育场看台的座

6、位、地球的经纬度等）了解在柱坐标系、球坐标系中刻画空间中点的位置的方法，并与空间直角坐标系中刻画点的位置的方法相比较，体会它们的区别。,2010年8月,第四讲,12,参数方程通过分析抛物运动中时间与运动物体位置的关系，写出抛物运动轨迹的参数方程，体会参数的意义。分析直线、圆与圆锥曲线的几何性质，选择适当的参数写出它们的参数方程。举例说明某些曲线用参数方程表示比用普通方程表示更方便，感受参数方程的优越性。借助教具或计算机软件，观察圆在直线上滚动时圆上定点的轨迹（平摆线）、直线在圆上滚动时直线上定点的轨迹（渐开线），了解平摆线和渐开线的生成过程，并能推导出它们的参数方程。通过阅读材料，了解其它摆线

7、（变幅平摆线、变幅渐开线、外摆线、内摆线、环摆线）的生成过程；了解摆线在实际中应用的实例（例如，最速降线是平摆线，椭圆是特殊的内摆线卡丹转盘，圆摆线齿轮与渐开线齿轮，收割机、翻土机等机械装置的摆线原理与设计，星形线与公共汽车门）；了解摆线在刻画行星运动轨道中的作用。,2010年8月,第四讲,13,中学数学课程中平面解析几何部分的内容要求,人民教育出版社 普通高中课程标准实验教科书 数学2（必修）A版第三章 直线与方程3.1 直线的倾斜角与斜率 探究与发现 魔术师的地毯3.2 直线的方程3.3 直线的交点坐标与距离公式 阅读与思考 笛卡儿与解析几何小结复习参考题,2010年8月,第四讲,14,中

8、学数学课程中平面解析几何部分的内容要求,2010年8月,第四讲,15,2010年8月,第四讲,16,2010年8月,第四讲,17,2010年8月,第四讲,18,2.中学平面解析几何典型例题2.1.数学知识类,【例1】七年级下册 第六章 平面直角坐标系,2010年8月,第四讲,19,2010年8月,第四讲,20,2010年8月,第四讲,21,2010年8月,第四讲,22,2.中学平面解析几何典型例题2.2.数学活动类,【例5】七年级下册 第六章 平面直角坐标系,2010年8月,第四讲,23,2.中学平面解析几何典型例题2.3.探究与发现类,【例6】选修2-1 第二章 圆锥曲线与方程,2010年8

9、月,第四讲,24,2010年8月,第四讲,25,2.中学平面解析几何典型例题2.4.信息技术类,【例7】选修2-1 第二章 圆锥曲线与方程,2010年8月,第四讲,26,2010年8月,第四讲,27,3.平面解析几何例题考点分析3.1.初中竞赛类题目,【1】2000年全国数学竞赛试题,2010年8月,第四讲,28,【2】2001年全国数学竞赛试题,2010年8月,第四讲,29,3.2.高中教材类题目,【3】必修2 第三章 直线与方程,2010年8月,第四讲,30,2010年8月,第四讲,31,【5】选修2-1 第二章 圆锥曲线与方程,2010年8月,第四讲,32,2010年8月,第四讲,33,

10、3.3.高考类题目,2010年8月,第四讲,34,2010年8月,第四讲,35,2010年8月,第四讲,36,2010年8月,第四讲,37,4.坐标系与参数方程,2010年8月,第四讲,38,4.坐标系与参数方程,坐标法思想是17世纪的数学家笛卡尔、费马提出的。坐标法思想为牛顿、莱布尼茨创立微积分奠定了基础，它是近代数学发展的开端，已成为现代数学最重要的基本思想之一。坐标系是联系几何与代数的桥梁，是数形结合的有力工具，利用它可以使数与形相互转化。参数方程是以参变量为中介来表示曲线上点的坐标的方程，是曲线在同一坐标系下的另一种表示形式。,2010年8月,第四讲,39,4.1.坐标系4.1.1.平

11、面仿射坐标系,2010年8月,第四讲,40,4.2.极坐标系极坐标系的概念,2010年8月,第四讲,41,4.2.极坐标系极坐标与直角坐标的互化,2010年8月,第四讲,42,2010年8月,第四讲,43,2010年8月,第四讲,44,4.1.3.简单曲线的极坐标方程,2010年8月,第四讲,45,2010年8月,第四讲,46,4.1.4.柱坐标系与球坐标系简介,柱坐标系【思考】在圆形体育场内，如何确定看台上某个座位的位置？,2010年8月,第四讲,47,2010年8月,第四讲,48,2010年8月,第四讲,49,2010年8月,第四讲,50,球坐标系【思考】在航空航天领域，人们怎样确定航天器

12、的准确位置呢？,2010年8月,第四讲,51,2010年8月,第四讲,52,2010年8月,第四讲,53,2010年8月,第四讲,54,4.2.参数方程4.2.1.曲线的参数方程参数方程的概念,2010年8月,第四讲,55,4.2.1.曲线的参数方程圆的参数方程,2010年8月,第四讲,56,4.2.1.曲线的参数方程参数方程和普通方程的互化,曲线的参数方程和普通方程是曲线方程的不同形式。一般地，可以通过消去参数而从参数方程得到普通方程。如果指导变数x，y中的一个与参数t的关系，把它带入普通方程，求出另一个变数与参数的关系，那么，就是曲线的参数方程。在参数方程和普通方程的互化中，必须使x，y的

13、取值范围保持一致。,2010年8月,第四讲,57,4.2.1.曲线的参数方程参数方程和普通方程的互化,2010年8月,第四讲,58,2010年8月,第四讲,59,4.2.2.圆锥曲线的参数方程椭圆的参数方程,2010年8月,第四讲,60,2010年8月,第四讲,61,4.2.2.圆锥曲线的参数方程椭圆的参数方程,2010年8月,第四讲,62,4.2.2.圆锥曲线的参数方程双曲线的参数方程,2010年8月,第四讲,63,抛物线的参数方程（略）,2010年8月,第四讲,64,4.2.3.直线的参数方程,2010年8月,第四讲,65,4.2.4.渐开线与摆线渐开线,探究把一条没有弹性的细绳绕在一个圆

14、盘上，在绳的外端系上一支铅笔，将绳子拉紧，保持绳子与圆相切而逐渐展开，那么铅笔会画出一条曲线。这条曲线的形状怎样？能否求出它的轨迹方程？,2010年8月,第四讲,66,4.2.4.渐开线与摆线渐开线,2010年8月,第四讲,67,4.2.4.渐开线与摆线摆线,思考如果在自行车的轮子上喷一个白色印记，那么当自行车在笔直的道路上行使时，白色印记会画出什么样的曲线？,2010年8月,第四讲,68,4.2.4.渐开线与摆线摆线,2010年8月,第四讲,69,4.2.4.渐开线与摆线摆线,小圆板在大圆板内部滚动，用数学语言表示，就是一个小圆沿着一个大圆的内部无滑动地滚动。滚动时，小圆圆周上的某个定点所描

15、绘的曲线称为内摆线。一个小圆沿着一个大圆的外部无滑动地滚动。滚动时，小圆圆周上的某个定点所描绘的曲线，称为外摆线。,2010年8月,第四讲,70,2010年8月,第四讲,71,5.二次曲线的实际应用,（阅读课本P188-190）,2010年8月,第四讲,72,【本章作业】,2010年8月,第四讲,73,【预习作业】,以小组为单位，准备以下课题的授课（15分钟）、说课（5分钟）、评课（5分钟）内容。平面几何部分1.八年级上册 第四章 四边形性质探索 6.探索多边形的内角和（第一、六小组准备）2.九年级下册 第一章 直角三角形的边角关系 1.从梯子的倾斜程度谈起（第二、七小组准备）,2010年8月,第四讲,74,立体几何部分3.必修二 第一章 立体几何初步 7.1 简单几何体的侧面积（第三、八小组准备）4.选修2-1 第三章 空间向量与立体几何 3.1.1.空间向量及其加减运算（第四、九小组准备）平面解析几何部分5.必修二 第二章 解析几何初步 1.5.点到直线的距离公式（第五、十小组准备）,