第一章行列式ppt课件.ppt
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1、Ch1、行列式,n阶行列式的定义,行列式的性质,行列式按行(列)展开,克莱姆法则,1、n阶行列式的定义,1、全排列与逆序数 将 这n个数任意组合后排成的数组 称为一个n阶(全)排列,例如53214即为一个五阶全排列。显然,n阶排列的总数为n!。在排列中任取两个数,如前面的数大于后面的数,则称它们构成一个逆序。,(1)一个排列中所有逆序的总和称为此排列的逆序数,记为t;(2)逆序数为奇(偶)数的排列称为奇(偶)排列。参考题1、求下列排列的逆序数(1)312;(2)134782695;(3);(4)解:(1)t=2;(2)t=1+1+3+3+1+1=10;,(3);(4)t=0。2、对换 将一个排
2、列中的两个数位置对调称为对换。定理1:对换改变排列的奇偶性。定理2:在所有n阶排列中,奇偶排列各半,各为个。,证:设奇偶排列分别为p,q个,则p+q=n!。全部排列 全部排列,故p=q=n!/2。3、二阶与三阶行列式 引例:解二元线性方程组,解:用消元法易得 称为二阶行列式。若记 则方程组的解可记为,称为三阶行列式。,例1.1 解线性方程组:解:由于系数行列式,根据对角线法则所以,例1.2 计算三阶行列式。解:由对角线法则D=1(1)(2)+010+2110(1)111120(2)=3。例1.3 求排列54312的逆序数,并指出该排列的逆序数。解:首位数5,其逆序数为0;4的前面且比4大的数有
3、一个,其逆序数为1;3的前面有两个数5和4,且都比3大,其逆序数为2;,1的前面有三个数,5,4和3,且都比1大,其逆序数为3;2的前面有四个数,5,4,3和1,比2大的数有3个,其逆序数为3,于是这个排列54312的逆序数为t=0+1+2+3+3=9,为奇排列。,4、n阶行列式的定义 称为n阶行列式。(1)n!项之和,正负各半;(2)每项为不同行不同列的n个元素之积,其符号为,t为排列 的逆序数。故n阶行列式的定义为,例1.4 证明n阶行列式其中未写出的数都是零。这类行列式叫做下三角行列式,其特征是主对角线以上的数全取零,它的值等于主对角线上所有数的积。证明:根据n阶行列式定义,由于在上三角
4、行列式中,对任意ji恒有aij=0,故D的计算式中各项的乘积因子,只有当其下标满足Pii时,该因子才有可能不为零。由Pii(i=1,2,n)可得P11,P22,Pnn。在所有排列P1P2Pn中,能满足上述关系的排列只有一个标准次序排列123n,此时D中可能不为零的项只有一项,该项的符号(1)t=(1)0=1,因此D=a11a22ann,5、几种常用的特殊行列式(1)上三角行列式 解:观察通项 知,要想使之不为零,必须,同理,而 为偶排列,故。,(2)下三角行列式(3)对角行列式,(4)反对角行列式 解:对,必须,而,故得证。,2、行列式的性质,性质1:行列式与它的转置行列式相等,即。性质2:交
5、换两行(列),行列式仅改变符号。推论:若两行(列)相同,则行列式为零。证:,故D=0。性质3:用数k乘某行(列)等于用k乘该行列式。,例如,切记:,性质4:若两行(列)成比例,则行列式为零。证:性质5:把某一行(列)各元素乘上同一数后加到另一行(列)对应元素,行列式不变。性质6:,性质7:若A,B均为n阶方阵,则 注:计算行列式最常用的两种方法之一是利用行列式的性质将其化为上三角。,参考题2、计算(1)(2)解:(1),(2),例1.5 计算三阶行列式 解:=6113=18。,例1.6 计算n阶行列式 解:第2列所有元素都是2,其余各列均只有一个元素不是2。考虑将第1,3,4,n各列都加上第2
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