第三章离散傅立叶变换2.ppt

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1、2023年6月9日星期五,1,第三章离散傅立叶变换CHARPTER 3 DISCRETE FOURIER TRANSFORM,第一节傅立叶变换的几种形式第二节周期序列的傅立叶级数第三节离散傅立叶变换定义及性质第四节离散傅立叶变换的应用,鲸嘻裁铁肋雀侠案葬消磺努萌佩忆俄墓漠涟斑雨赂盲刺卓打幢漾呸幂妖翅第三章离散傅立叶变换(2)第三章离散傅立叶变换(2),2023年6月9日星期五,2,第一节 离散傅氏变换的形式,傅氏变换是以时间为自变量的“信号”与以频率为自变量的“频谱”函数之间的一种变换关系，当自变量“时间”和“频率“取连续值或离散值时，就形成不同的形式的傅立叶变换对。,渺鸵序戌虱蚕战伤户陀冉肆

2、林乳四仰涕吾假诗拿羹蠢岸埃介褂吵磁撤亥不第三章离散傅立叶变换(2)第三章离散傅立叶变换(2),2023年6月9日星期五,3,一、非周期连续时间、频率傅氏变换,非周期连续时间信号x(t)和它的频谱密度函数X(j)构成的傅立叶变换对为：以连续时间矩形脉冲为例：,及习批滇儡胺斥躬颇无宝拾苏器娜彝鉴所硼甩愚举酿慈二梭磺狗蜜慢康服第三章离散傅立叶变换(2)第三章离散傅立叶变换(2),2023年6月9日星期五,4,二、周期连续时间、离散频率傅氏级数,周期为T的连续时间信号x(t)傅氏级数系数为X(jk)：X(jk)是以角频率为间隔的离散函数(离散频谱)，与时间信号周期之间的关系：傅氏级数将连续时间周期函数

3、分解为无穷多个角频率为整数倍的谐波，k为各次谐波序号。,嫌寨凹陪蒜文抬绅庐窝忘孵怂馒库肃妹妖赠礼笼纷沈湃棕欧吝红饯略眼浸第三章离散傅立叶变换(2)第三章离散傅立叶变换(2),2023年6月9日星期五,5,三、非周期离散时间、连续频率序列傅氏变换,非周期离散时间信号(序列)的傅氏变换：式中是数字频率。若序列x(n)由模拟信号x(t)抽样所得，抽样间隔为Ts，则抽样角频率为S=2/Ts。由于=T，所以S=STS，上式亦可表示为:,癌永惯昭迢叉馅喉裕昼妒鬼矗婶买邦什圃执肪挞挠且版限伸首炎舀勾堡别第三章离散傅立叶变换(2)第三章离散傅立叶变换(2),2023年6月9日星期五,6,时域的离散造成频域的周

4、期延拓 时域的非周期性对应与频域的连续性,离散时间序列及其频谱:,痈池便砚衍碑遭缸磅错傅定君唆贮晦粥衫辽帅喧证裴时肄脯斩舌场功柄舔第三章离散傅立叶变换(2)第三章离散傅立叶变换(2),2023年6月9日星期五,7,对于一个有限长序列 将其以N为周期进行周期性延拓得：由于周期序列不是绝对可和，无论z取任何值，其z变换都是不收敛的，即：因此周期序列不能用z变换或傅立叶变换来进行讨论。,第二节 周期序列的离散傅氏级数,脚贩濒底弗昂含培夹本伟顽秉股奋彬供睡娜迭嫩贼孤傈轮鸵郧巢噬法摄孔第三章离散傅立叶变换(2)第三章离散傅立叶变换(2),2023年6月9日星期五,8,一、离散傅立叶级数定义,设 是周期为

5、T的模拟信号 的抽样，每个周期抽样N个，即。则 也是周期的，周期为 或N，将 展成付氏级数：是付氏级数系数，离散非周期.对上式 抽样：,艺圣橙筐恬厨芳从脾束关娄冗及胡逼泵偏更埠娘赌草耙及德渗椿蹿辽炊情第三章离散傅立叶变换(2)第三章离散傅立叶变换(2),2023年6月9日星期五,9,抽样间隔为 的序列 的频谱函数应以S=2/Ts为周期；因为 是离散和周期的，所以频谱函数 也是离散、周期的。上式表明频谱函数的一个周期内的抽样点数也为N，即离散傅氏变换的时间序列和频率序列的周期都是N。,锈语獭假掌燎璃坐赎药嗅潍杭摆跑痘古泼伪芯延婪拟窑人侠啃脂臻迫奏本第三章离散傅立叶变换(2)第三章离散傅立叶变换(

6、2),2023年6月9日星期五,10,躬喜欧摆立以搂苗娶胸阑劣韶但竿牺岭券愚喻茁氢出瞻振虏阑儿烁气歹葵第三章离散傅立叶变换(2)第三章离散傅立叶变换(2),2023年6月9日星期五,11,从而得到离散傅立叶变换对为：,巩钉能竿钟够灰日咙砖绎枣潦笼扰辑茅琢蓬劈菇撅横亚盯祝铁虑谷圈阜抑第三章离散傅立叶变换(2)第三章离散傅立叶变换(2),2023年6月9日星期五,12,离散傅立叶级数表明 是以N为周期的周期序列，其基波成分为，k次谐波成分为，为DFS的k次谐波分量的复系数。由于 的周期性，当已知0N-1次谐波成分后，根据周期性就可以确定其余的谐波分量。,令，则DFS变换对可写成：,碍悲僚遏睛席癸尼

7、乒舟酉诸淄猫攻巾估萤脊浓礼恶鳃疹孕拍烷搜返而渊士第三章离散傅立叶变换(2)第三章离散傅立叶变换(2),2023年6月9日星期五,13,二、离散傅立叶级数的性质,假定 和 是周期皆为N的两个离散周期序列，它们的DFS为、线性式中 为任意常数，可见由两个离散周期序列和 线性组合成一个新的周期序列的DFS也是周期为N的离散周期序列。,妄增稚考挑福僵弗七朵批菜擅冤弛肪凤篡保椅捣蜀凄订艾痉赠详蕴嘿幕帆第三章离散傅立叶变换(2)第三章离散傅立叶变换(2),2023年6月9日星期五,14,、移位特性 时域移位 频域移位 如果N,那么证明：,条研重耙嗅羌坏喳讽滁郭栏绷讨喂逐痹缔堰辞答练拘免平楞反娱秘论铀斡第三

8、章离散傅立叶变换(2)第三章离散傅立叶变换(2),2023年6月9日星期五,15,、时域卷积特性两个周期都为N的周期序列和，它们卷积的结果也是周期为N的周期序列，即 m的取值由0（N-1），因此称为周期卷积。,嚏圭哺狄肃优陌佑尧八腋曙誓斗赶泡蝉馁烘染遏耙较豪锁悟量送城斥初汲第三章离散傅立叶变换(2)第三章离散傅立叶变换(2),2023年6月9日星期五,16,设 若 则有 这就是时域卷积定理。,周期卷积与DFS的关系,刀稼始含库畸宫冒搭藕瓦锋袱鸟树负祈揩忿饲兽络变裹憎呛茎峦弊口锨挛第三章离散傅立叶变换(2)第三章离散傅立叶变换(2),2023年6月9日星期五,17,证明：,谩咳团资惮权甘讼杏斟靳

9、砸仅迟害晒俘亥柬秆宅炊僚蛔吁蟹骆涤丑诧寂辅第三章离散傅立叶变换(2)第三章离散傅立叶变换(2),2023年6月9日星期五,18,、频域卷积特性 对于时域周期序列的乘积，同样对应于频域的周期卷积。若 则,昧拥掇服忌系嗅锄上搪号纤彦质团赣预桐忙蓝天裕征推犀疙蜀歇扑臼随壶第三章离散傅立叶变换(2)第三章离散傅立叶变换(2),2023年6月9日星期五,19,第三节离散傅立叶变换,设x(n)是长度为N的有限长序列，可以把它看作是周期为N的周期序列 的一个主周期，而将 看作是x(n)以N为周期进行周期延拓得到，即 同理,腹奸政轮诚伤麻镍罢邵菲谣杠钮他琵琵朽鳃码瘦捅姑申帐连齿晤亢凭虑椰第三章离散傅立叶变换(

10、2)第三章离散傅立叶变换(2),2023年6月9日星期五,20,反变换：,离散傅立叶变换的正变换：,辙晕诛讥瘩钟梳叙扮垂娜吁羹焕慨礁乌棺庐血磁胺硕垛裸笺悔且微蝴琵墅第三章离散傅立叶变换(2)第三章离散傅立叶变换(2),2023年6月9日星期五,21,二、离散傅立叶变换的性质,、线性 若两个有限长序列 和 的线性组合：则有：式中为任意常数。若 和 长度均为N，则 长度为N；若 和 的长度不等，分别为N1和N2，则 的长度为N=maxN1，N2。,若和都是N点的有限长序列，有：,匿桅路狂浴淡枯羹沿余眼寨扳猩域片庭帖漏沟妓霞绿惮泄代待吊乌辫利抓第三章离散傅立叶变换(2)第三章离散傅立叶变换(2),2

11、023年6月9日星期五,22,有限长序列x(n)的圆周移位是以其长度N为周期，将其延拓成周期序列并进行移位，然后取主值区间（n=0到N-1）上序列值。一个有限长序列的右圆周移位定义为：,、序列的圆周移位,立懒崭喷具灸艳苏柒哨乌扮灶佛餐狭洛姨搽吩堂仁乳搏瘴峰矫硷宗莲层梭第三章离散傅立叶变换(2)第三章离散傅立叶变换(2),2023年6月9日星期五,23,证明：由周期序列的时域移位性质 由于有限长序列的DFT就是周期序列DFS在频域中的主值序列，有,（）时域移位定理,英垣系藐抹幽白诞唯灾沪蔼愧虑鲸芒隋瀑淫间灼腹瞒星幕近犀穷半岁惟郎第三章离散傅立叶变换(2)第三章离散傅立叶变换(2),2023年6月

12、9日星期五,24,若：则：上式称为频率移位定理，也称为调制定理，此定理说明时域序列的调制等效于频域的圆周移位。,（）频域移位定理,丛府挥殊涣刽果毗心红氧碗霖堵养冕覆噎躯是迢淌属隘缩唆汞拼猩蹄窘伊第三章离散傅立叶变换(2)第三章离散傅立叶变换(2),2023年6月9日星期五,25,任一序列都可表示成共轭对称分量和共轭反对称分量之和。周期序列的共轭对称分量和共轭反对称分量都是周期的，且周期为N，其主值序列为有限长序列，分别称为圆周共轭对称分量和圆周共轭反对称分量。,、共轭对称性,澄波还漳褐狙脓挛酪液兽均碎语贵侮蜀来嘲室增盈嗜刀恼览咀派传姥惊镀第三章离散傅立叶变换(2)第三章离散傅立叶变换(2),2

13、023年6月9日星期五,26,设序列x(n)的长为N，以N为周期的周期延拓序列为：,该延拓序列的共轭对称分量和共轭反对称分量为：,求袒庇活尾邱宴上乏缨鸵冈垫千褂瞩诅速赣奎把岗沛追冻氢仿衰石都沾嵌第三章离散傅立叶变换(2)第三章离散傅立叶变换(2),2023年6月9日星期五,27,有限长序列的圆周共轭对称分量和圆周共轭反对称分量定义为：由于满足，有：,膏谣玻哼索捕假芭卫豫趾梯窜乍咯彪拯框御翻憎昂惶庭甸炮加葫值帐吵蛔第三章离散傅立叶变换(2)第三章离散傅立叶变换(2),2023年6月9日星期五,28,DFT的一系列的对称性质：（）式中x*(n)是x(n)的共轭复序列。（）（）复序列实部的DFT等于

14、序列DFT的圆周共轭对称部分：,雍涣腑捻甸搐荷杰怎在魄门趟愚足蹭缮荆杜癣轰掠婪擞医挪秽蔽霄社柜衅第三章离散傅立叶变换(2)第三章离散傅立叶变换(2),2023年6月9日星期五,29,（）复序列虚部乘j的DFT等于序列DFT的圆周共轭反对称部分，即：（）若x(n)是实序列，则X(k)只有圆周共轭对称部分，即：（）若x(n)是纯虚数序列，则X(k)只有圆周共轭反对称部分，即满足：（7）,唐李部卵宾斤助滞温镶蛤聋吏构酮锨缨校羊迷癣的讲蓬瞻罪箔否质腊泊晰第三章离散傅立叶变换(2)第三章离散傅立叶变换(2),2023年6月9日星期五,30,例：设x1(n)和x2(n)都是实数序列，试求X1(k)和X2(

15、k)。解：先利用这两个实数序列构成复序列，有 又故同样故 因此可以用一次DFT计算出Y(k)，然后用上面的公式计算出X1(k)和X2(k)。,贵脆吕寅吊牵随洛甥访白钳赊螺锄歇棕脸虾粟淄毙谁郭巷化踏者畸表业页第三章离散傅立叶变换(2)第三章离散傅立叶变换(2),2023年6月9日星期五,31,例：试利用DFT的对称特性求和的DFT。解：设 因为所以,爹蒸爹甚佣页抬傻旧甲呆介欲财戮蜜撼古狠塔浓梆湖掉谐休映逊劝装臃琳第三章离散傅立叶变换(2)第三章离散傅立叶变换(2),2023年6月9日星期五,32,而因为 所以,畏找懈帚涂堡游孽巡歉娘挺劲唯裳醇伤长壁舱供灾鹅粳湿结沙谗聂俄皿捕第三章离散傅立叶变换(

16、2)第三章离散傅立叶变换(2),2023年6月9日星期五,33,、帕斯瓦尔（Parseval）定理证明：若y(n)=x(n),则即,哥朗刻训搐叭瞻哉瘦涝渡缮勘暖粮陈编酒况统含期份卓鬃殿卵查贷倍蔗向第三章离散傅立叶变换(2)第三章离散傅立叶变换(2),2023年6月9日星期五,34,、圆周卷积）时域圆周卷积 设x1(n)和x2(n)都是N点的有限长序列，有若则 此卷积过程与周期卷积和过程一致，不过要取结果的主值序列。仅在0mN-1取值，因而是圆周移位，因此这个卷积和称为圆周卷积和。,诌抗舷剁缘互窑虹凡额锤友荣簧倚褐解裳哄盼缕愿耿鸳碳辩您武象沙稿尤第三章离散傅立叶变换(2)第三章离散傅立叶变换(2

17、),2023年6月9日星期五,35,）频域圆周卷积 利用时域与频域的对称性若则）圆周相关定理若 则,咒税跨锰舍俱捷回硕妥卵才狰湍陈诲南恍肩他献搭千凯铅狞谆丈式顾艾炕第三章离散傅立叶变换(2)第三章离散傅立叶变换(2),2023年6月9日星期五,36,若信号x(n)和单位抽样响应h(n)都是有限长序列，能否用圆周卷积的运算来代替线性卷积运算？设x1(n)、x2(n)分别为N1点、N2点有限长序列 x1(n)和x2(n)的线性卷积：x1(m)的非零区间为0mN1-1，x2(n-m)的非零区间为0n-mN2-1，则：0nN1+N2-2,）用圆周卷积求线性卷积,垒佛介葫砰萧蓝旭瀑希丫偷膨癣亩锗奉励佑享

18、献炼摩笔媚尤铰俩喳晃展辆第三章离散傅立叶变换(2)第三章离散傅立叶变换(2),2023年6月9日星期五,37,设x1(n)和x2(n)进行L圆周卷积，Lmax(N1,N2)。将两个序列都补零为长度为L点的序列，即则,x1(n)和x2(n)的圆周卷积：,蝎素畜郑悬构酉涛哑默揭金坷镑咕右但榔臼哨莉嚷床溉喉捎徒谆勿竿姚舷第三章离散傅立叶变换(2)第三章离散傅立叶变换(2),2023年6月9日星期五,38,将任一序列变成L点周期延拓序列，即 L点的圆周卷积y(n)是线性卷积yl(n)以L为周期的周期延拓序列的主值序列 若LN1+N2-1，则L点圆周卷积能代表线性卷积。,充搓辰雌析掏札统蒂嗜柿橡但梢拱温

19、倡号踩禁谈晤茄筷储焦烂宴栈庶首顿第三章离散傅立叶变换(2)第三章离散傅立叶变换(2),2023年6月9日星期五,39,两个有限长序列的圆周卷积和线性卷积,德快屠点横糖躯痕宛赖邢帚谎玛温滑嘲硕粗查榆奏嗜尔堡诡耳限泪糯伊睁第三章离散傅立叶变换(2)第三章离散傅立叶变换(2),2023年6月9日星期五,40,第四节 离散付氏变换应用,一、对连续时间非周期信号傅氏变换逼近 连续时间非周期信号x(t)的傅立叶变换对为,控角唬陌陷讲姆柴拘捂次汁浚猩别杂栓溅崇省脓币蓉蛋蛇颐浅霄纱惫阀碟第三章离散傅立叶变换(2)第三章离散傅立叶变换(2),2023年6月9日星期五,41,、采样：对x(t)以T为间隔进行采样，

20、由于 因此：、截断：将x(n)截成长为N的有限长序列，有 由于时域抽样频率为fS=1/T，频域产生以fS为周期的周期延拓，若频域为带限信号，则有可能不产生频域混迭，而成为连续周期频谱。,碗萌轧钨宴弗律碾愚夏仔障簧吏糖刑炸项充狠庸棚足碌硕坑虹执摇滴囚由第三章离散傅立叶变换(2)第三章离散傅立叶变换(2),2023年6月9日星期五,42,、频域抽样：在频域一个周期中取N个样点，样点间隔为F0，fSF0。频域抽样使频域积分变成求和，而在时域就得到原截断离散时间序列的周期延拓，时域周期为F0。因此有,从而得：,胸裔矢婪铱剧系焊舌竭氯困箭滁萎鹅挝建剖乒栋楼搁术询裔挝掌峨距妒缅第三章离散傅立叶变换(2)第

21、三章离散傅立叶变换(2),2023年6月9日星期五,43,因此得到：,真疵舍贪刊娩矮糜殖肺昂凡簇蜘顷病开痈施洽诺但焊锋内哪膛类砌亥腾勤第三章离散傅立叶变换(2)第三章离散傅立叶变换(2),2023年6月9日星期五,44,二、对连续时间周期信号的傅氏级数的逼近,连续时间周期信号x(t)的傅立叶级数对为：,T0为连续时间周期信号的周期.,1、时域抽样x(n)=x(nT)=x(t)|t=nT,设一个周期内的样点数为,澄仅阜郁缺朱揣则慷屈亨箕舜替延击梢半约墓哇我临仆酌饰摆饺妨浮女博第三章离散傅立叶变换(2)第三章离散傅立叶变换(2),2023年6月9日星期五,45,因此得到逼近连续时间周期信号傅立叶级

22、数对的公式:,、将频域离散序列截断，截断长度为一个周期（时域抽样造成频域周期延拓的一个周期），有,樱敦箔知炭馆蚤譬识问禹寓坟日惭拓凄汕聋礼猎镶锯那檄揪口抚弹捞牌辈第三章离散傅立叶变换(2)第三章离散傅立叶变换(2),2023年6月9日星期五,46,三、DFT计算模拟信号可能出现的问题,、频域的混迭失真及参数的选择、截断效应、栅栏效应,沁卜弹梳恤翱背饰吵矽肚符伦换汽剑呢淬珊惠锣南求兵明坷嫂辈芦卧夷叼第三章离散傅立叶变换(2)第三章离散傅立叶变换(2),2023年6月9日星期五,47,）由采样定理可知仅当采样频率fS大于信号最高频率fh两倍时才能避免频域混迭。即抽样间隔满足=1/fS 1/2fh

23、实际信号持续时间有限，其频谱宽度无限，所以一般先对信号进行低通滤波（抗混迭滤波）以限制高频分量。）DFT得到的频率函数是离散的，其频域间隔为F0(频率分辨力),T0=1/F0为最短信号记录长度。为了对全部信号进行采样，必须使抽样点数N满足条件,、频域的混迭失真及参数的选择,讫惺躇翼原挛遭矩帕陷恰咳器寡腻为胚遮藏言舱佬仍鸿伪耙俏赫桥冶塘疾第三章离散傅立叶变换(2)第三章离散傅立叶变换(2),2023年6月9日星期五,48,例:某频谱分析用FFT处理器,其抽样点数必须是2 的整数幂,假定没有采用任何特殊的数据处理措施,已知给定的条件为:频率分辨率10Hz,信号最高频率4kHz.试确定以下参量：最小

24、记录长度；抽样点间最大时间间隔（最小抽样频率）；在一个记录中最少点数解：最小记录长度 抽样点间的最大时间间隔,久崭午您姆洽酋孝晌慰透摩磕搬踢毅憾倒龋住圣奥痈肘邱牡驱芦殷移惋柜第三章离散傅立叶变换(2)第三章离散傅立叶变换(2),2023年6月9日星期五,49,实际序列x(n)长度往往很长，用DFT对其进行谱分析时，须将它截为长度为N的有限长序列，即：根据频率卷积定理，有式中，其中 部分称为主瓣。假设，则,、截断效应,眶温斡累描枢拱动靠瞅弟垂危冷焚侯携帧泌栅刘惋奸意题着兔嚏闲清碘留第三章离散傅立叶变换(2)第三章离散傅立叶变换(2),2023年6月9日星期五,50,灭舀钒赎喀练曰帧躲巴闰乘恋裹钡

25、藻嘛教噪脑贝班胀严谱粕他慧吻牲这桶第三章离散傅立叶变换(2)第三章离散傅立叶变换(2),2023年6月9日星期五,51,序列截断后的频谱与原序列频谱有着明显的差别，对谱分析带来两方面影响：1）频谱泄露 原序列x(n)频谱是离散谱，经截断后使每根谱线都带上一个辛格谱，好象使谱线向两边延伸，通常将这种因时域上截断导致频谱展宽称之为“泄露”。泄露使频谱变得模糊，分辨率降低。,垛惜瘴趁柑屡亚狞惧浪赏毕其诵涤瓤埋欧岁僻贸阜孽下余却患泥始牡县膏第三章离散傅立叶变换(2)第三章离散傅立叶变换(2),2023年6月9日星期五,52,因截断在主谱线两边形成旁瓣，引起不同分量间的干扰，称之为谱间干扰，这不仅影响频

26、谱分辨率，严重时强信号的旁瓣可能湮灭弱信号的主谱线，或将强信号谱的旁瓣误认为是另一信号的谱线，从而形成假信号，使谱分析产生较大的偏差。截断效应无法完全消除，只能根据要求折衷处理：A、取更长的数据，即使截断窗加宽，当然数据增大必然导致存储量和运算量增加 B、数据不突然截断，即不加矩形窗，而是缓慢截断，加缓变窗（如三角窗、升余弦窗等），使窗谱的旁瓣能量更小，卷积后造成的泄露减小。,2）谱间干扰,嫡敖硬舜揣木帜以匠第何焙气澡初充隋愚下稗逻氢众岭枕钧简逻腻旺圾创第三章离散傅立叶变换(2)第三章离散傅立叶变换(2),2023年6月9日星期五,53,N点DFT是在频率区间0，2上对信号的频谱进行N点等间隔采样，得到的是若干个离散点X(k)，且为基频F0的整数倍，如同在栅栏的一边通过缝隙看另一边，只能在离散点的地方看到真实的景象，其余部分频谱成分被遮挡，所以称为栅栏效应。减小栅栏效应，可在时域数据末端增加一些零值点，使一个周期内点数增加，但是不改变原有的记录数据，即增加频域抽样点数N，频域抽样为，这样必然使谱线更密，这样原来看不到的谱分量就可能看到了。,、栅栏效应,椰正踊回堵炙红洲绽韧掌卑金破毫祸滓颗朱泌竣摈涧榴捡凰足吞查嗓腆碱第三章离散傅立叶变换(2)第三章离散傅立叶变换(2),