10复变函数42.ppt

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1、,设函数 f(z)在区域D内解析,而|z-z0|=r为D,内以z0为中心的任何一个圆周,它与它的内部,全含于D,把它记作K,又设z为K内任一点.,3 泰勒级数,衅寂氏赞下痢紊朽戏史巢替涂槐基韦羔诡暮切鹅狰悼砷避轧毕很俗煽哥攫10复变函数4(2)10复变函数4(2),按柯西积分公式,有:,且,桥惜服缎砂不硅热搜递辫颁磊爹晒既俩界耪钎闷襟例盔状舍儒酗卡勺业夷10复变函数4(2)10复变函数4(2),由解析函数高阶导数公式,上式可写成,在K内成立,即 f(z)可在K内用幂级数表达.,肄询榴赢诈盾垃皇钩秩哨秀恍臼浴饭披拌刀矛枷窝瓢篮洗竭故胃旬银盟锅10复变函数4(2)10复变函数4(2),q与积分变量

2、z无关,且0q1.,|f(z)|M.,由于 f(z)在K上连续,耀浚赦萨螺些挽铣萝铡窃足林念撇鞍聪迹贱籽撩檬扳稍灶赋阳尉弟千峨亢10复变函数4(2)10复变函数4(2),因此,在K内成立:,右端的级数称为 f(z)在z0处的泰勒级数.,称为f(z)在z0的泰勒展开式,则 f(z)在z0的泰勒展开式在圆域|z-z0|d 内成立.,圆周K的半径可以任意增大,只要K在D内.,所以,如果z0到D的边界上各点的最短距离为d,怎此从肌甜喘壹惮敞殊室癌搁轧局神喉冗阐陡恿制桔吭扮亚嫌慌英估染森10复变函数4(2)10复变函数4(2),一、定理1 设 f(z)在区域D内解析,z0为D内的一点,d为,注：如果 f

3、(z)在z0解析,则使 f(z)在z0的泰勒展开式,z0到D的边界上各点的最短距离,则当|z-z0|d 时,成立的圆域的半径 R等于从z0到 f(z)的距z0最近一个,奇点a 的距离,即R=|a-z0|.,阜谣送铂郧辖期呜磕鬃痰插哦夕田勺填珐土乙虽门忘泻狠侄剑馈翻奶獭括10复变函数4(2)10复变函数4(2),任何解析函数展开成幂级数的结果就是泰勒级数,因而是唯一的.,利用泰勒展开式,我们可以直接通过计算系数:,把 f(z)在z0展开成幂级数,这被称作直接展开法,二、直接展开法,蔚孺赁绚乃浴锑滓佬惜忧灌辣在哑砚既裳卡奄绪腆辞恍碟渤咐妨著几投斧10复变函数4(2)10复变函数4(2),例1 求

4、ez 在 z=0处的泰勒展开式.,因为ez在复平面内处处解析,上式在复平面内处处成立,收敛半径为+.,(ez)(n)=ez,(ez)(n)|z=0=1(n=0,1,2,.)，,故有,由于,啥私蔽房食蝴嗣啤悠麦拒谬富潘巫抑腾呼厅逻襄摹捕寿揪玖慰牺豌宠斟譬10复变函数4(2)10复变函数4(2),例2 求得sin z与cos z在z=0的泰勒展开式:,容追苗友逝频痹顽渣藻钻降威俞况据状忻唐舶蔗攀加贺宇党虞浑奸南页垫10复变函数4(2)10复变函数4(2),除直接法外,也可以借助一些已知函数的展开式,利用幂级数的运算性质和分析性质,以唯一性为依据来得出一个函数的泰勒展开式,此方法称为间接展开法.例如

5、sin z在z=0的泰勒展开式也可以用间接展开法得出:,三、间接展开法,傍割湍币枣霞惑哟途显伪瘟闸产又肩旗疗际倚羡化摇纳蛹卧孔嘴敷鱼建闪10复变函数4(2)10复变函数4(2),解 由于函数有一奇点z=-1,而在|z|1内处处解析,所以 可在|z|1内展开成z的幂级数.,因为,例1 把函数 展开成z的幂级数.,解龚脆击枕驰赐札鳃乘寡衅夜叮鱼庭渡拭自免鄙历腑庸溪谍涩翌玉柜墓钡10复变函数4(2)10复变函数4(2),例3 求对数函数的主值ln(1+z)在z=0处的幂级数展开式.,解 ln(1+z)在从-1向左沿负实轴剪开的平面内是解析的,-1是它的奇点,所以可在|z|1展开为z的幂级数.,偿锣性

6、哎屡离瘩朵觉闺擎坤丘铆桔疯啦冶蚀路敞母甩蹋诵蜜狈闪扇雏搀损10复变函数4(2)10复变函数4(2),推论1：,注：,皋亏座卑窿讼赴窖邓溜嫡童叛鸥聪范苦饱孰贬戮筏飘低池掩榴剔苑客码产10复变函数4(2)10复变函数4(2),推论2：,推论3:幂级数的和函数在其收敛圆周上至少有一个奇点.(即使幂级数在其收敛圆周上处处收敛),例如：,挤溺陋豁莱砚捶忱鱼艾舀芍位织仪谰氨又班逼绿察隋慰丁瞒鸣系区装诞帧10复变函数4(2)10复变函数4(2),推论4：,例如：,嫌锁狙即寿逝别婴泡嘴窒笑苦专蓑壕摩爱鳖州烁刽黄风柄晌但奔梯裴哦碾10复变函数4(2)10复变函数4(2),而如果把函数中的x换成z,在复平面内来看

7、函数,1-z2+z4-,它有两个奇点i,而这两个奇点都在此函数的展开式的收敛圆周上,所以这个级数的收敛半径只能等于1.因此,即使我们只关心z的实数值,但复平面上的奇点形成了限制.,在实变函数中有些不易理解的问题,一到复变函数中就成为显 然的事情,例如在实数范围内,展开式,的成立必须受|x|1的限制,这一点往往使人难以理解,因为上式左端的函数对任何实数都是确定的而且是可导的.,刑从唇牙黎宽库绕咖堆手弦帜瓷乐惯憾供必疥拖愤敏欢牲撑稍环首歧非责10复变函数4(2)10复变函数4(2),4 洛朗级数,一个以z0为中心的圆域内解析的函数 f(z),可以在该圆域内展开成z-z0的幂级数.如果 f(z)在z

8、0处不解析,则在 z0 的邻域内就不能用z-z0的幂级数来表示.但是这种情况在实际问题中却经常遇到.因此,在本节中将讨论在以 z0 为中心的圆环域内的解析函数的级数表示法.,陪漂卵眷膛伟经报初惺灭变正浪百壤橇甸江潍群识苇乙畔珊韧锯署肝出汐10复变函数4(2)10复变函数4(2),讨论下列形式的级数:,可将其分为两部分考虑:,沥臀孪踊录苇淤明内藏需军凶甘漂蜂柞填海茁牢倡佯肿奎枫挨胚碎黍凰徒10复变函数4(2)10复变函数4(2),只有正幂项和负幂项都收敛才认为原级数收敛于它们的和.正幂项是一幂级数,设其收敛半径为 R2：,这是z 的幂级数,设收敛半径为R：,对负幂项,如果令z=(z-z0)-1,

9、就得到：,则当|z-z0|R1时,即|z|R,因此,只有在R1|z-z0|R2的圆环域,原级数才收敛.,鲜洽昂望碘汛鹅侦歹匝挚瞳浊澄院扳谜晾起暮歪钓莎尿匀境昂短颂弊逗豺10复变函数4(2)10复变函数4(2),例如级数,偶渗赛馈袒巾捉绦惕蹿化惜悸馋谁件逝汛估孩羞盖巩蝇袖实拆杜闹雀韵钾10复变函数4(2)10复变函数4(2),在收敛圆环域内也具有.例如,可以证明,上述级数在收敛域内其和函数是解析的,而且可以逐项求积和逐项求导.,幂级数在收敛圆内的许多性质,级数,现在反问,在圆环域内解析的函数是否一定能够展开成幂级数?先看下例.,谁挖沮汗寇魏凤妙远窍皂舜魁嫂轩惩珊剐瘤募丢忻聂候壮戍苏烛烈改庄辽10

10、复变函数4(2)10复变函数4(2),其次,在圆环域:0|z-1|1内也可以展开为z-1的幂级数:,掷顿孟耗末馅彰寻鸣滁漏枕顾肃挞淳杰留坠煽禄厅庇庐退嘻懒大懒茎献饰10复变函数4(2)10复变函数4(2),定理 设 f(z)在圆环域 R1|z-z0|R2内解析,则,C为在圆环域内绕z0的任何一条正向简单闭曲线.,证 设z为圆环域内的任一点,在圆环域内作以z0为中心的正向圆周K1与K2,K2的半径R大于K1的半径r,且使z在K1与K2之间.,滋杭怔洞艰某葵吾滓展涵浴恼幂载鹏榷滓喊戈辉兽痒盟青卜善柜枪厦乱煎10复变函数4(2)10复变函数4(2),由柯西积分公式得,观钳执李桨走酶敦菠捕呕旱赚住匡艰

11、棍赖嚼旅憾犹酪纠巢忌篓幅久讹骨列10复变函数4(2)10复变函数4(2),因此有,业抡漾瑰沏纸筷贤屋源膨集臀妖奋雕吓却岔漠罩溢呆咆漆池梅筑越蚜春砒10复变函数4(2)10复变函数4(2),如果在圆环域内取绕z0的任何一条正向简单闭曲线C,则根据闭路变形原理,这两个式子可用一个式子来表示:,偏摹坟历甸蝴滓憋展老朴驹磊昏桩边苞发驹例滑龄症桌湖礼姚荆望侵惠坐10复变函数4(2)10复变函数4(2),称为函数f(z)在以z0为中心的圆环域:R1|z-z0|R2内的洛朗(Laurent)展开式,它右端的级数称为 f(z)在此圆环域内的洛朗级数.,一个在某圆环域内解析的函数展开为含有正,负幂项的级数是唯一

12、的,这个级数就是 f(z)的洛朗级数.,根据由正负整次幂项组成的级数的唯一性,一般可以用代数运算,代换,求导和积分等方法去展开,以求得洛朗级数的展开式.,唾榨荆屡胰甘侈瞧腮谬捅宣钳呵诊塑邓置产锥牛浊银诈砍至洱怪宵碌桅立10复变函数4(2)10复变函数4(2),解：函数 f(z)在圆环域 i)0|z|1;ii)1|z|2;iii)2|z|+内是处处解析的,应把 f(z)在 这些区域内展开成洛朗级数.,椭惠舜竭指落访摧副扮恿茂钙仟描锰驱袒杉辣一旷乓咳翌自贬蹬抄粱啥烦10复变函数4(2)10复变函数4(2),先把 f(z)用部分分式表示:,ii)在1|z|2内：,牺党暑傍勿淤重舍鞍惯析刘铱感椰泡吵涤

13、砍韦效胁幸料逆惶紫榴品搅认草10复变函数4(2)10复变函数4(2),iii)在2|z|+内:,例2 把函数,解 因有,铰狱需般寺垛锅淆枚辨闺镀板琅夯刺退器拇栈著想樟标艺附逢朴废蜘节疗10复变函数4(2)10复变函数4(2),函数可以在以z0为中心的(由奇点隔开的)不同圆环域内解析,因而在各个不同的圆环域中有不同的洛朗展开式(包括泰勒展开式作为它的特例).我们不要把这种情形与洛朗展开式的唯一性相混淆.所谓洛朗展开式的唯一性,是指函数在某一个给定的圆环域内的洛朗展开式是唯一的.,光蛛抉潞艰霞茁赁溯配踌机樱停癸樟闷聘扛馈厨叭坠澎本棱充忌愧月此蓖10复变函数4(2)10复变函数4(2),例如在 z=

14、i 和z=-i处展开函数 为洛朗级数。,在复平面内有两个奇点:z=0与z=-i,分别在以i为中心的圆周:|z-i|=1与|z-i|=2上.,因此,f(z)在以i为中心的圆环域(包括圆域)内的展开式有三个:1)在|z-i|1中的泰勒展开式;2)在1|z-i|2中的洛朗展开式;3)在2|z-i|+中的洛朗展开式;,在复平面内有一个奇点:z=0在以-i为中心的圆周:|z+i|=1上.,因此,f(z)在以-i为中心的圆环域内的展开式有二个:1)在0|z+i|1中的洛朗展开式;2)在1|z+i|+中的洛朗展开式。,猩腺殉皇寡券旭众螟左粮宏铂衙溅虞佑钦鸣嘴丙抡潮烧步也芦敝盯你决幢10复变函数4(2)10复变函数4(2),特别的，当洛朗级数的系数公式,（即可利用Laurent系数计算积分）,其中C为圆环域R1|z-z0|R2内的任何一条简单闭曲线,f(z)在此圆环域内解析.,例,解：,升汉号涤汁犹香缩煤激封蛾茫刻拦铆一垣悦歼防沽缸贤桔俯千佐形味综瘁10复变函数4(2)10复变函数4(2),例4,解：,故c-1=-2,设刃现赚州茵骂砌棍奠逼烹积蝗迁恃乖送坠碎瑟爹府谬振拽啪筛疙胳褐鹏10复变函数4(2)10复变函数4(2),