电动力学高教第三版2.ppt

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1、第二章 静电场,本章重点：,本章难点：,静电势及其满足的微分方程及边值关系、分离变量法、镜象法,分离变量法（柱坐标）,静电场的标势、及其微分方程和边值关系，静电场的能量,分离变量法、镜象法,本章主要内容,唯一性定理的内容及意义,静电场的基本特点：,边值关系：,由静止电荷产生的场，不随时间变化,基本方程：,1静电势的引入,一、静电场的标势,静电场标势简称电势,取负号是由于电场方向从高电势指向低电势,满足迭加原理,的选择不唯一，可相差一个常数，只要,即可确定,知道,2.1 静电势及其微分方程,2、电势差,空间某点电势无物理意义，两点间电势差才有意义,电势差为电场力将单位正电荷从P移到Q点所作功负值

2、,两点电势差与作功的路径无关,等势面：电势处处相等的曲面,与等势面垂直,均匀场电场线与等势面,参考点,通常选无穷远为电势参考点,（1）电荷分布在有限区域，,P点电势为将单位正电荷从P移到电场力所做的功。,（2）电荷分布在无限区域不能选无穷远点作参考点，否则积分将无穷大。,3、电荷分布在有限区几种情况的电势,（1）点电荷,（2）电荷组,Q 产生的电势,产生的电势,（4）连续分布电荷,二、静电势的微分方程和边值关系,电势满足的方程,导出过程,拉普拉斯方程,适用于无自由电荷分布的均匀介质,2静电势的边值关系,(1)两介质分界面,由于导体表面为等势面，因此在导体表面上电势为一常数。将介质情况下的边值关

3、系用到介质与导体的分界面上，并考虑导体内部电场为零，则可以得到第二个边值关系。,（2）导体表面上的边值关系,三静电场的能量,能量密度,若已知,总能量为,不是能量密度,总能量,仅讨论均匀介质,导出过程：,该公式只适合于静电场情况。能量不仅分布在电荷区，而且存在于整个场中。,四、例题,求均匀电场,的电势,解：均匀电场可看作由两无限大平行板组成的电容器产生的电场。因为电荷分布在无穷区域，可选空间任一点为参考点，为方便取坐标原点电势,电偶极子产生的电势,P点电势：,（无穷远为零点）,同理,平面为等势面（Z=0的平面）,求近似值：,若电偶极子放在均匀介质中（无限大介质）：,均匀介质中点电荷产生的束缚电荷

4、分布在自由点电荷附近，介质中电偶极子产生的势为自由偶极子与束缚偶极子产生的势的迭加，设 为束缚电荷，,3带电Q的导体球（半径为a）产生的电势。,电荷分布在有限区，参考点选在无穷远。根据对称性，导体产生的场具有球对称性，电势也应具有球对称性。当考虑较远处场时，导体球可视为点电荷。,满足,此题也可用高斯定理（积分形式）求解。,、泊松方程和边界条件,假定所研究的区域为V，在一般情况下V内可以有多种介质或导体，对于每一种介质自身是均匀线性各向同性的设V内各分区电势为，它们满足泊松方程,2.2 唯一性定理,内边界条件（边值关系）,注：在实际问题中，因为导体内场强为零，可以不包含在所求区域V内。导体面上的

5、边界条件可视为外边界条件。,二、唯一性定理,1均匀单一介质,令,由第一格林公式,介质分区均匀（不包含导体）,已知，,成立，给定区域边界上的值,或,。在分界面上，满足,和,V 内,（证明见书P.44）,区域V内电场唯一确定,均匀单一介质中有导体（证明见P.45）,总电荷Q1、Q2为已知，则区域 V,已知，及导体上的,或,内电场唯一确定。,当,，内的电荷分布,导体中,三、唯一性定理的意义,对于所得解，只要该解满足泊松方程和给定边界条件，则该解就是唯一的正确解。因此对于许多具有对称性的问题，可以不必用繁杂的数学去求解泊松方程，而是通过提出尝试解，然后验证是否满足方程和边界条件。满足即为唯一解，因而唯

6、一性定理具有十分重要的实用价值。,唯一性定理给出了确定静电场的条件，为求电场强度 指明了方向。,四、应用举例,半径为a的导体球壳接地，壳内中心放置一个点电荷 Q，求壳内场强。,不满足,已知点电荷产生的电势为,但它在边界上,要使边界上任何一点电势为0，,设,它满足,根据唯一性定理，它是腔内的唯一解。,可见腔内场与腔外电荷无关，只与腔内电荷Q有关。,2.带电荷Q 的半径为a 的导体球放在均匀无限大介质中，求空间电势分布。,因电荷分布在有限区，外边界条件,导体表面电荷Q已知，电场唯一确定。设,在导体边界上,3两种均匀介质（和）充满空间，一半 径 a 的带电Q导体球放 在介质分界面上（球心 在界面上）

7、，求空间电 势分布。,利用,束缚电荷只分布在导体与介质分界面上。对于上半个空间，介质均匀极化，场具有对称性，同样下半空间也具有对称性。而在介质分界面上，所以可考虑球外电场仍具有球对称性。,试探解,对称性分析：,在两介质分界面上：,确定常数,导体球面上面电荷分布：,束缚电荷分布：,1、空间，自由电荷只分布在某些介质（或导体）表面上，将这些表面视为区域边界，区域内电势满足拉普拉斯方程。,一、拉普拉斯方程的适用条件,2、在所求区域的介质中若有自由电荷分布，则要求自由电荷分布在真空中产生的势为已知。,一般所求区域为分区均匀介质，则不同介质分界面上有束缚面电荷。区域V中电势可表示为两部分的和，即，为已知

8、自由电荷产生的电势，不满足，为束缚电荷产生的电势，满足拉普拉斯方程,2.3 拉普拉斯方程的解 分离变量法,二、拉普拉斯方程在几种坐标系中解的形式,1、直角坐标,（1）令,（2）若,注意：在（1）、（2）两种情况中若考虑了某些边界条件后，将与某些正整数有关，它们可取1，2，3，只有对它们取和后才得到通解。,柱坐标,3球坐标,缔合勒让德函数（连带勒让德函数）,-为勒让德函数,三解题步骤,根据具体条件确定常数,选择坐标系和电势参考点 坐标系选择主要根据区域中分界面形状，参考点主要根据电荷分布是有限还是无限；,分析对称性、分区写出拉普拉斯方程在所选坐标系中的通解；,（1）外边界条件：电荷分布有限,注意

9、：边界条件和边值关系是相对的。导体边界可视为外边界，给定（接地），或给定总电荷 Q，或给定。,电荷分布无限，电势参考点一般选在有限区。如均匀场中，,（直角坐标或柱坐标），电势参考点可选在坐标原点。,（2）内部边值关系：介质分界面上,一般讨论分界面无自由电荷的情况,四应用举例,1、两无限大平行导体板，相距为，两板间电势差为V(与 无关)，一板接地，求两板间的电势 和。,(4)定常数,(5)电势、电场,常数,电势：,(3)列出方程并给出解,方程的解：,一对接地半无限大平板，相距为，左端有一极板电势为 V（常数），求两平行板之间的电势。,解：（1）边界为平面，选直角坐标系；上、下两平板接地，取为参考

10、点；有,（3）确定常数 A，B，C，D，k,解为：,（m=奇数）（m=偶数）,解：选柱坐标系，电荷分布在无限远，电势零点可选在有限区，为简单可选在导体面 r=a 处，即。,对称性分析：,柱外无电荷，电场线从柱面发出后，不会终止到柱面，只能终止到无穷远，即电场沿 方向，且导体圆柱为无限长可认为 与z无关，,(2)考虑对称性电势与z无关，设柱内电势为，柱外为 它们分别满足,。通解为：,4一半径为 a，介电常数为 的无 限长电介质圆柱，柱轴沿 方 向，方向上有一外加均匀电 场，求空间电势分布和柱面 上的束缚电荷分布。,两边 为任意值，前系数应相等（）,（4）解为,（5）柱内电场：,仍沿x方向,（6）

11、柱面上束缚面电荷分布,（7）若圆柱为导体，可用上述方法重新求解,5如图所示的导体球（带电Q）和不带电荷的导体球壳，用分离变量法求空间各点的电势及球壳内、外面上的感应电荷。,解：(1)边界为球形，选球坐标系，电荷分布在有限区，选,若将Q移到壳上，球接地为书中P48例题,（3）确定常数,在导体壳上,（5）球壳上的感应电荷,以上结果均与高斯定理求解一致。,壳外面,壳内面,求解泊松方程的难度,、镜像法的概念和适用条件,一般静电问题可以通过求解泊松方程或拉普拉斯方程得到电场。但是，在许多情况下求解比较复杂。本节介绍一种较为简单的求解静电场的方法。,2.以唯一性定理为依据,在唯一性定理保证下，采用试探解，

12、只要保证解满足泊松方程及边界条件即是唯一正确解。特别是对于只有一个或几个自由点电荷时，可以将导体面上感应电荷分布等效地看作一个或几个点电荷来给出尝试解。,2.4 镜 像 法,镜像法概念、适用情况,镜像法：用假想点电荷来等效地代替导体边界面上的面电荷分布，然后用空间点电荷和等效点电荷迭加给出空间电势分布。,适用情况：a)所求区域有少许几个点电荷，界面上的感应电荷一般可以用假想代替。b)导体边界面形状比较规则，具有一定对称性。c)给定边界条件,注意：a）做替代时，所研究区域的泊松方程不能被改变（即自由 点电荷位置、Q 大小不能变）。所以假想电荷必须放在 所求区域之外。b）不能改变原有边界条件（实际

13、是通过边界条件来确定假 想电荷的大小和位置）。c）一旦考虑了假想电荷，不再考虑界面上的电荷分布。d）坐标系选择仍然根据边界形状来定。,四、应用举例,距无限大接地平面导体板a处有一点电荷Q，求空间电势。,从物理问题的对称性和边界条件考虑，假想电荷应在左半空间 z 轴上。,因为像电荷在左半空间，所以舍去正号解,解为,（a）导体面上感应电荷分布,讨论：,（b）电荷Q 产生的电场的电力线终止于导体面上它与 无导体时，两个等量异号电荷产生的电场在右半 空间完全相同。,（c）与 位置对于导体板镜像对称，故这种方法称 为镜像法（又称电像法）,（d）导体对电荷Q 的作用力相当两点电荷间的作用力,解：（1）分析

14、：因导体球接地故球的电势为零。根据镜像法原则假想电荷应在球内。因空间只有一个点电荷，场应具有轴对称，故假想电荷应在轴线上，即极轴上。,真空中有一半径R0的接地导体球，距球心 a R0 处有一点电荷 Q，求空间各点电势。,设,因 任意的,（3）讨论：,，因此Q发出的电力线一部分会聚到导体球面 上，剩余传到无穷远。,球面感应电荷分布,若导体不接地，导体为等势体，但电势不为零，使导体表面电势为零，要使导体表面电势不为零，但仍为等势体，可认为在球心的点电荷 产生的电势。这时导体球上总电量，空间电势为,若导体球不接地，且带上自由电荷，即导体上总电荷为，此时要保持导体为等势体，可认为在球心放有点电荷，这是空间电势为,导体球不接地而带自由电荷 时 所受到的作用力可以看作 与 及位于球心处的等效电荷 的作用力之和,设，第一项为排斥力，第二项为吸引力（与 无关，与 正负无关）。当 时，F 0，即正电荷与带正电导体球在靠得很近时会出现相互吸引。,3有一点电荷 位于两个互相垂直的半无限大接地导体板所围成的直角空间内，它到两个平面的距离为 a 和 b，求空间的电势。,假想电荷应在第 I 象限之外。要保证互相垂直的两个接地导体板的电势同时为零，应当放几个像电荷？,解：（1）分析：,x,y,O,（2）电势分布,