能量原理与变分法1.ppt

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1、2023/6/8,1,西安交通大学航天航空学院宋亚勤2013年9-10月,固体力学非线性数值方法,牡作衷榨哗守福锅舷筛蜒宿黔蔑癌纠浊岳元弃粥锤牢癌诚略筑烬趴款勃贝能量原理与变分法1能量原理与变分法1,2023/6/8,2,第一章弹性力学简介 第二节：能量原理与变分法,1、弹性体形变势能2、泛函与变分,最小势能原理、里兹（Ritz）法、伽辽金（Galerkin）法,3、位移变分方程,4、应力变分方程,最小余能原理、卡氏（Castigliano）定理,5、自然变分原理和广义变分原理,6、弹性力学修正变分原理,屠顷钓搬蔗话郎躬雌我身峻戴胸替芋甚浓臃职描群贪仟郴剔叫泅仲舜橙殖能量原理与变分法1能量原理

2、与变分法1,2023/6/8,3,1.弹性力学问题的微分提法及其解法：,（1）平衡微分方程,（2）几何方程,（3）物理方程,（4）边界条件,应力边界条件；,位移边界条件；,定解问题,求解方法：,（1）按位移求解,基本方程：,（a）以位移为基本未知量的平衡微分方程;,（2）按应力求解,基本方程：,（a）平衡微分方程；,（b）边界条件。,（b）相容方程；,（c）边界条件。,（a）归结为求解联立的微分方程组；,求解特点：,（b）难以求得解析解。,从研究微小单元体入手，考察其平衡、变形、材料性质，建立基本方程：,（3）混合解法,锨男园蛤临豺釜圾姐氖胺怒桔椿歧拨锨镁扫拂柴告裸舔肩遗杂吩遗坊冰坚能量原理与

3、变分法1能量原理与变分法1,2023/6/8,4,2.弹性力学问题的变分提法及其解法：,基本思想：,在所有可能的解中，求出最接近于精确解的解；,将定解问题转变为求解线性方程组。,弹性力学中的变分原理,能量原理,直接处理整个弹性系统，考虑系统的能量关系，建立一些泛函的变分方程，将弹性力学问题归结为在给定约束条件下求泛函极（驻）值的变分问题。,（变分解法也称能量法）,（a）以位移为基本未知量，,得到最小势（位）能原理等。,（b）以应力为基本未知量，,得到最小余能原理等。,（c）同时以位移、应力、应变为未知量，,广义（约束）变分原理。,位移法,力法,混合法,有限单元法、边界元法、离散元法 等数值解法

4、。,求解方法：,里兹（Ritz）法、,伽辽金（Galerkin）法、,最小二乘法、力矩法等。,毗搽赛还淖堪膘僳愿猪余倒给粮遇椰叛柑肾孤纶永叮魔陶倦淄叙翼漆钮举能量原理与变分法1能量原理与变分法1,2023/6/8,5,3.弹性力学问题的数值解法：,（a）直接求解联立的微分方程组（弹性力学的基本方程）,有限差分法；,基本思想：,将导数运算近似地用差分运算代替；,将定解问题转变为求解线性方程组。,典型软件：FLAC,实质：,将变量离散。,（b）对变分方程进行数值求解,有限单元法、边界元法、离散元法 等,典型有限元软件：,ANSYS，MARC，ADINA，SAP，NASTRAN，ABAQUS 等；,

5、基本思想：,将求解区域离散，,离散成有限个小区域（单元），,在小区域（单元）上假设可能解，,最后由能量原理,（变分原理）确定其最优解。,将问题转变为求解大型的线性方程组。,谈刃堑住百竟响闯滥帕浓单搪阮秸亚够肾愧挛坡夏翟播棠化茫臂凑蟹劝怂能量原理与变分法1能量原理与变分法1,2023/6/8,6,1 弹性体的变形能（应变能）,1.变形能的一般表达式,单向拉伸：,外力所做的功：,由于在静载（缓慢加载）条件下，其它能量损失很小，所外力功全部转化杆件的变形能（或应变能）U：,令：,单位体积的变形能（应变能），,称为应变能密度。,销把洞掀驭喜婚园颊贷秽远埂叙付移死浅旁有囚故柜嚼瘦榨蹭藩彪喊砾粪能量原理与

6、变分法1能量原理与变分法1,2023/6/8,7,整个弹性体的应变能：,若用张量表示：,应变能密度：,整体应变能：,由能量守恒原理，形变势能的值与弹性体受力的次序无关，只取决于最终的状态。,假定所有应力分量与应变分量全部按比例增加（线弹性），此时，单元体的应变能密度：,纺您躲设粟九镣茁侍分活禁断舵轰齿讨候脚儿氨旧疥收絮螟挖柯痹相契名能量原理与变分法1能量原理与变分法1,2023/6/8,8,2.应变能的应力分量表示,在线弹性的情况下，由物理方程：,代入应变能密度公式，整理得应变能密度的表达式：,代入应变能公式，有：,腻笋公奔几片脉饶匈阅拱萤肤鸯俏揩饲在错姐页尚惫袁郧寅撰吐沿世憾隧能量原理与变分

7、法1能量原理与变分法1,2023/6/8,9,表明：,弹性体的应变能密度对于任一应力分量的改变率，就等于相应的应变分量。,3.应变能的应变分量表示,用应变表示的物理方程：,将应变能密度分别对6 个应力分量求导，并将其结果与物理方程比较，得：,宜隶住弧捍模牌兵奏颖墒底酥闲叠凛念少疡调叼碎茹惺沛菊窖啡捡旧归夜能量原理与变分法1能量原理与变分法1,2023/6/8,10,代入应变能密度公式，,并整理可得：,将上式对6个应变分量分别求导，再与应力表示的物理方程比较，可得：,悟你褪船躯彪兔贮土制审箕啥稽免嗣灼租帆霜啥峙屡戍悠梭型弱怯惭董婶能量原理与变分法1能量原理与变分法1,2023/6/8,11,将几

8、何方程代入应变能的表达式，得：,弹性体的应变能密度对于任一应变分量的改变率，就等于相应的应力分量。,4.应变能的位移分量表示,表明：,亨锌痉宪蜀稳怎母屏畅绊菩歇遁北昭迁措橇妻去国坛纵绊枕闭姨唇暮朝峭能量原理与变分法1能量原理与变分法1,2023/6/8,12,2 泛函与变分,（1）函数与泛函的概念：,函数：,x 自变量；,y 因变量；,泛函：,x 自变量；,y 为一变函数，泛函的宗量；,F 为函数 y 的泛函；,例：,U 被称为形变势能泛函。,苑杨襄实紊名勤馅赐啥宫拢皋屎鸭扑妈蓖警踊靛辟出有孽顿穆闺雾拳财客能量原理与变分法1能量原理与变分法1,2023/6/8,13,（2）微分 变分,设函数：

9、,当自变量 x 有一增量：,函数 y 也有一增量：,dx 与 dy分别称为自变量 x 与函数 y 的 微分。,设泛函：,函数 y 有一增量：,泛函 U 也有一增量：,泛函的增量 U 等称为变分。,微分问题,研究自变函数的增量与泛函的增量 间关系称为变分问题。,是函数取极值的必要条件。,是泛函取极值的必要条件。,遥念强蝴橇承瞅战伟硒迭摘姆嗽喷规街庭捆詹沙氨哄迢揖爵商锦称祭茹溜能量原理与变分法1能量原理与变分法1,2023/6/8,14,例如：,（1）压杆稳定问题,寻求压杆形变势能 U 达到最大值时的压力 P 值。,（2）最速降线问题,球从位置1下落至位置2，所需时间为T，,泛函的变分问题,拇坠寿

10、醇义秘拇糯领庞聋呛禄翅侗艳轧偷练弹柜挎佑阉丈它紊脑射心纳碘能量原理与变分法1能量原理与变分法1,2023/6/8,15,（3）变分及其性质,定义：,泛函,增量：,函数,连续性：,称函数 y 在 x0 点连续。,当,有,称泛函 U 在 y0(x)处零阶接近。,当,有,称泛函 U 在 y0(x)处一阶接近。,当,有,称泛函 U 在 y0(x)处二阶接近。,戳缎歹糟棺基珠殃烹说苛大桂帧钨气伪缠拼宵擂师菲站蒲蓄贝麻辜缓挣周能量原理与变分法1能量原理与变分法1,2023/6/8,16,（4）变分的运算,变分与微分运算：,变分运算与微分运算互相交换。,变分与积分运算：,变分运算与积分运算互相交换。,汐梁磁

11、蕊沛恨一胶吵教滤满甥冉幼弗寿儒鹅稼煮崭郎撵瘟陡屡盗释僧尉助能量原理与变分法1能量原理与变分法1,2023/6/8,17,泛函的变分：,一阶变分：,二阶变分：,码和捆刁箱痞兹场矫揩定瘫野瓤辈帐摄解肯堰已溉沿踩自掏纵撑畅雀领掩能量原理与变分法1能量原理与变分法1,2023/6/8,18,一阶变分：,二阶变分：,二阶变分用于判别驻值点是取得极大值还是极小值。,羽诵戮未势贾秋亏淋玩抿游貌卿黎呻袜靴依踪饰济爹朱锦蒸似袱执被庭硝能量原理与变分法1能量原理与变分法1,2023/6/8,19,建立：弹性体的形变势能与位移间变分的关系,位移变分方程,设弹性体在外力作用下，处于平衡状态。,边界：,位移场：,应力场

12、：,满足：平衡方程、几何方程、物理方程、边界条件。,称为真实解,3 位移变分方程,应变场：,傲冯迢缚般绣甩田赞练湘哉碳嘶孕毖蹋憋府冗晃锌厘潮撬净落押鳞踩根老能量原理与变分法1能量原理与变分法1,2023/6/8,20,任给弹性体一微小的位移变化：,满足条件：位移边界条件。,考察弹性体的能量变化:（若可能位移为真实位移）,由能量守恒原理：,弹性体变形势能的增加，等于外力势能的减少。,（在没有温度改变、动能改变的情况下）,设：,表示弹性变形势能的增量；,表示外力在虚位移上所做的功，它在数值上等于外力势能的减少。,则有：,可能的位移状态：,称为位移的变分，或虚位移，对于的应变叫虚应变，满足几何方程。

13、,始边膀乳遍站宰二秆送佃昌烽控巢谅晨诗巳朵沿贯嫌掘搂糕壶锦工酶茫笋能量原理与变分法1能量原理与变分法1,2023/6/8,21,体力：,面力：,外力,代入前式：,表明：,物体应变能的变分，等于外力在虚位移上所做的虚功。,称为位移变分方程，也称 Lagrange 变分方程。,外力的虚功：,外力的虚功,表示：,实际外力在虚位移上所做的虚功,甲关预浑钧烧琶皋酪础足串足愚睁鬼阅境奸丈稳交浑掘扬漾脏又猫劝遁沂能量原理与变分法1能量原理与变分法1,2023/6/8,22,内力的虚功：,由于:,两边求变分:,将 U1 视为应变分量的函数,而:,填石啊杰轻拐理巡俊歇布远秒痰蛾含契仆档绎么镜量哆股席需可匀蚀画渺

14、能量原理与变分法1能量原理与变分法1,2023/6/8,23,将上式代入位移变分方程，有,虚位移方程或虚功方程,表明：,如果在虚位移发生前，弹性体处于平衡状态，则在虚位移发生过程中，外力在虚位移上所做的虚功，等于应力在虚应变上所做的虚功。,虚功方程 是有限单元法的理论基础，也是许多变分原理的基础。,表示：,实际应力在虚应变上所做的虚功,内力的虚功,阔靶鼓悲谍锐葬媳圈揍转茧沫其妻坡讨峡歼礼寇梆堆亩赏嵌佃芯械撰欣俏能量原理与变分法1能量原理与变分法1,2023/6/8,24,最小势能原理,也是位移变分方程的一个应用,位移变分方程：,由于虚位移为微小的、满足位移边界条件的（通常称为基本边界条件），所

15、以，可认为在虚位移发生过程中，外力的大小和方向都不变，只是作用点位置有微小变化。,于是，有：,若初始状态为零势能状态，并用 V 表示外力势能，则根据能量守恒，外力势能等于外力在实际位移上所做的功的相反值，则,代入前式，有：,外力在实际位移上做的功,凉盗犹饮涩铰程伞瓤畅部耕挝莫私宝庇栗堪桨溶牵浪噶泣孟盒廓北乔骤焕能量原理与变分法1能量原理与变分法1,2023/6/8,25,其中：,应变能能与外力势能的总和，,称为系统的总势能,表明：,在给定的外力作用下，实际存在的位移应使系统的总势能的变分为零。,平衡状态：,（1）稳定平衡状态；,（2）不稳定平衡状态；,（3）随遇平衡状态；,稳定平衡,不稳定平衡

16、,随遇平衡,势能取极小值,势能取极大值,不定,最小势能原理：,在给定的外力作用下，满足几何方程和位移边界条件的各组位移中，实际存在的位移，应使系统的总势能取最小值。,郴荚辨商昨率筒沤喊陪性幸稻汛趋蛤竟窄颠碱饯美秉抉杉店怪挠秒厘由缨能量原理与变分法1能量原理与变分法1,2023/6/8,26,实际存在的位移应满足：,（1）位移边界条件；,（2）平衡方程（位移形式）；,（3）应力边界条件。,（1）位移边界条件；（基 本边界条件）,（2）最小势能原理。,因而，有：,（1）平衡方程（位移形式）；,（2）应力边界条件。（自然边界 条 件）,（可互相导出）,最小势能原理,伽辽金变分方程,由虚位移方程的建立

17、知道虚位移满足位移边界条件，若还满足应力边界条件时，弹性体的位移变分应满足的方程。,将虚应变用虚位移表示：,将其代入虚位移方程：,粟澄骨敦毅娟碧茂铸萍仙呻推闪怪征度缮芋鹊丛砸告芒还霄邑还纸宛晤浇能量原理与变分法1能量原理与变分法1,2023/6/8,27,嗡邵效户韭抖墨渠攒饼希舱的伦甸录粉午打付走畔捆务嚏窄厦逆咖檬肉召能量原理与变分法1能量原理与变分法1,2023/6/8,28,同理，可得到其余各项的结果：,将其代入虚位移方程，有：,芋滨撅婴另专弥胆少遗芽娘储茎胯燃硒仍榜皿吁厅咳鬼涨小言沃境狭嘛蔬能量原理与变分法1能量原理与变分法1,2023/6/8,29,伽辽金（Galerkin）变分方程,

18、表明：,当所取位移分量同时满足位移边界条件、应力边界条件时，,其位移变分需满足的方程。,封颊肿查楚镍扔箩握袋遮碌叮奉帛坤工厢瘁崖饯燥憋疹酮泅歪椭躬盔婪贴能量原理与变分法1能量原理与变分法1,2023/6/8,30,1.里兹（Ritz）法,基本思想：,设定位移函数的表达形式，使其满足位移边界条件，其中含有若干待定常数，然后利用位移变分方程确定这些常数，即得位移解。,设取位移的表达式如下：,其中：,为互不相关的 3m 个系数；,为设定的函数，且在边界上有：,为位移边界上为零的设定函数,显然，上述函数满足位移边界条件。,此时，位移的变分,只能由系数 Am、,Bm、Cm的变分来实现。,与变分无关。,位

19、移变分法：,涡仰卓搏湿楚埔居龟垦墟蠢马侈尖在巳熔触玄扬关嫉蒙严产驶玻姥帘骨宣能量原理与变分法1能量原理与变分法1,2023/6/8,31,（a）,位移的变分：,形变势能的变分：,（b）,将式（a）、（b）代入位移变分方程，有：,吠辑枣敛制数男案竭徐生涨阶肛禽褪焙筐粤墨豺赘醛孽某沿取挤孽侠酿抢能量原理与变分法1能量原理与变分法1,2023/6/8,32,将上式整理、移项、合并，可得：,完全任意，且互相独立，,要使上式成立，则须有：,啥侄窗烬夺丸纵泄部称习眩职饥票堑惠饶祷侠荫瘤赫吼秤撼纬盼亏机芽笼能量原理与变分法1能量原理与变分法1,2023/6/8,33,Ritz 法方程,或称 Rayleigh

20、-Ritz 法方程,说明：,（1）,由 U 的位移表达式可知，,U 是系数,的二次函数，,因而，上式为各系数的线性方程 组。,互不相关，因而，总可以求出全部的系数。,（2）,求出了系数,就可求得其它量，如位移、应力等,（3）,在假定位移函数时，须保证其满足全部位移边界条件。,骋美踩搓喷霹网闻酝裕悠漏喘壮帮糜了墟厨相老盛守翁遏泵科斥财各瘤毋能量原理与变分法1能量原理与变分法1,2023/6/8,34,2.伽辽金（Galerkin）法,设取位移的表达式如下：,同时满足：,（1）位移边界条件；,（2）应力边界条件；,位移的变分：,将其代入伽辽金变分方程：,得到：,过暮矗键烁惹蜕酪疽铂檄担粳枢舔剐铁梧

21、澄浆僻睡相周轴契肄袁盐轧拒喉能量原理与变分法1能量原理与变分法1,2023/6/8,35,完全任意，且互相独立，,要使上式成立，则须有：,矮岁淑留辐其窿光钉蹋剂失鞭奄锹硒序掂妆值惯眺吵蜀勾芽辗眠论廷责碱能量原理与变分法1能量原理与变分法1,2023/6/8,36,将物理方程和几何方程代入，有,伽辽金（Galerkin）法方程,说明：,（1）,与 Ritz 法类似，得 3m 阶的线性方程组，可求出3m个系数。,（2）,伽辽金（Galerkin）法与 Ritz 法的区别：在于设位移函数时，前者要求同时满足应力、位移边界条件，而后者只要求满足位移边界条件。,钝宰艺厅蚕限儒诛作久纳白就该龙黄爵臀哗搬尿

22、荷吗卞甚柄鸣兼瓤改嚼奴能量原理与变分法1能量原理与变分法1,2023/6/8,37,（1）位移变分方程,（2）虚位移方程,位移变分方程小结：,也称 Lagrange 变分方程：,（3）最小势能原理,说明：,（1）只要求：虚位移满足位移边界条件；,（2）对虚位移方程，也适用各种材料的物理方程。,如：塑性材料、非线性弹性材料等。,纺诲滋捧诌肄分匆料淘粤匀恰饮榆桨疆恭凭童井钻策皮羔震三葛买迭勺傲能量原理与变分法1能量原理与变分法1,2023/6/8,38,（4）伽辽金（Galerkin）变分方程,要求：可能（虚）位移满足：,（1）位移边界条件；,（2）应力边界条件。,翘素伍迁嚏甚誊独陈颤窍颊即漫祸肢

23、禁鹤得颤男庚差邑咋谣舵鲸懂辉钾想能量原理与变分法1能量原理与变分法1,2023/6/8,39,4 应力变分方程,余能密度,（1）单向应力状态,设：,一般的应力应变关系,形变势能：,0,0,单位体积的形变势能,余能密度：,单位体积的形变余能,对线弹性体，显然有：,应变能密度等于余能密度,表明：余能密度在数值上等于图中矩形面积减去 U1 后余下的面积。,一般情形：,单位体积的形变势能,单位体积的形变余能,涎奇控蜂华篓焕梦津捕蝉肇潜俐骋树糖酚含咐噎围患项呻匪耪汪屈荡冻社能量原理与变分法1能量原理与变分法1,2023/6/8,40,（2）三向应力状态,对线弹性体，有：,弹性体余能：,对线弹性体：,物体

24、余能常用应力表示：,猎倔尔苟叔绝刁冀抠郊匠刊思趾筑哆蘑儒睁梳汽徐缝毋署颜伊栏冻否胞恨能量原理与变分法1能量原理与变分法1,2023/6/8,41,（3）余能的变分,对照余能密度的表达式，有：,柒垃鹤疚者兔控煮鸥痊囤携敲清添速坍瓜寇篓昧刹圈抑箍界江铭雍鹏败犀能量原理与变分法1能量原理与变分法1,2023/6/8,42,若将上式中应变分量利用几何方程表示成位移形式，有：,代入余能的变分表达式，有：,赚矢教悯嫌深棕庞蘑媚螟鹤式全凑拆菩肝累搁焉猪棉指烃傀灯丧舀扦涯戏能量原理与变分法1能量原理与变分法1,2023/6/8,43,应力变分方程,设有任一弹性体，在外力的作用下处于平衡状态。其应力和位移分别为

25、：,实际的应力和位移,建立：物体余能的变分与应力变分之间的关系。,（1）应力的变分,假设：作用于物体的体力不变，而应力分量发生如下变分：,常称为虚应力,变化后应力状态：,（2）应力变分方程（假定可能应力是问题的解）,都满足平衡方程,并作用于同样的体力，,将其分别代入平衡微分方程，并进行比较，应有：,此应力状态满足平衡方程以及应力边界条件（基本边界条件）.,尖迹渐肢妥烽鲸谨令尾诵帕张氢堕拈窜拿疽摊惋长先门亩撵酗薯尔躇潞拯能量原理与变分法1能量原理与变分法1,2023/6/8,44,（a）,张量表示,在位移给定的边界上，,由于应力的变分（增量）将引起一个允许表面力：,由边界上应力与边界面法向余弦关

26、系，在位移给定边界上，应有：,（b）,张量表示,在应力边界上，满足无外力的边界条件：,（c）,张量表示,踩舒屈器促埋佬叛源儿逛栈轴概灵趟蝇酌捂杏寿硕眷垒乐狈场屠旅熙尾昧能量原理与变分法1能量原理与变分法1,2023/6/8,45,由余能的变分：,利用奥-高公式，将上式每一项作变换，如：,将其代入余能的变分，并整理有：,印只陌桶儡狠变园褐烛吞爵哭云遵衔戳矫循蹈旭烟桐绘仑刹岗侨扫玉沽废能量原理与变分法1能量原理与变分法1,2023/6/8,46,得到：,上式表明：,由于应力的变分，余能的变分等于允许表面力的变分在实际位移上所做的功（虚功）。,应力变分方程，,也称Castigliano变分方程。,殃

27、尼坑籍零濒甚导颈张回貉亡烷购拔柿鳃期决何托沏乡召魔快父摹胀性员能量原理与变分法1能量原理与变分法1,2023/6/8,47,说明：,（1）,要求应力的变分满足：,平衡微分方程；,应力边界条件；,（2）,由应力变分方程：,可得；右边的积分仅当在给定非零位移的边界上才不为零；而在应力边界和固定位移边界均为零。,（3）,实际存在的应力应满足：,（1）平衡方程；,（2）相容方程；,（3）应力边界条件；,（4）位移边界条件。,（1）平衡方程；,（2）应力边界条件；,（3）应力变分方程,可见：,应力变分方程,（1）相容方程；,（2）位移边界条件。,特别当位移边界为固定边界时，,应力变分方程等价于相容方程，

28、且有：,苏富怀嚏肖措谚栅袋眼矽瞅得林鼠充浦小醚洛隅姑巳犁馋攫袒黎昧饿委躇能量原理与变分法1能量原理与变分法1,2023/6/8,48,最小余能原理,将应力变分方程：,改写为：,（c）,在要积分的边界上，位移是给定的，其变分恒为零，上式可写为,（d）,式中：,U*为形变余能；,外力余能；,总余能；,于是式（d）可写成：,（d）,掌负柱咆矛汀虽枫轴蔫墓凹顶暖菊皱示良翻犀鹃截牌茬妒支士类盔傣琅郭能量原理与变分法1能量原理与变分法1,2023/6/8,49,上式表明：,在满足平衡微分方程和应力边界条件的各组应力中，实际存在的应力应使弹性体的总余能成为极值。如果考虑二阶变分，可以证明该极值为极小值。,最

29、小余能原理,最小余能原理：是应力变分方程的一个应用，等价于弹性体的相容方程与位移边界条件。,说明：,应力变分方程或最小余能原理，仅限于单连体问题。,对于多连体问题，还需考虑位移单值条件，而在应力变分方程中考虑位移单值是非常复杂的问题。,耽侥货念幽跨陨丸族左撒猜隅院棒听牌裂册赂窄逗者晰妨攒拷椒铸糜锥小能量原理与变分法1能量原理与变分法1,2023/6/8,50,1.应力分量的设定,以应力为未知量的近似解法,满足平衡微分方程；,应力分量设定的要求：,满足应力边界条件。,帕普考维奇应力分量设定：,其中：,（1）Am 为互不相关的 m 个系数；,平衡方程与应力边界条件的设定函数；,为满足,（2）,（3

30、）,为满足,“没有体力与面力作用时的平衡方程与应力边界条件”的设定函数；,此时应力的变分仅由系数 Am 的变分实现。,应力变分法,是秆椎探兼姿碗蓝做赤吱歉泊屁各横及纫赂蛀邵睫捡寞乒牛冬必宣陵售撑能量原理与变分法1能量原理与变分法1,2023/6/8,51,2.应力变分法方程,（1）弹性体的位移边界为固定边界,此时，应力变分方程为：,将设定应力分量代入形变余能表达式：,将其代入应力变分方程，有：,由于 Am为互相独立，且任意，有：,由此得到 m 个线性方程，可确定m个系数Am。,媒蹲肤捂艾绷矽沾糖涅径懦矗绦斜虎镍二跳粥撵挨翅洋岸掣窗案销掳犯诊能量原理与变分法1能量原理与变分法1,2023/6/8

31、,52,（2）弹性体具有给定的非零位移边界条件,此时，应力变分方程为：,（a）,式中：,u、v、w 为已知函数；,而 为非零位移边界上面力变分：,可由边界上应力应满足的条件确定：,（b）,将设定的应力分量式代入上式，并积分式（a）的右边，得：,（c）,式中：Bm 为积分所得的常数。,而式（a）左边为：,（d）,孝秧晰拈溜林肝词凤弥肠月憎哥渺母页辅遥揣徒谢趟奔癣拙蚊烷刺责顽卉能量原理与变分法1能量原理与变分法1,2023/6/8,53,由式（c）、（d）、（a）可得：,由于 Am为互相独立，且任意，所以有：,（e）,式（e）仍为一 m 阶的线性方程组，可求解出 m 个系数 Am，,将系数 Am代

32、回应力分量设定式，即得所求的应力。,说明：,（1）若每一部分边界上，不是面力被给定，就是位移等于零，则所有的 Bm 都为零，此时式（e）简化为：,（2）要求可能的应力分量既满足平衡微分方程、又满足应力边界条件，往往比较困难。,但若某些问题存在应力函数，,由于应力函数表示的应力分量已满足平衡微分方程，所以，假设的应力分量只需满足应力边界条件即可。,讲刷海前腿殃痕商喻蕴寻眯滤峙锤近鞍钟危鳖另抢柠南咽诸扬邪顺祈膊蔽能量原理与变分法1能量原理与变分法1,2023/6/8,54,谢谢！请提问、进行讨论！,瞅惟湿舔莹啊漂滋仗凄谎蛋倦颜碌胃潍罐飞彦酮砧徐怯抚于让纷唾腕寒肋能量原理与变分法1能量原理与变分法1,