一阶线性微分方程.ppt

《一阶线性微分方程.ppt》由会员分享，可在线阅读，更多相关《一阶线性微分方程.ppt（27页珍藏版）》请在三一办公上搜索。

1、一阶线性微分方程 贝努利方程,第四节 一阶线性微分方程,一、一阶线性微分方程,一阶线性微分方程的标准形式:,称为一阶齐次线性方程.,称为一阶非齐次线性方程.,例如,非齐次,对应地一阶齐次线性方程的通解为,(1)使用分离变量法求对应地一阶齐次线性方程的通解,求一阶非齐次线性微分方程通解的步骤,一阶线性齐次方程,(使用分离变量法),(2)求一阶非齐次线性方程的通解,非齐次方程通解形式与对应地齐次方程通解相比:,常数变易法,把对应地齐次方程通解中的常数变易为待定函数的方法.,作变换,其中的 u 为 x 的待定函数.,假设一阶非齐次线性微分方程的解为,积分得,一阶非齐次线性微分方程的通解为:,对应齐次

2、方程通解,非齐次方程特解,注1 一阶非齐次线性微分方程通解的结构是由对应地齐次线性方程的通解与非齐次线性方程的一个特解相加而成的.这也是线性微分方程解的结构的一个性质.,注2 把对应地齐次线性方程通解中的任意常数 c 变易为待定函数 u(x),使其满足非齐次线性方程而求出的 u(x),从而得到非齐次线性方程通解的方法称为“常数变易法”是求解线性微分方程的一种常用的重要方法.,解,例,解 将方程改写为,分离变量,得,两端积分并整理,得齐方程的通解,故原方程的通解为,将 y与y代入方程,并整理,得,两端积分,得,用常数变易法求非齐次线性方程的通解,y=(ex+c)(x+1)2,求方程(sin2y+

3、xcoty)dy=dx 的通解及满足初始条件 y|x=1=/2 的特解.,解 将方程改写为,所以由非齐次线性方程的通解公式,得,练习,将初始条件 x=1,y=/2 代入上式,得 c=1,故满足初始条件的特解为,x=siny(1-cosy),是关于函数 x=x(y)的一阶线性方程！,解,变形为：,第一步:先求解齐次方程,对应齐次方程通解是,练习,第二步:用常数变异法解非齐次方程,假设非齐次方程的解为,代入方程并计算化简,积分得,通解,伯努利(Bernoulli)方程的标准形式,方程为线性微分方程.,方程为非线性微分方程.,解法:需经过变量代换化为线性微分方程.,具体做法如下：,二、贝努利方程,求出通解后，将 代入即得,代入上式,即,解,例,例 求方程 y=xy+x3y2 的通解.,解 将方程改写为,所以由非齐次线性方程的通解公式,得,练习,解,较难的例子,例 用适当的方程解下列微分方程:,解,所求通解为,解,分离变量法得,所求通解为,解,代入原式,分离变量法得,所求通解为,另解,4.设可微函数 f(x)满足,解 为了求 f(x)在等式两端同时求导,得,求 f(x).,这是关于未知函数 f(x)的一阶方程，且 f(2)=1,令 y=f(x)，得,所以由非齐次线性方程的通解公式,得,