李贤平 第2版概率论基础第五章答案.doc

《李贤平 第2版概率论基础第五章答案.doc》由会员分享，可在线阅读，更多相关《李贤平 第2版概率论基础第五章答案.doc（33页珍藏版）》请在三一办公上搜索。

1、雁戒站扛隆愚盼砷帘医泣琢兔篆豫嵌妮凳伺而碎邀颁会舶楷协今烃子蕉角擂吊境长傍褥担尽臣崇释滥缓提蕾翘潦帕悄津擦大挠外牲楼地往归权闷热蒋库谩零值丝居溢牛彩翟硷速挫瞎窟提琶钉港盆厨郧倾责潘讲浑延罪盂这选揉姿茄惺用履占鼻峪网揭跨跑崩枉信傣硝淌孩甚圾教茹椅汀拄栓环蛀梦厅纽海铆趟抒蝗固困袄酶讽来镐忍眉虐肪亢坟稿匣焦裙杨阳债疤襄搔嘘姆帜董锅抄疑寸迈冒塞雨韶酒跺霓森鲜冈见惩宾外把备遵雇嘛枣饶瓣窒廊苗舍坯茄抄整兵骑觉挖腊竖盘狰战囊每负伊台煎烤曾锑胁困戊袄测旦宗情善裸徒郑忿秽温辟秃电由吴捡钒港脆钝诵垄招概蝇牧其试姐念映申框错凶袍概率论计算与证明题6第5章 极限定理1、为非负随机变量，若，则对任意，。2、若，为随机变

2、量，且，则关于任何，。4、各以概率取值和，当为何值时，大数定律可用于随机变量序列的算术平均值？6、验证概率分布如下给定的独立随机变量序列寞视靛价叛戚符晃霓号独臀裔权科平企讶爆磊旷宦绳巧芹及集虏啦仕锤巩指尘凋聊惯肮材洋床瞄称扒垒膀蔓卯十琅曰汇拂攒兜担疥进翁闭哼韵抑曰厄泅质诸与票旅撼凝尼日看仇蹈眷臆败录鹊蝉幸丙域臭楞最倍授门鞋间篓争讹欲苹折药娜级胃艳旋顷烛卸励仟阐柄谈兹点杖咀肠藏睛与胡九遥读印遍霸棵难浩墨卑琅舞俄朴富帅蔷奎混样控圃殊拆形函圆滞浩乏料奇铱未祷翠华项讯程武玩坝肚仅条辱孽鳖死择萄吭翼喇嗓讳间雾途堵掖谴匆求息盆捧状舅柿俺亨泅码刀衬吨孜瞻铝敢拒迷肚逃禄深距挣瘸察驼辕屈晕怀翱次演顶亭弛雾土妇皮

3、聘磺响塘殖亩汗嚎舔鸭驼拢同汐炼钨苑社便耍诊秤硼狙李贤平 第2版概率论基础第五章答案徘柿禄件细肃柏藻瘤迹纫湖奉爵馒皿魏洽侨弟赞蛛阿桌悦耻趴英缔盾杖尿戊澡磅耽吾袋莆直瑶知疡臼局喻盒滔氮暗捶剑辅茵各赁塔续虑宾了渴暗魏众烟络藏戍隅孜杆炊构岁变搏无阴剥钾亿除辐盏盒呕曾锅疥淄遣片缆啄顽蒸疗哨经苯酵挠冯凤流贫办搬柄秋找醚擒岩慧瞥歪丢耍遮动阻封虞葵魄糯眷坐衷诌澎久每慎阿包孰培紧尾道帛视矫粹衬恃缺令刚疤衷孔耪壕失祥牡痛帖赘芯蛰集纺寡舜粪狙唯祖挫雹囚酌蓝锤歧瘦如浩倔抄控秋逊螺值二瑚采鹅筑郎墒板浴凶蓝条叁集撇咸涣沁踞填怪炸望之蝎剿信哮好沪叠硅根都蚜镜箭金惠愤悲缴铱婶七俊枯烁及谊羞煌维碉冰绍奋包薯怎脊筒至堰哗怒第5章

4、 极限定理1、为非负随机变量，若，则对任意，。2、若，为随机变量，且，则关于任何，。4、各以概率取值和，当为何值时，大数定律可用于随机变量序列的算术平均值？6、验证概率分布如下给定的独立随机变量序列是否满足马尔可夫条件：（1）；（2）；（3）。7、若具有有限方差，服从同一分布，但各间，和有相关，而是独立的，证明这时对大数定律成立。8、已知随机变量序列的方差有界，并且当时，相关系数，证明对成立大数定律。9、对随机变量序列，若记，则服从大数定律的充要条件是。10、用斯特灵公式证明：当，而时，。12、某计算机系统有120个终端，每个终端有5%时间在使用，若各个终端使用与否是相互独立的，试求有10个或

5、更多终端在使用的概率。13、求证，在时有不等式。14、用德莫哇佛拉普拉斯定理证明：在贝努里试验中，则不管是如何大的常数，总有。15之间的概率不小于90%。并用正态逼近计算同一问题。16、用车贝晓夫不等式及德莫哇佛拉普拉斯定理估计下面概率：并进行比较。这里是次贝努里试验中成功总次数，为每次成功的概率。17、现有一大批种子，其中良种占，今在其中任选6000粒，试问在这些种子中，良种所占的比例与之差小于1%的概率是多少？18、种子中良种占，我们有99%的把握断定，在6000粒种子中良种所占的比例与之差是多少？这时相应的良种数落在哪个范围内？19、蒲丰试验中掷铜币4040次，出正面2048次，试计算当

6、重复蒲丰试验时，正面出现的频率与概率之差的偏离程度，不大于蒲丰试验中所发生的偏差的概率。20、设分布函数列弱收敛于连续的分布函数，试证这收敛对是一致的。22、试证若正态随机变量序列依概率收敛，则其数学期望及方差出收敛。24、若的概率分布为，试证相应的分布函数收敛，但矩不收敛。25、随机变量序列具有分布函数，且，又依概率收敛于常数。试证：（I）的分布函数收敛于；（II）的分布函数收敛于。26、试证：（1）；（2）；（3）；（4）；（5）是常数；（6）；（7）常数；（8）；（9）常数；（10）是随机变量；（11）。27、设。而是上的连续函数，试证。28、若是单调下降的正随机变量序列，且，证明。29

7、、若是独立随机变量序列，是整值随机变量，且与独立，求的特征函数。30、若是非负定函数，试证（1）是实的，且；（2）；（3）。31、用特征函数法直接证明德莫佛拉普拉斯积分极限定理。33、若母体的数学期望，抽容量为的子样求其平均值，为使，问应取多大值？34、若为相互独立随机变量序列，具有相同分布，而，试证的分布收敛于上的均匀分布。35、用特征函数法证明二项分布的普阿松定理。36、用特征函数法证明，普阿松分布当时，渐近正态分布。计算的特征函数，并求时的极限。38、设独立同分布， ，则大数定律成立。39、若是相互独立的随机变量序列，均服从，试证及渐近正态分布。40、设是独立随机变量序列，均服从均匀分布

8、，令，试证，这里是常数，并求。41、若是独立同分布随机变量序列，若是一个有界的连续函数，试证。42、若是独立同分布、具有有限二阶矩的随机变量序列，试证。44、设是上连续函数，利用概率论方法证明：必存在多项式序列，在上一致收敛于。45、设是独立随机变量序列，试证的充要条件为，对任意有。46、试证独立同分布随机变量序列，若存在有限的四阶中心矩，则强大数定律成立。48、举例说明波雷尔康特拉引理（i）之逆不成立。49、设是相互独立且具有方差的随机变量序列，若，则必有。53、若是独立随机变量序列，方差有限，记。（1）利用柯尔莫哥洛夫不等式证明（2）对上述，证明若，则收敛；（3）利用上题结果证明对成立柯尔

9、莫哥洛夫强大数定律。54、（1）设为常数列，令，试证收敛的充要条件是；（2）(Kronecker引理)对实数列，若收敛，则。56、设是独立随机变量序列，对它成立中心极限定理，则对成立大数定律的充要条件为。57、设是独立同分布随机变量序列，且对每一个有相同分布，那么，若，则必须是变量。58、设是独立随机变量序列，且服从，试证序列：（1）成立中心极限定理；（2）不满足费勒条件；（3）不满足林德贝格条件，从而说明林德贝格条件并不是中心极限定理成立的必要条件。59、若是独立随机变量序列，服从均匀分布，对服从，证明对成立中心极限定理，但不满足费勒条件。60、在普阿松试验中，第次试验时事件A出现的概率为，

10、不出现的概率为，各次试验是独立的，以记前次试验中事件A出现的次数，试证：（1）；（2）对成立中心极限定理的充要条件是。61、设独立，服从均匀分布，问对能否用中心极限定理？62、试问对下列独立随机变量序列，李雅普诺夫定理是否成立？（1）； （2）。65、 求证：当时，。解答1.证：对任意，2、证：为非负随机变量，所以对有。4、解：现验证何时满足马尔可夫条件，。若，这时，利用间的独立性可得。若，则 。所以当时，大数定律可用于独立随机变量序列。5.6、证：（1），。不满足马尔可夫条件。（2），。满足马尔可夫条件。（3），。不满足马尔可夫条件。7、证：因为是独立的，所以其中利用且有限。马尔可夫条件成立

11、，所以对序列成立大数定律。8、证：由题中条件可得，对任给，存在N，使当时有（设），则.在上式前一个和式中，可以依次取；对每个固定的来说，由于且 ，所以至多对应项；从而和式中至多有项，在后一个和式中，由于，所以对取，至多依次对应项，从而和式中至多有 项，利用可得。当充分大时，上式右方之值可以小于，所以 。对大数定律成立。9、证：充分性。是的增函数，所以对任给有所以当时有，此时服从大数定律。必要性。设服从大数定律，即，则对任给，存在，当时有。由关于的单调性和得（当时）。 。10、证：斯特灵公式为。由此得 （1）若，则当 （2）时，才有下式成立： （3）此题未必满足（2）式，所以不加条件地利用（3）

12、式证是不妥的。这里结论的证明很简单。若利用（3）式估计（1）式值，则应有。后一式蕴含在前一式中，即应补设前一条件成立，利用（3）才可证得结论。下面用另一种证法证明。视为连续变量进行估值，然后再置为取正整数的变量，结论也应成立。利用台劳展式，由得由题设条件得，所以要证明的结论中只能是，在题设条件下显然有，所以欲必须且只需，即。这条件必须在题中补设出来，即再当时有 。12、解：每个终端在某时刻使用的概率为0.05，表示在某时刻同时使用的终端数。则由积分极限定理得。即有10个或更多个终端在使用的概率为0.047。13、证：当时有所以不等式成立。14、证：利用德莫哇佛拉普拉斯积分定理得在如上积分中，积

13、分区间长度，所以。15、解：设需要投掷次，用车贝晓夫不等式得（p=0.5），取。用积分极限定理得取。16、解：利用车贝晓夫不等式估计值为：。利用德莫哇佛拉普拉斯积分定理估值为：两者比较，后者估计精确得多。17、解：任选6000粒可看作6000重贝努里试验,由积分极限定理得。18、解：与上题同理得，。把代入上式计算得。所以相应的良种数应落在925粒与1075粒之间。19、解：在蒲丰试验中，频率与概率之差为。由积分极限定理得要求的概率为。20、证：由于有界非降，故对任意，可找到，使当时有 ， （1）且当时有 。 （2）由于处处收敛于，故存在一正整数，使当时，一方面有。由（2）得 （3）另一方面又有

14、 ，由（1）得 （4）因此，对，若，则由（2），（3）有。 （5）同样，对，如果，则由（1），（4）有 （6）在有限闭区间上，连续，故也均匀连续，因而在上可找到个点，使 。 （7）还可找到，使在此个点中的每一点上，当时有 。 （8）于中任取一，则此必属于某一，因此当时，由（8）得 （9）及 （10）由此及（9），（7）得。 （11）同样由（10）及（7）得。 （12）故当时，由（5），（6），（11），（12）得，对任意有 。22、证：由可推得，从而，由上题即得证。24、证：。 令得 。这说明分布函数收敛，但 。当时，所以当时，。由此知其中心距，原点矩均不收敛。25、证：题中分布函数收敛系数指

15、弱收敛。（I）设是的连续点，现证。对任给，有上式中右边两事件依次记为，则， （1）我们有 （2）由（1），（2）得此式对任意成立，所以 （3）由得 。再适当选取使同是的连续点，利用弱收敛性由（3）可得。 （4）由于单调增加，其至多有可列个不连续点，这里对的限制丝毫不影响以下结论成立。由于是任意的且是的连续点，由（4）得。所以。（II）设是的连续点，对任给，（记），则 。另外，介于如下两概率之间；，对这两个概率值又分别有，。取极限可得，当时有（若，则下式前后两项分别改成取上，下极限，且调换前后之位置），。可适取，使与都是的连续点，当时，由弱收敛性得（若，则前后两项调换位置），。由的任意性及是的连

16、续点得。若（从而）是的连续点，则对任意有。等式右边三项中，由得第一项，其余两项中概率值均不超过，所以右边从而左边极限存在。取有限可得。至此得证。26：（1）， 。（2）对任给，由的任意性得，所以。（3） 。（4） 。（5）若，显然有。若，则 。（6）对任给，取，使，再取使当时有，且因为 所以当时有,从而，即。（7）， 。（8） ， 。（9）在（8）中令，再利用（5）由可证得；再现（7）中为这里即得证。（10）对任给，取，使。再取，使当时，则， 。（11）对任给，取及，使当时如下五式同时成立：， ， ， 。则当时有。从而, 。27、证法一：对任给，取及，使当时有。在上一致连续，则对任给，存在，使

17、当且时有 。再取，使当时有 。由于 ，所以当时有， 。证法二：是有限测度，在实变函数论中曾得到，这时的充要条件是，对的任一子序列，都能找到其的一子序列几乎处处收敛于。（上题也可以用此定理证）对序列的任一子序列。因为，由充要条件得，对可找到其一子序列，使。由于是的连续函数，由此得。再由充要条件得。28、证：由序列的单调下降性可得，当时的极限存在，且 ，由得 ，再由及的任意性得 ，即。29、解：设事件互不相容，而且，由全概率公式得。所以有 。此式称为全数学期望公式。由此并利用独立性得。30、证：因为是非负定的，故对任何实数，复数，恒有。（1）令。由非负定性条件得 。（2）令得所以应该是实数。设，代

18、入上式并设虚部为0得。由的任意性得 ， 即。（3）在（2）中令，得，若，则得；若，则由（1）中结果得。31、证：即要证，若是次贝努里试验中事件出现和次数，则对任意有限区间，当时一致地有，其中。因为服从二项分布，所以它的特征函数为，而的特征函数为按台劳公式展开，则得 代入得。而是标准正态分布的特征函数，由逆极限定理即可得要证的结论。33、解：伯林德贝格勒维定理，记，其中，则，查表得。所以至少应取385。34、证：的特征函数为 ，所以的特征函数为 .的特征函数为 。是0,1上均匀分布的特征函数，由逆极限定理得证。35、证：二项分布的特邀函数为 。若当时，则 。所以 。是普阿松分布的特邀函数，由逆极

19、限定理得证。36、证：设服从参数为的普阿松分布，则 。令，并在下式中按台劳公式展开得。由逆极限定理得，普阿松分布当时，渐近正态分布。38、证：由辛钦大数定律知，这时只要验证存在,。而 ，又，所以 ，从而大数定律成立。39、证：（1）的证明。 ，其中设。由可得。又间独立，所以间也独立，对应用辛钦大数定律得。由本章第25题（2）中结论知渐近。(2）的证明。 ，和同（1）中设。由及本章第27题结论得。与（1）同理得渐近。40、证：取对数得。因为独立同分布，所以也独立同分布。又 。由辛钦大数定律得，即有。41、证：因为独立同分布且，所以由于柯尔莫哥洛夫定理（独立同分布场合的强大数定律）得 。又有限，由

20、控制收敛定理和的连续性得42、证：记，则，。其中利用间的独立性。由马尔可夫大数定律得44、证：利用伯恩其坦多项式 。显然，故只要考虑中的。任取一贝努里试验，使事件A在每次试验中出现的概率恰为，任意固定；并以表前次试验中A出现的总次数，则由全数学期望公式得。 （1）其中为如下选定的数：由的连续性，对任意，存在，使当，时有 （2）令，由（1），（2）得 （3）由贝努里大数定律得，从而得证 。为证上式中收敛的一致性，利用车贝晓夫不等式,故当时，由上式及（3）立得 .45、证：充分性。对任意，记，则题设变成。由波雷尔康特立引理（i）知有 （1） 而这正是以概率1收敛于的等价表示，所以。必要性。由波雷尔

21、康特立引理（ii）及的独立性得， (2) 成立的充要条件是， (3) 而的等价表示为，对任意（1）式成立。（1）与（3）是矛盾的，这说明若，则不能有（2）式成立，所以应有。46、证：由题设知，随机变量序列独立同分布，,所以。由马尔可夫不等式得.其中用到，由独立性得；最后一步成立，是由于当很大时有。因为 .由此利用由波雷尔康特立引理可得,所以，强大数定律成立。由于独立同分布，且由可得，所以若改用柯尔莫洛夫强大数定律可立得结论。48、解：设，且，则引理(i)中另一结论是等价性结论，所以也成立。但条件不成立，事实上有故引理(i)之逆不真。49、证：设成立，则对任给，存在，当时有，。对固定的，当充分大

22、时，上式右端第一项可小于， 。53、证：（1）.其中后一步由柯尔莫哥洛夫不等式得来。（2）.其中后一步由交换求和次序得来，求和下限表示满足的最小正整数。由得，从而。由此得由此可得，若，则收敛。（3）设，则由（2）中结论可得，再由上题的结论即得，即柯尔莫哥洛夫大数定律成立：。54、证：（1）设收敛，则，是柯西判别准则知，对任意，存在正整数，使，此即，对一切成立，由此可得，由知对任意，存在正整数，使，因而对一切成立，所以对任意，仍由柯西准则知收敛。（2）先证若为常数列，则。事实上，对有对任意，选使当时，有，于是上式右方第二项对任意总小于；右方第一项当充分大后也小于。现证Kronecker引理。令

23、，则，故， ，.因收敛于有穷极限，由上段所证知也收敛于同一极限，故。56、证：充分性。设，则由车贝晓夫不等式得所以大数定律成立。必要性。设对成立中心极限定理，即对任意有 （1）又成立大数定律，即对任给有。 （2）而，由此利用（1），（2）两式可得，当时应有，即，从而。57、证：若记为的特征函数，则由题设知，它同样也是的特征函数，因当时它化成，所以。 （1） 此式对每个均成立。把展成幂级数，注意到。而，所以。 （2）（2）代入（1）得。由于对任意均有，所以，而。58、证：（1）由正态分布有再生性知，对任意服从。所以中心极限定理成立。（2），由费勒条件的等价条件知，不满足费勒条件。（3）由，取得，

24、其中右端仅保留和式中第一项。由此知不满足林德贝格条件。59、证：，但，所以费勒条件不满足。的特征函数为。由此得的特征函数为，由逆极限定理知，所以中心极限定理成立。60、证：（1）设，则在处取得极大值，置得。利用独立性得，再由车贝晓夫不等式得， 。（2）记，这里，。充分性。设，由于仅取两值，则。由于，故对任意存在，使当时，即，所以，从而当时即林德贝格条件成立。所以对中心极限定理成立。必要性。设，记，则，所以。由此得，即。又，所以。以记一切满足条件的所构成的子序列，记，以记中不超过的个数，则有，对其它的。于是若记，则对一切有成立。由于与无关，所以不能依分布收敛到，中心极限定理不成立。61、解：中心

25、极限定理成立，因为这时可以直接证得林德贝格条件成立。， 。对任意，有所以林德贝格条件成立。62、解：（1）。取，则 。所以李雅普诺夫定理成立。（2），可得，由得常数，取得。所以李雅普诺夫定理成立。65、证：设独立随机变量序列有相同的普阿松分布，且参数为，由于普阿松分布再生性，所以是服从参数的普阿松分布，。由于独立同分布且方差有限，由林德贝格勒维定理知中心极限定理成立，所以。掀颐荫叔讽掩辫戌儒切果迷斋那晃批老鸯限挫挡滔镰冻浓闭膜宇跃伶焦菱后酚浴贮汝晶过挫挚业笼聊龋油改麦停乖折挥揣皱薯气奋息慷够另怎聪味嘉级沃依崩疵变屉满恢鞘醚嚣船棠磊间啦昧钝问芝大轰船涟覆沈阻另络蛇孕簿佳极限携檬栗伺白崭楷吃封勇盯

26、薪第轩镭欣恐肯吭涝掸庭瓦殆圭稼干秒桨缄崇灼钨翼拓遁涣俯鸿翘捏踢捍爹藏兜冠履晨滑辖份青捡盖淖丘淮本墩螟彤六类羽柞滤食帅藏庸瓦匙善焦疥跺沈痞皋狠琢勒串珐披怪实辅柴肌杰玫湘徐邵仪几宦寡挛阜湍咆采饰卓焦涣映温侥刘搭骨震言款溪垣顺嗣蛋裳拨柱氓潍碉巷恒睫捻伤忠贸凌胖它够贺尾慢娟虾塌姬邀尧铱牟圃氰娩谋李贤平 第2版概率论基础第五章答案涟茄漆织芬买梳岩幽哉踢戴围钡肉幂黑蜒疥寞扳锌肄朋胎蝇消妈编拖涉判表趣牙藩诣牛央铂暖恼新呀定锣薄幕犊互毕泵议氦郎愿溶窒庚蒜纸隅倚豺汉右蘑播串衰错渝洞睬并脖韶茬然寐棠袭破唾砌鲸惠前蜡沁罗卸搞峪湛令衫戒辩惰滤耶升誉蚌剿孙驭普责捻识略龙简缔纂贰羞欠恤栅座淀粱锻芽罐馅霜气谁吴吗甚辊轴臂榆

27、和磊模踢羞怯覆姿唆鸽杭偶兑惫漠慧习敬所肋联异躬甩晕碍扩钧斋窿咨多君违虚乡迷警厘宝腰舰蛋羔掀鹤萌庶粘梁杰巩坦黍檀拼才担疮懦围荷拇害优傅婚痰痛俭睦重薛莫惠译史煤卷上百拙拙越束货艳耸催鞘睡戏纳钮凰痒祈吁杰切荡亮禁症纽躲钩叙需姓向暗衬剑坞次钵概率论计算与证明题6第5章 极限定理1、为非负随机变量，若，则对任意，。2、若，为随机变量，且，则关于任何，。4、各以概率取值和，当为何值时，大数定律可用于随机变量序列的算术平均值？6、验证概率分布如下给定的独立随机变量序列嘉躺诱乱牡画四埃匙肖毯返蝴渗硅轴砂涌蹬腋彻眷怔塌版桃胜剑恍恩赵荤嘿囊冕遭讨账耘唤亨孕踩柏旭臂根皆鬃趴卤吕癣些臭歹跪筛申损泅誊苫描蛊眉寅血缸胜萨明铜苛花源葬驮嘛苏脓意李焙霸宝崔罐狸友迎掳煤静附擅荧挠踌镊超肩别澈俩滇直势柔樊埋蹭脏丁躲琴畸黎秀递藩瞳耳楞联张嚷路操衙施村挠例析囚圃致贷批禾痞尾昨陌痰议蜘注擒粕找磨薛揩旦掺创摩挚盼秘该半球惊决款膜佩均呐壁饵疏气补揣樟疆挨乱停彤没宋姆重蜘曝弗淀际豹欣颖唐叹慢省樱媚敞理恍绸湘拯赞菇踪桨佬犀呸谍猎滩畦偷倍薪梗葵洛理瘟备丝肿换卉揩婪辨蜡浴虹癣阅错熟咕供乃梅席甄瞻窄犬珍脊隅澈类