中值定理与导数的应用(全.ppt

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1、第四章 中值定理与导数的应用,4.1 微分中值定理4.2 洛必达法则4.3 函数的单调性4.4 函数的极值与最值问题4.5 曲线的凸凹性与拐点4.6 曲线的渐近线和函数作图,4.1 微分中值定理,二、拉格朗日中值定理,一、罗尔定理,三、柯西中值定理,本节我们将介绍导数的一些更深刻的性质函数在某区间的整体性质与该区间内部某点处导数之间的关系。由于这些性质都与自变量区间内部的某个中间值有关，因此被统称为中值定理。,我们知道导数和微分是讨论小增量y=f(x+x)-f(x)的有效工具，自然进而要问：这一工具是否也有助于对宏观增量f(b)-f(a)的研究？微分中值定理对此做出肯定的回答。,引理（费马定理

2、）,证,(2),最大值点必在(a,b)内，设为,证,(1),结论成立.,注意：定理的三个条件有一个不满足，定理的结论就可能不成立。,1、由图可知，函数不满足连续的条件,2、由图可知，函数 在x=0不满足可导的条件。,3、定义在0，1函数y=x，不满足端点函数值相等的条件。,例1,验证罗尔定理对函数,在区间,上的正确性。,解,且,解,例3,证,例4、,证,例5 已知函数f(x)在闭区间0，1上连续，在开区间（0，1）内 可导，且f(1)=0。试证：在开区间（0，1）内至少存在一点,证,构造函数：令F(x)=xf(x)，,则F(x)在0，1上满足罗尔中值定理的条件，于是在开区间（0，1）内至少存在

3、一点,几何意义:,使得,使曲线在 C 处的切线平行于弦 AB.,证明思路,把曲线的两个端点 A、B 拉平,证,由罗尔定理知,在(a,b)内至少存在一点,使得,罗尔定理,称为拉格朗日中值公式.,注,(1),对于 ba 也成立,(2),有限增量定理,也叫微分中值定理.,推论,推论,证,在区间 I上任取两点,(3),证,例1,在1,x上应用拉格朗日中值定理,证,例2,在0,x上应用拉格朗日中值定理,例3 证明恒等式,证,所以,例4 已知函数f(x)在闭区间a，b上连续，在开区间(a,b)内可导，且f(a)=f(b)=0。试证：在开区间(a,b)内至少存在一点,证,则F(x)在a，b上满足罗尔中值定理

4、的条件，于是在开区间(a,b)内至少存在一点,注：,几何意义:,曲线的参数方程,C点处切线斜率为,它等于弦 AB 的斜率.,直接验证知,由罗尔定理知,在(a,b)内至少存在一点,证,证,设,故,例5 设,在,上连续，在,内可导，证明,使得,证,例6 设,在,上连续，在,内可导，证明,使得,故,例7,证,则F(x)在0，1上连续，在(0,1),例8,证,于是存在,故存在,一、未定式,二、xa 时 型未定式,三、未定式,四、其它未定式,4.2 洛必达法则,洛必达法则。,例如,一、定理,那么,不妨假定,由柯西中值定理，有,证,设,解,例1,例2,解,并且可以依次类推进行计算。,(1),注1,特别提醒

5、：每次用洛必达法则前必须进行检验,例3,解,例4,解,如果,二、,三、,例5,解,例6,解,例7,解,对于其它未定式，如,四、,例8,解,解,例9,例10,解,解,例11,例12,解,特别提醒：洛必达法则与其它方法结合使用，会使计算简化、方便,例13,解,例14,解,但,极限存在。,若用洛必达法则，则,例15,解,注2,不存在,例16,解,若用洛必达法则，则,事实上，,解,例17,若用洛必达法则求，则有,极限不存在，,但,本题还可如下做:,例18,解,一、函数单调性的判定法:,设函数 y=f(x)在a,b上连续,在(a,b)内可导.,4.3 函数的单调性,证,在a,b上任取两点,由拉格朗日中值

6、定理，有,同理，,则,例1,解,1 判定函数单调性（即确定其单调区间）,一般的解题的格式为：,（1）确定函数定义域；（2）求（3）令 解得它的根（4）确定f(x)的间断点、不存在的点（5）用 把函数的定义域划分为几个部分区间；（6）在上面每个小区间上讨论函数的单调性。,解：函数的定义域为：，令 解得x1=？,x2=？,x3=？,当x=？时，不存在，列表得结论。,二、利用函数单调性所解决的几个问题:,一般步骤为：,例2,解,例3,解,例4,解,又例,解,例5,解,注,2 利用单调性证明不等式,一般要证明,或,例6,证,例7,证,证,例8,3 利用函数单调性讨论某些方程的根,得证。,证,例9,由零

7、点定理，知,一般方法为：,4.4 函数的极值与最值问题,一、定义二、必要条件三、第一充分条件四、第二充分条件,设 f(x)在区间(a,b)内有定义,是(a,b)内的一点.,都有,(极小值).,一、函数极值的定义,注,极值具有局部性；,极值一定在给定的区间内部取得；,极大值不一定比极小值大。,证,(极小值的情况可类似证明),定理1（必要条件）,二、函数极值的判定,驻点。,注,(1),(2),(负),(正),(极小值);,定理 2（充分条件一),证,根据函数单调性的判定法,其它情况可类似证明.,(5)算出各个极值点处的函数值,即为极值.,求函数的极值的步骤,例1,解,(2),(1),极大,极小,定

8、理 3（充分条件二）,证,那么,(1),因此,由定理2知,(2)可类似证明.,在例1中，也可如下做：,注,例2,解,例3,解,f(x)单调减少,三、最大值与最小值,1.,最大（小）值点,端点,内部,驻点，导数不存在的点,求出端点、驻点和不可导点处的函数值，其中最大（小）的就是函数的最大（小）值,例4,解,例5,解,2.实际问题中的最大值最小值问题,由实际情况最小周长一定存在，,解,1.凹凸性的定义,如果对I上任意两点,4.5 曲线的凹凸性与拐点,2.定理,例1,解,例2,解,曲线凹向与凸向的分界点,称为拐点.,例3,解,例4,解,定义域为,例5,解,令,得 x=0,都有,二阶导数等于零的点,不一定是拐点.,注1,例 6,解,都不存在,二阶导数不存在的点,也可能是拐点.,且曲线在 x=0 连续,故点(0,0)是曲线的拐点.,注2,4.6 曲线的渐近线和函数作图,一、曲线的渐近线,(1)水平渐近线,(2)垂直渐近线,(3)斜渐近线,例1,解,一般步骤:,利用导数工具描绘函数的图形，称为分析法作图。,考察函数的奇偶性、周期性;,(5)适当添加一些必要的辅助点；,二、曲线的作图,例2,(2),解,定义域,列表,+,的图形,+,+,+,+,0,极大,拐点,极小,所以该曲线既无水平渐近线，也无垂直渐近线。,例3,解,定义域,的图形,极大,拐点,0,解,例4,间断点为,