第一章函数与极限.ppt
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1、第一章 函 数 与 极 限,第一节 映射与函数,一、基本概念,1.集合:,具有某种特定性质的事物的全体.,组成这个集合的事物称为该集合的元素.,或,数集分类:,N-自然数集,Z-整数集,Q-有理数集,R-实数集,关系:,例如,不含任何元素的集合称为空集.,例如,规定,空集为任何集合的子集.,集合的运算,设,是两个集合,定义,的并集,的交集,的差集,的直积或笛卡儿乘积,例如,即:,面上的全体点的集合,即:整个,平面,通常记,研究某个问题一般是限定在一个大的集合中进行的,这个大的集合称为全集,记为,设,称,为集合,的余集或补集,记为,即,例如,,则,2.区间:,是指介于某两个实数之间的全体实数.这
2、两个实数叫做区间的端点.,有限区间,无限区间,3.邻域:,记为,,即,(,),4.常量与变量:,在某过程中数值保持不变的量称为常量,注意,常量与变量是相对于“过程”而言的.,通常用字母 a,b,c,a,b,ca等表示常量;,而数值变化的量称为变量.,常量与变量的表示方法:,用字母 x,y,z,t,u,v 等表示变量.,5.绝对值:,性质:,绝对值不等式:,二、映射,1.映射的概念,定义,设,是两个非空集合,如果存在一个法则,使得对于,中每个元素,按法则,在,中,有唯一确定的元素,与之对应,则称,为,从,到,的映射,记为,称为元素,(在映射,下),的像,并记为,即,元素,称为元素,(在映射,下)
3、,的一个原像.,集合,称为映射,的定义域,记为,即,中所有元素的像所组成的集合称为映射,的值域,记为,即,注意:,(1)构成映射的三要素:,集合,即定义域,集合,值域,对应法则,对每个,有唯一确定的,与它对应,(2),对每个,元素,的像,是唯一的.,但是,对每个,元素,的原像,却不一定是唯一的.,例1,设,对每个,显然,是映射.,它的定义域,它的值域,对于值域,中的元素,若,则其原像不唯一.,例如:,的原像是:,两个,例2,设,对每个,有唯一确定的,与它对应.,显然,是映射.,它的定义域,它的值域,-1,1,例3,设,对每个,按定义,是映射.,它的定义域,它的值域,定义,设,是从集合,到集合,
4、的映射,若,则称,为满射(或到上的).,若对,中任意两个不同元素,它们的像,则称,为单射.,若映射,既是单射,又是满射,则称,为一一映射,(或双射),例1中,不是,单射,不是满射,例2中,不是,单射,是满射,例3中,是,单射,是满射,是,一一映射,2.逆映射与复合映射,设,是从集合,到集合,的单射,则根据定义,对每个,有唯一的,满足,这样,我们就得到一个新的映射,对每个,有唯一的,满足,的,与它对应,我们称这个映射,为,映射,的逆映射,记为,显然,其定义域,其 值域,按上述定义,可知:,只有单射才有逆映射,因此,在例1,例2,例3中,只有例3的,有逆映射,对每个,有唯一的满足,的,与它对应.,
5、(反正弦函数),其定义域,其值域,设有两个映射,且,即,这样,对于每个,即,这是一个从,到,的映射,我们称它为映射,构成的复合映射,记为,即,注意,(1),映射,能构成复合映射的条件是:,否则,,不能构成复合映射.,例如:,映射,对每个,映射,对每个,不能构成复合映射.,(2),映射,的复合是有顺序的,即一般地有:,例4,映射,对每个,映射,对每个,显然,映射,构成复合映射,:,对每个,三.函数,1.函数的概念,定义,设数集,则称映射,为定义在,上的函数,记为,称为自变量,称为因变量,称为定义域,记为,即,称这个值,为函数,在,处的函数值,记为,即,函数值,的全体所构成的集合称为函数,的值域,
6、,记为,,即,注意,与,的区别,对应法则,函数在,处的函数值,习惯上,也用,或,来表示定义在,上的函数。,对应法则,也可用,等表示,函数可记为,有时,也直接用因变量的记号来表示函数,,将,是,的函数,记为,构成函数的二要素:,(1)定义域,(2)对应法则,如果两个函数的定义域和对应法则都相同,则这两个函数相等。否则,就不相等。,函数的定义域的求法:,(1),有实际背景的函数,根据实际背景中变量的实际意义来求,自由落体运动中位置函数与时间的函数关系为,比如,,开始下落的时刻为,落地的时刻为,它的定义域是什么?,(2),抽象地用算式表达的函数,约定:,这种函数的定义域是使得算式有意义的一切实数所组
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