多元积分new.ppt

《多元积分new.ppt》由会员分享，可在线阅读，更多相关《多元积分new.ppt（134页珍藏版）》请在三一办公上搜索。

1、,（按积分区域分类）,定积分,二重积分,三重积分,D,曲线积分,曲面积分,一型：对弧长,二型：对坐标,一型：对面积,二型：对坐标,Stokes 公式,高斯公式,格林公式,多元函数积分学概况,推 广,推 广,推 广,推 广,多元数量值函数积分,计算机科学学院：李苹2003年5月,一.问 题 的 提 出,二.多元数量值函数积分的概念,特点：平顶.,柱体体积=？,特点：曲顶.,曲顶柱体,求曲顶柱体的体积,一、问题的提出,D,S,S:z=f(x,y),元素法,1 任意分割区域 D,化整为零,2 以平代曲,2.曲顶柱体的体积,i,D,S:z=f(x,y),3 积零为整,2 以平代曲,元素法,1 任意分割

2、区域 D,化整为零,2.曲顶柱体的体积,.,i,D,S:z=f(x,y),3 积零为整,4 取极限,令分法无限变细,i,2 以平代曲,元素法,1 任意分割区域 D,化整为零,2.曲顶柱体的体积,.,V=,D,S:z=f(x,y),3 积零为整,4 取极限,令分法无限变细,2 以平代曲,元素法,1 任意分割区域 D,化整为零,2.曲顶柱体的体积,.,V=,S:z=f(x,y),3 积零为整,4 取极限,令分法无限变细,V,2 以平代曲,元素法,1 任意分割区域 D,化整为零,.,2.曲顶柱体的体积,.,V=,D,S,S:z=f(x,y),分割,任意分割区域 D,化整为零,近似 以平代曲,i,的细

3、杆，通过分割、近似、求和、取,极限的步骤，求出其质量，且用定积分表示为：,在一元函数的定积分中知道：一线密度为,2.求不均匀物体的质量？,（1）求平面薄片的质量,小块质量近似,看作均匀薄片，每,薄片总质量,任取一小块，将其近似,将薄片任意分为n个小块,分割,近似,取极限,d为这n个小块中直径最大者,在D上连续,在点,其面积仍记为,求和,（2）空间物体的质量,设有一空间物体分布在有界闭区域V上，其体密度,近似,小体积 的质量的近似值,为 且 在V上连续.,分割 将V,为这 个 区,求和,取极限,则整个物体质量的近似值为：,大直径，则物体的总质量为：,分割,求和,取极限,近似,将L任意分为 n 小

4、段，设分点依次为,间 长 应,则,（3）物体的质量分布在一条空间曲线 L 上,线密度为：,连续,（4）物体的质量分布在一块曲面S上,分割,近似,求和,取极限,设其面密度为,点M在S上，,且在S上连续.,二.多元数量值函数积分的概念,定义 设函数f(M)在几何形体 上有界，任给 一个,分割，将 分为可以度量的子块,其度量仍记为,令 d 为这 n 个小块的最大直径，如果 d0 时,作和式,上述和式的极限存在，则称函数f(M)在 上可积分，,此极限值称为 f(M)在几何形体 上的积分。记为：,称为被积函数；,称为被积表达式；,称为微元（素）.,2.当被积函数 f(M)1 时，,注:1.当f(M)为几

5、何形体 的密度函数时，其质量,3.可证明，若 为可度量的，,则f(M)在 上一定可积，以后总假定f(M)在 上是可积的。,在直角坐标系下用平行于,面积元素为,在D上的积分则称为二重积分，,坐标轴的直线网来划分区域D.,设几何形体 是一平面区域D，,三、不同几何形体上积分的表达式与名称,记为：,就称为三重积分.,记为,如果几何形体 是一空间闭区域V，那么在V上的积分,在直角坐标系中，如果用于平行于坐标面的平面来划分,则体积元素：,上的积分就称为第一类曲线积分或对弧长的曲线积分.,记为：,如果L是闭曲线，常记为：,设几何形体 为一条平面或空间曲线L，那么在L,为第一类曲面积分或对面积的曲面积分.,

6、如果S是闭曲面，常记为,那么在S上的积分就称,设几何形体 为一曲面S，,小 结,二重积分,第一类曲面积分,三重积分,第一类曲线积分,为平面区域,为空间区域,为平面曲线,为空间曲线,为空间曲面,四、积分的性质以下性质的证明与定积分的证明完全类似.性质1 函数的和（或差）的积分等于各个函数 积分的和（或差），即性质2 被积函数的常数因子可以提到积分号外面，即,性质3 闭区域 分成两个闭区域，且 与 无公 共内点，则性质4 如果在 上满足，则特别，由于可得到不等式,性质5（估值定理）设 分别是 在几何形体 上 的最小值和最大值，则（的度量）（的度量）性质6（积分中值定理）设 在闭几何形体 上连续，则

7、存在，使得（的度量）这些性质的证明与定积分的证明完全类似，就不再重复。,4.二重积分的计算(D是矩形区域),y,a,b,c,d,D,D是矩形区域 a,b;c,d,z=f(x,y),y,a,b,c,d,D,D是矩形区域 a,b;c,d,z=f(x,y),问题：Q(y)是什么图形？,Q(y)=,是曲边梯形。,.,4.二重积分的计算(D是矩形区域),.,I,y,a,b,c,d,D,.,Q(y)=,I,同理，也可以先对 y 积分,.,.,z=f(x,y),D是矩形区域 a,b;c,d,4.二重积分的计算(D是矩形区域),c,d,D,z=f(x,y),x=(y),x=(y),y,D:(y)x(y)c y

8、 d,5.二重积分的计算（D是曲线梯形区域）,c,d,D,z=f(x,y),x=(y),x=(y),.,y,问题：Q(y)是什么图形？,D:(y)x(y)c y d,也是曲边梯形!,.,Q(y)=,I=,5.二重积分的计算（D是曲线梯形区域）,.,x=(y),y,c,d,D,.,D:(y)x(y)c y d,.,Q(y)=,I=,z=f(x,y),x=(y),5.二重积分的计算（D是曲线梯形区域）,D:x1(y)x x2(y)c y d,I=,x2(y),x1(y),c,d,y,6.二重积分计算的两种积分顺序,D,c,d,y,D,x2(y),x1(y),I=,6.二重积分计算的两种积分顺序,.

9、,D:x1(y)x x2(y)c y d,c,d,y,D,D:y1(x)y y2(x)a x b,I=,a,b,y1(x),y2(x),D,x2(y),x1(y),x,I=,6.二重积分计算的两种积分顺序,.,D:x1(y)x x2(y)c y d,c,d,y,D,I=,a,b,y1(x),y2(x),D,x2(y),x1(y),x,6.二重积分计算的两种积分顺序,.,I=,D:x1(y)x x2(y)c y d,D:y1(x)y y2(x)a x b,c,d,y,D,I=,a,b,y1(x),y2(x),D,x2(y),x1(y),x,6.二重积分计算的两种积分顺序,.,I=,D:x1(y)

10、x x2(y)c y d,D:y1(x)y y2(x)a x b,1,1,3,y=x,x=y 2,D,.,.,.,7.计算,1,1,y=x2,D,2 先对 y 积分（从下到上）,1 画出区域 D 图形,3 先对 x 积分（从左到右）,.,.,.,y=x,.,.,.,8.用两种顺序计算,a,b,1,D1,（定积分三角代换）,.,.,瓦里斯公式,9.,=,D:x+y=1,x y=1，x=0 所围,1,1,1,先对 y 积分,.,y=1 x,y=x 1,.,10.将二重积分化成二次积分,D:x+y=1,x y=1，x=0 所围,1,1,1,先对 y 积分,.,先对 x 积分,D1,D2,.,x=1

11、y,x=y+1,（不分块儿行吗？）,10.将二重积分化成二次积分,.,D:由四条直线:x=3，x=5,3x 2y+4=0,3x 2y+1=0 共同围成的区域,3,5,5,8,3x 2y+4=0,3x 2y+1=0,D,.,D1,D2,D3,先对y积分,先对x积分,.,.,（需分块）,.,.,（需分块）,11.将二重积分化成二次积分,D:,.,.,1,1,y=x,y=x2,.,12.将二重积分换序,D:,.,.,a,a,.,.,.,.,x=y,13.将二重积分换序,一 先对x积分,.,.,.,.,14.(练习)将二重积分化成二次积分,二 先对 y 积分,y,y,x,o,a,b,y,x,o,a,b

12、,D,D,D,.,.,.,.,14.(练习)将二重积分化成二次积分,.,15.为什么引用极坐标计算二重积分,2,1,D,D1,D2,D3,D4,D:,.,怎么计算？,需使用极坐标系！,此题用直角系算麻烦,必须把D分块儿!,极坐标系下的面积元素,将,变换到极坐标系,0,D,用坐标线:=常数；r=常数 分割区域 D,i,ri,ri+1,.,.,.,.,.,.,16.利用极坐标计算二重积分,i,i,i+i,I=,ri,r,.,.,17.怎样利用极坐标计算二重积分(1),极点不在区域 D 的内部,0,A,B,F,E,D,D:,r,r,17.怎样利用极坐标计算二重积分(1),0,A,B,F,E,D,D:

13、,.,极点不在区域 D 的内部,r,17.怎样利用极坐标计算二重积分(1),0,A,B,F,E,D,D:,.,步骤：1 从D的图形找出 r,上、下限；2 化被积函数为极坐标形式；3 面积元素dxdy化为rdrd,.,极点不在区域 D 的内部,r,极点位于区域 D 的内部,0,D,r,D:,18.怎样利用极坐标计算二重积分(2),r,D:,D,0,18.怎样利用极坐标计算二重积分(2),.,极点位于区域 D 的内部,r,D:,.,D,0,步骤：1 从D的图形找出 r,上、下限；2 化被积函数为极坐标形式；3 面积元素dxdy化为rdrd,18.怎样利用极坐标计算二重积分(2),.,极点位于区域

14、D 的内部,r,2a,.,.,解,19.,.,此题用直角系算麻烦，需使用极坐标系！,2,1,D,D:,变换到极坐标系,.,.,20.,计算,D:=1和=2 围成,2R,区域边界：,x=0,.,即 r=2Rsin,r=2Rsin,21.,.,1,2,y=x,D,.,.,.,22.,4,r=4 cos,r=8 cos,8,D,1,2,23.,计算,y=2x,x=y,0,y,x,r=8 cos,D,4,8,.,r=4 cos,2,1,23.,.,计算,I=,2a,2a,24.将积分换序,a,D:,解,0 x 2a,D1,D2,D3,.,.,.,.,.,.,还有别的方法吗？,2a,2a,a,D:,解,

15、0 x 2a,D1,D2,.,.,.,.,24.将积分换序,.,注：这种方法要求 f(x,y)在D2上有定义以至连续,25.将积分化为极坐标形式,r=R,y=R x,D1,D2,.,.,R,D,.,.,.,arctanR,.,I=,I=,二重积分的定义,二重积分的性质,二重积分的几何意义,（曲顶柱体的体积）,（和式的极限）,五、小结,二重积分的计算,a,b,c,d,z=g,z=e,N,M,P,=a,b;c,d;e,g,I=,积分区域是长方体,.,.,D,同理，也有其它 积分顺序,1.计算三重积分,z2(x,y),为图示曲顶柱体,I=,P,N,M,.,.,积分区域是曲顶柱体,D,z1(x,y),

16、2.计算三重积分,z2(x,y),I=,D,积分区域是曲顶柱体,为图示曲顶柱体,这就化为一个定积分和一个二重积分的运算,z1(x,y),2.计算三重积分,.,：平面 x=0,y=0,z=0，x+2y+z=1 所围成的区域,先画图,1,1,Dxy,Dxy:,x=0,y=0,x+2y=1 围成,z=0,1,.,.,.,3.计算三重积分,x+2y+z=1,Dxy,I=,：平面y=0,z=0，3x+y=6,3x+2y=12 和 x+y+z=6所围成的区域,6,2,4,1 找出上顶、下底及投影区域2 画出投影区域图,Dxy:,y=0,3x+y=6,3x+2y=12 围成,z=0,不画立体图做三重积分,D

17、xy,.,.,4.,6,6,6,x+y+z=6,3x+y=6,2,.,4.,：平面y=0,z=0，3x+y=6,3x+2y=12 和 x+y+z=6所围成的区域,6,6,6,x+y+z=6,3x+y=6,2,.,4.,：平面y=0,z=0，3x+y=6,3x+2y=12 和 x+y+z=6所围成的区域,3x+y=6,3x+2y=12,x+y+z=6,.,4.,6,6,6,4,2,：平面y=0,z=0，3x+y=6,3x+2y=12 和 x+y+z=6所围成的区域,3x+y=6,3x+2y=12,x+y+z=6,.,4.,6,6,6,4,2,：平面y=0,z=0，3x+y=6,3x+2y=12

18、和 x+y+z=6所围成的区域,4,2,x+y+z=6,.,4.,6,6,6,：平面y=0,z=0，3x+y=6,3x+2y=12 和 x+y+z=6所围成的区域,4,2,.,6,6,6,：平面y=0,z=0，3x+y=6,3x+2y=12 和 x+y+z=6所围成的区域,4.,.,D,6,2,4,D,.,1 找出上顶、下底及投影区域2 画出投影区域图,不画立体图做三重积分,Dxy:,z=0,。,。,Dxy,当 f(x,y,z)=ycos(z+x),I=?,。,5.,I=,试计算：,？,y2=x,.,5.,y2=x,.,5.,。,。,y2=x,.,5.,D,Dxy:,z=0,1,1,。,。,D

19、xy,6.,双曲抛物面,1,x+y=1,1,z=xy,.,6.,1,x+y=1,1,z=xy,.,6.,1,1,x+y=1,。,。,z=xy,.,6.,Dxy:,z=0,4,4,。,。,Dxy,7.,1,4,x+y=4,.,7.,1,4,x+y=4,1,.,7.,取第一卦限部分,4,x+y=4,.,D,.,.,7.,o,1,8.,y,.,8.,2,4,.,y,4,.,.,Dxy,.,8.,y,Dxy:,z=0,4,2,。,。,1,-2,Dxy,8.,=,c1,c2,z,Dz,9.计算三重积分的另一思路（对有的问题适用）,先做二重积分，后做定积分,c1,c2,.,先做二重积分，后做定积分,9.计

20、算三重积分的另一思路（对有的问题适用）,c1,c2,I=,.,先做二重积分，后做定积分,9.计算三重积分的另一思路（对有的问题适用）,c1,c2,9.计算三重积分的另一思路（对有的问题适用）,.,先做二重积分，后做定积分,I=,b,c,10.例 计算,a,D0,Dz,.,.,b,c,.,=,.,10.例 计算,D0,a,.,z,M(r,z),z,r,N,x,y,z,(x,y,z),(r,z),11.柱面坐标,z=z,.,.,z,动点M(r,z),柱面S,r=常数：,平面,z=常数：,M,r,S,z,12.柱面坐标的坐标面,动点M(r,z),半平面P,柱面S,=常数:,r=常数：,平面,z=常数

21、：,z,M,r,S,P,12.柱面坐标的坐标面,.,dr,r,rd,d,z,元素区域由六个坐标面围成：,半平面及+d;半径为r及 r+dr的园柱面；平面 z及 z+dz；,13.柱面坐标下的体积元素,dr,r,rd,d,z,底面积：r drd,元素区域由六个坐标面围成：,半平面及+d;半径为r及 r+dr的园柱面；平面 z及 z+dz；,dz,13.柱面坐标下的体积元素,.,dr,r,rd,d,z,底面积：r drd,元素区域由六个坐标面围成：,半平面及+d;半径为r及 r+dr的园柱面；平面 z及 z+dz；,dz,dV=,.,13.柱面坐标下的体积元素,.,dV,1,.,Dxy:,z=0,

22、用哪种坐标？,.,柱面坐标,Dxy,14.计算,I=,1,1,Dxy,.,Dxy:,z=1,锥面化为:,r=z,1,.,用哪种坐标？,柱面坐标,15.,.,.,M(r,),r,N,y,x,z,.,.,.,16.球面坐标,S,r,M,r=常数:,=常数:,球面S,动点M(r,),17.球面坐标的坐标面,17.球面坐标的坐标面,C,r=常数:,=常数:,S,球面S,半平面P,动点M(r,),M,P,=常数:,锥面C,.,r,dr,d,rsin,圆锥面,rd,球面r,圆锥面+d,球面r+d r,元素区域由六个坐标面围成：,d,rsind,18.球面坐标下的体积元素,半平面 及+d；半径为r及r+dr

23、的球面；圆锥面及+d,r,dr,d,x,z,y,0,d,rd,元素区域由六个坐标面围成：,rsind,18.球面坐标下的体积元素,.,半平面 及+d；半径为r及r+dr的球面；圆锥面及+d,r 2,sin drdd,sin drdd,r 2,rcos),dV,dV=,r,R,对r:从0R积分,得半径,任取球体内一点,19.,M,r,R,对:从0 积分，,.,19.,对r:从0R积分,得半径,任取球体内一点,R,对:从0 积分，扫遍球体,.,19.,得锥面,对r:从0R积分,得半径,任取球体内一点,对:从0 积分，,R,.,I=V,当 f=1,.,19.,对r:从0R积分,得半径,任取球体内一点

24、,得锥面,对:从0 积分，,对:从0 积分，扫遍球体,球系下确定积分限练习,1 为全球体,2 为空心球体,3 为上半球体,4 为右半球体,5 为球体的第一、二卦限部分,.,.,.,.,.,.,19.,a,化为球系下的方程,r=2a cos,.,M,.,r,20.,Dxy:,。,。,z=0,a,b,Dxy,。,直角坐标,用哪种坐标？,21.,a,o,b,cz=xy,.,21.,a,cz=xy,b,.,21.,o,a,o,x,y,.,cz=xy,b,.,21.,Dxy:,。,。,a,Dxy,联立,柱面坐标,。,用哪种坐标？,22.,2a,a,.,L,联立,柱面坐标,2a,22.,.,.,L,D,.,.,.,联立,柱面坐标,a,2a,22.,.,a,b,23.,b,a,问题：,2 要不要分块？,3 怎么分块？,把图形放大一些,把图形放大一些,1 用哪种坐标？,（球系）,23.,.,23.,b,a,联立,r=2a cos,r=b,交线 L,交线 L处,.,.,23.,b,a,.,.,.,.,.,.,x,z,y,.,.,23.,b,a,.,.,.,I=I1+I2,.,I2=,2,The End,Thank you for your attention.,