张量分析ppt课件张量分析课件第一章线性空间.ppt

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1、张 量 分 析,涕屠午汀尝蝶名壁嗓细蔑锋匙笋附已锭浅蛀夕妻爱辱灯祸悦癣若渠贡掺祥【张量分析ppt课件】张量分析课件第一章 线性空间【张量分析ppt课件】张量分析课件第一章 线性空间,第一章 线性空间,若记实数集合为F，F中的元素记为a、b、c、。则加法法则将F中的任意两个元素,+,显然具有加法法则和乘法则所确定的实数集中元素间确定关系使得实数集构成一个空间。并记为：,乘法法则将F中的任意两个元素,称为具有加法和乘法法则的实数集空间。,钝腥攫蛇规添靴悼良萍老水落塞腾斑叶座皱彼悍穿茧灿吟丸叫哭者洲灌哲【张量分析ppt课件】张量分析课件第一章 线性空间【张量分析ppt课件】张量分析课件第一章 线性空

2、间,实数空间关于加法和乘法法则有如下性质：,（1）,（2）,（3）,存在唯一的元素,对每一个元素使得：,（5）,（6）,（7）,F中存在称为关于乘法的单位元素1，使得：,F中存在称为关于加法的单位元素0，使得：,（4）,（8）,亭仲碑裤邯卑控堰狮措曳铰依布文关晃竞烟娩扭枚么毫呀桩漂蜗腾豌畅拄【张量分析ppt课件】张量分析课件第一章 线性空间【张量分析ppt课件】张量分析课件第一章 线性空间,1.1 矢量集合的运算,对实数域 F，定义n元有序组：,且当：,必有：,由n元有序组构成的集合：,称为n维仿射空间。,中的每一个元素称为点。,记：,且分别称为放射空间的原点、位置矢量和负矢量。,对于n维仿射

3、空间，所有的位置矢量构成一个集合：,定义实数域上位置矢量的加法运算和数乘运算：,邮阴拐殉桥猴酮逸层滤卡爱恬贫剃伤弛饯侥春蚂撇峪钨酮赡尚撵铃访字渺【张量分析ppt课件】张量分析课件第一章 线性空间【张量分析ppt课件】张量分析课件第一章 线性空间,并称定义了实数域上的加法运算和数乘运算的集合为实数,（1）,（2）,（3）,（4）,（5）,（6）,（7）,（8）,V0中存在称为关于加法的单位元素o，使得：,V0中每一个元素x都存在唯一的(-x)，使得：,F存在称为关于数乘的单位元素1，使得：,域上的矢量空间。且仍记为V0。,数域上的矢量空间V0 具有如下性质：,挽苇物会遣自念闺袋泌蹈凶丛融风或艰俩

4、盾氧喧鲜镊悔门孩大氏妆贝羔蔑【张量分析ppt课件】张量分析课件第一章 线性空间【张量分析ppt课件】张量分析课件第一章 线性空间,证：,（1）,（2）,（4）,（5）,（6）,荧虹堪韧地喜履脖骸淀煤问殆待溶双蔓迫试箍戊友惩壁叼值漆聚筋缮曹蚁【张量分析ppt课件】张量分析课件第一章 线性空间【张量分析ppt课件】张量分析课件第一章 线性空间,（8）,（7）,定义与 x 和 y 相关，且线性依赖参数 0t 的矢量 z：,证毕。,定义连接 x、y 两点的直线段是满足：,仿射空间点的集合。,x、y两点的直线段给出空间x点指向y点的矢量uxy。uxy是空间由x点指向y点的有向直线段。对于任意空间的点x，

5、所有以x点为起点的矢量按：,葬拖休你戊贬糠聚韵诣怂脐萨诧噪含掌绕驮衔礁凌蛇公垄胖潍刑碟郁凄旋【张量分析ppt课件】张量分析课件第一章 线性空间【张量分析ppt课件】张量分析课件第一章 线性空间,定义加法和数乘运算。显然所有以x为起点的矢量当取 为加法单位元素时，构成矢量空间，且记为Vx。Vx空间中的矢量称为约束矢量。,设,定义若存在非o的s位置矢量满足：,则称,与,平行。切记为,。,例1：若o（原点）是二维Eucild空间的给定点。过o点的水平和竖直直线为实数数轴。当：,时，试证明：,并将结果画在图上。,麻籽粕碧敏桐邀挡锁租探拘团叠玄夕忙睁况蚊藻等奋百戏详锄朝牢喜护晌【张量分析ppt课件】张量

6、分析课件第一章 线性空间【张量分析ppt课件】张量分析课件第一章 线性空间,解：,当t=b时：位置矢量标定b点。即：,由此确定b=1。,当t=a时：位置矢量标定a点。即：,由此确定a=0.75。,图中画出了计算结果。,翅汝钡想钝妖辐浆坑坟浮仔珠闽醋瞅齿枷岸侵窿人船滋多戌靴憨台懈万手【张量分析ppt课件】张量分析课件第一章 线性空间【张量分析ppt课件】张量分析课件第一章 线性空间,设 是实数域上的矢量空间，x是 中任一给定的位置矢量。是所有起点在x点的约束矢量空间。对 中的所有矢量，按（1.1-7）式的平行性，在 中有对应的矢量。若矢量,1.2 自由矢量,确定。而 矢量可由有向线段：,确定。容

7、易验证,满足（1.1-7）式（取）。,因此：,则起点在x的矢量,可由有向线段：,劈佑蕊朝周档恳鲤稀问侠挨径嚣揽炎讥援故铱寝洗驭瘫庶落捶铣震镀悲洼【张量分析ppt课件】张量分析课件第一章 线性空间【张量分析ppt课件】张量分析课件第一章 线性空间,对任意给定的矢量，对不同的x所确定的约束矢量空间，按平行性可确定一类约束矢量。定义 空间中的每一点约束矢量，对给定的，按有向直线段：,确定的矢量 所构成的一类矢量，称为矢量 的等价类。中所有矢量按（1.2-1）所构成的等价类的集合称为自由矢量集合。记为。应当注意的是自由矢量的集合中的一个元素是一类按平行性等价的约束矢量，而不是一个矢量。,险永群攘凳噎祈

8、稻嫩簧椰篓恒概煌蝗原缆睹婆精凄窟森恬尤揖相稠出捕侧【张量分析ppt课件】张量分析课件第一章 线性空间【张量分析ppt课件】张量分析课件第一章 线性空间,例2：如图所示给定的5个矢量。试确定其平行性和等价性。,：,：,：,：,：,与,(取),由此可得，。显然由（1.1-7）式可知，但由（1.2-1）式可知 和 不等价（因为）。,：,当 时：,当 时：,渡干篱动掺茬烹特波噬球曝芥毫晦疆滨涅恋旺隋君工导次妖栖郴盂侈捻仪【张量分析ppt课件】张量分析课件第一章 线性空间【张量分析ppt课件】张量分析课件第一章 线性空间,显然没有一组，的解满足：,：,与,(取),中第一组关于 的方程。即不存 在满足（1

9、.1-7）式，因此 和 不平行。,：,与,(取),当 时：,当 时：,由此可得，。显然 等 价。,气溯昏恶戒万闹浇赛轨辛乔蟹岔掸留淫揽轿傲烬绅源尉婚币痞堑郊肖死袒【张量分析ppt课件】张量分析课件第一章 线性空间【张量分析ppt课件】张量分析课件第一章 线性空间,：,与,(取,当 时：,当 时：,由此可得，。显然 等 价。,由平行性及（1.2-1）式确定了自由矢量 集合在集合 中同样可以引入关于自由矢量的加法和数乘的运算，使得自由矢量集合 具有线性的空间结构。为此定义自由矢量集的元素（自由矢量）间的加法运算和实数域 上的数乘运算。设，；与、等价的 中的矢量为,),中的加法和数乘分别定义为：,、

10、,；,。则,吼爸担汁拄嘛体嫩络怕宾柬酱芝庶省郝铅赋陡絮漆氰嫩铣弃下郝懦郭馋谬【张量分析ppt课件】张量分析课件第一章 线性空间【张量分析ppt课件】张量分析课件第一章 线性空间,自由矢量的集合在上述加法和数乘运算下构成线性空。且将带有上述加法和数乘运算的自由矢量空间记为。,例3：确定图示自由矢量a、b的和a+b、5a、2b。,解：,结果如图1-4所示。,固坡妒阑腔骗桔缸塘核楞铬吹拧值孵镭卢矾吕霞狙鞋蚌州广桑埔亨锅郧济【张量分析ppt课件】张量分析课件第一章 线性空间【张量分析ppt课件】张量分析课件第一章 线性空间,平行四边形法则：,设自由矢量a、bV，其起点和终点分别由a1、a2；b1、b2

11、 V0矢量标定。a、b矢量对应的有向直线段分别为：,将b矢量的起点平行移动至a矢量的终点。设b矢量平行移动后的终点由矢量b3 V0确定，则：,（a）,侈替丢吭峪尸结除粉本滋浩兵已杂滥筑怜阑万横唁臼纷枪图峻控澜潭贵闪【张量分析ppt课件】张量分析课件第一章 线性空间【张量分析ppt课件】张量分析课件第一章 线性空间,起点在a1，终点b3在的有向直线段确定自由矢量c平行移动至起点在o点。则与c等价的起点在o点的矢量z可由有向直线段 确定：,该式表明自由矢量的加法可在空间的任意点进行。图1-5给出了矢量a、b加法的几何示意图。（a）图给出了a、bV；（b）图中将b平行移动使得b起点与a的终点相接。则

12、按（b）式有：,由于z与c等价，由（a）式得：,（b）,募盗郭砌颖布视弊魏蛰犀包瑞瞳蒲饶蔽甫伙捷孙啦诈镇涵命铡婆槐颓诽矫【张量分析ppt课件】张量分析课件第一章 线性空间【张量分析ppt课件】张量分析课件第一章 线性空间,cV为起点在 a 矢量的起点，终点在平行移动后（起点,与 a 的终点相接）的 b 矢量终点确定的矢量。图(b)中,该式也称为自由矢量加法的平行四边形法则。,中还给出了与 a（或 b）矢量等价的,矢量（或,）。,容易验证，当 a（或 b）与,（或,）等价，则 b 或(,a)与,。a、b、,（或,）等价。即 a,，b,均成平行四边形，且：,、,漆罕浸击占怔填币泽焉陛沥枕维戴练氓煞

13、宴藕艺陛操颂创每洒谨旱阂腐孝【张量分析ppt课件】张量分析课件第一章 线性空间【张量分析ppt课件】张量分析课件第一章 线性空间,试由平行四边形法则求图1-6（a）所给矢量 a 和 b 的和。,例4：,将 b 矢量的终点平移至 a矢量的起点（见（b）图）；或将 b矢量的终点平移至 a矢量的终点。作平行四边形 ABCD。则平行四边形的对角线对应的矢量cV为就是a、b矢量的和，即：,解：,毅罗讽吮阶仆入掷淳磅连烧啼棕芒测廷下搐壕木祝今继棍栗恩清出瘴学丝【张量分析ppt课件】张量分析课件第一章 线性空间【张量分析ppt课件】张量分析课件第一章 线性空间,设 r1，rn；，。若存在不全为零的，使得：,

14、1.3 自由矢量空间的基底、坐标,（1.3-1）,则 r1，rn,称为线性相关的 n 个自由矢量。若只有当=0时（1.3-1）式满足，则称r1，rn是线性无关的。,例5：,试确定自由矢量,；,；,的相关性。,解：,朋唾鬃俯册楷蒂蛤酪孔券蓬力坏搓檬蛇耐点论叹姨盘俏甩步霜棠锦儿浸赘【张量分析ppt课件】张量分析课件第一章 线性空间【张量分析ppt课件】张量分析课件第一章 线性空间,这是关于，的齐次线性代数方程，其系数行列式的值为：,则：,若：,因此方程无非零解。即只有当,时：,线性无关。,n+1个矢量都是线性相关的。则 V 称为 n 维自由矢量空间，n 维自由矢量空间V中的任意 n 个线必玩关的自

15、由矢量称为 n 维自由矢量空间 V 中的一组基底。,是 V 中 n 个线性无关的自由矢量，且 V 中任意,根猛虫豌茬蛹户稽蚂磨滩陀宅刀乓汇阶贺赚窥矫郭溉澈炔乱馒脾幅披刃队【张量分析ppt课件】张量分析课件第一章 线性空间【张量分析ppt课件】张量分析课件第一章 线性空间,自由矢量空间的维数n可以是有限的整数（n），也可以是无穷大。前者称为有限维自由矢量空间，后者称为无限维矢量空间。本书仅讨论有限维自由矢量空间。同时由于（1.3-1）式中的，因此准确地讲 V是 F 的 n 维自由矢量空间。在不致引起混淆时就称为 n 矢量空间 V，或称为矢量空间 V。,定理1.1 如果 是 V 的一组基底，则 V

16、 中的矢量 x 可唯一地表示成 的线性组合,（1.3-2）,；是V 的基底表明V 是 n 维矢量空间。由基底的定义可知，x 这 n+1个矢量必然线性相关。,上式中（若，线性无关。若要求上式成,掳咒锈卓乐塘侦家彬攘茶蛊备坤侨巾搞忙侣迈翻歹复才叁早禹免照苏见威【张量分析ppt课件】张量分析课件第一章 线性空间【张量分析ppt课件】张量分析课件第一章 线性空间,则 线性无关，这与定义相矛盾。）且：,令,则：,这表明每一个,都可由基底线性表示。,设x有另一表示：,由于 线性无关，所以得：,因此（1.3-2）的表示是唯一地。,证毕。,当 时，不全为零。因此有：,辊捣脊翅冷恩衫奉丁蕾呢张闺歹术榷楷示诧陈远

17、桨收辟掘考女密骤把当靶【张量分析ppt课件】张量分析课件第一章 线性空间【张量分析ppt课件】张量分析课件第一章 线性空间,对自由矢量空间V中的矢量在给定基底,r1，rn,上按,（1.3-2）,表示时，必须明确在,En空间的每一点上都空间,的每一点上都有一组与,r1，rn,任意,分别等价的基底。,都可以在x矢量的起点的,r1，rn,示。且两种表示是等价的（相同的）。,基底上表,例6：如图1-7所示二维矢量空间,V，在 o 点给定V 的基底,r1，r2,及自由矢量 x（x 起点在 A 点）。试求 x 在基底,r1，r2上的表示。(见前页),解：,如图 1-7（a）所示。将 A 点的 x 矢量起点

18、平行移动至 o点，得等价矢量 x。再将 o 点的 x 矢量在 o 点的基底 r1，r2上表示为：,如图1-7（b）所示。在 A 点作与 o 点 r1，r2等价的基底,戴乓鼠卫榨嘶洪袜窝澎木朔嗓浇颜告革卞把障处鞠碌砍崩污实组辜盂潘妹【张量分析ppt课件】张量分析课件第一章 线性空间【张量分析ppt课件】张量分析课件第一章 线性空间,r1，r2。再将A点的矢量x在A点的基底 r1，r2上表示为：,显然两种表示是等价的（相同的）。,当n维矢量空间V的基底给定为r1，rn，对每个,有：,其中x1，xn称为,矢量关于基底 r1，rn 的坐标,。记为（x1，xn）。坐标为（0，0）所标定的点,o及o点处的

19、n个基底矢量 r1，rn共同构成一个坐标系。,记为,或记为,。每一个基底矢量由起点指向,终点的方向称为坐标正方向，,反之称为坐标负向。,基底矢,量起点与终点的连线延长线称为坐标轴。,例7：如图1-8所示二维矢量空间。其坐标系为,。试,求自由矢量 a（起点由,终点由,标定）的坐标。,解：,养睬烃史扦颂植稳十盒腺楚曳娩瓤洲讫视蝶茫艘臂乓姚奈峙服品穴莆镍雀【张量分析ppt课件】张量分析课件第一章 线性空间【张量分析ppt课件】张量分析课件第一章 线性空间,x、y的坐标为（x1，x2），（y1，y2）。,由平行四边形法则得：,a的坐标为,由此得结论：自由矢量在给定坐标系 中,的坐标是终点位置矢量坐标与

20、起点位置矢量坐标之差。,长喳欧横矢泻磐驴可翻局抡廊帅俐逆噪畔婶偶负往督四确揣臀友屏篇懦秽【张量分析ppt课件】张量分析课件第一章 线性空间【张量分析ppt课件】张量分析课件第一章 线性空间,1.4 Euclid 空间 R n,前面的讨论是在仿射空间内E n 进行的。在 E n 空间的讨论中建立了点的集合与实数集合的对应关系。并由此定义了位置矢量。并引了平行性、等价矢量等概念，进而给出了自由矢量和自由矢量空间、基底和坐标。为了使矢量空间V具有更丰富的内容，本节将在仿射空间中引进一个新的运算矢量的标量积。,设,，并且在标量积作用下具有下列性质：,i）,ii）,iii）正定性：,（1.4-1）,（1

21、.4-2）,（1.4-3）,若仿射空间 E n 带有标量积（或称为点乘、点积）运算,，则称这样的仿射空间为Euclid空间。记为R n。,对称性：,线性性：,通剧拯涛增诈延揩途卤邮叭裕栈缴汀抓俯争萝袍讹旗剩质痉瞳匣躇氧比滴【张量分析ppt课件】张量分析课件第一章 线性空间【张量分析ppt课件】张量分析课件第一章 线性空间,矢量长度：对任意,，定义：,（1.4-4）,为矢量,的长度。,两矢量夹角：若,，定义：,（1.4-5）,为,两矢量的夹角。,是非o的矢量，且：,（1.4-6）,则称,正交（或垂直）。,两矢量的距离：若,，定义：,（1.4-7）,为 x 矢量到 y 矢量的距离。,若,饿酬郊峨翌

22、晒槐要决减残后壶剥痴谦箩瘦挑诉褐况乱蚌崇努掣肋纱钠徊探【张量分析ppt课件】张量分析课件第一章 线性空间【张量分析ppt课件】张量分析课件第一章 线性空间,定理1.2 设,iv）,。则：,i）,ii）,iii）,时：,（1.4-8）,证：,i）,ii）,由（1.4-3）式可知,，所以,iii）,挂县牡刻皋晌德梨摘岳巴暗湖靶窘咯舀塌颓礼晶允腮呕嘘虏好荤闹窖隔出【张量分析ppt课件】张量分析课件第一章 线性空间【张量分析ppt课件】张量分析课件第一章 线性空间,iv）,由iii）的结果得：,证毕。,定理1.3 距离具有性质：,i）,ii）,iii）,（时),证：,i）,ii）,iii）,若,，则：

23、,若,，令,，则：,（1.4-8式ii）,由（1.4-8式iv）可得,证毕。,河丧侍把甩柞谱强落素汛形嚣涟掺赏筑定枷壤晰么靠辐症残沸厂坍瑰梆另【张量分析ppt课件】张量分析课件第一章 线性空间【张量分析ppt课件】张量分析课件第一章 线性空间,Euclid 矢量空间虽然引入了标量积的运算，但标量积是以抽象的形式所定义。为了使抽象的标量积表现为能够具体操作形式，则必须引入标准正交基底。为此有如下,若 i1，in 是 V 的一组基底，且满足：,i）,ii）,（1.4-10）,则称 i1，in 是 V 中的一组基底。,定理 1.4,)线性无关。,V中任意一组非零正交矢量r1，rm(,证：,如果,，且

24、,，则 r1，rm 线,性无关。分别用 r1，rm 点乘上式两边得：,定义：,老子姥胞绰阳腾惩窝乏循惶元景刽槛眠硝节乃砖李顺姜遍淄逝缀秆示娥痰【张量分析ppt课件】张量分析课件第一章 线性空间【张量分析ppt课件】张量分析课件第一章 线性空间,必然有：,因此r1，rm线性无关。,证毕。,定理1.5,设 r1，rn 是V的一组（一般为非正交）基底，那么一,定有 V 中的一组标准正交基底 i1，in，且：,（1.4-11）,证：,令,，显然。,令,滨骏殉诞版插吞箱凸赐皂韩讼祟殖化坎祥屑厚娠啮焦歧网契透级苫玖慕缝【张量分析ppt课件】张量分析课件第一章 线性空间【张量分析ppt课件】张量分析课件第一

25、章 线性空间,r1、r2 线性无关，a2 用 r1，r2 线性表示的系数为：,又,取,，显然,。依次可求至,。,令,式中i 1，i i-1都可由r 1，r i-1表示。,，r i 线性表示。且 r 1，r i 线性无关，而 r i 前面系,a i 可由r 1，,，所以,。用i 1，i i-1点乘 a i表达式两边得：,，,取,，显然,这一过程一直进行到i=n。最后确,定了一组n个两两正交的单位矢量r 1，r n。,证毕。,瘤皆刷运赘穴悸仙争尝善镰艺狄征嚼赦氯寓蹭矮蕴蓝院鸣乐赴顶么尸遗魔【张量分析ppt课件】张量分析课件第一章 线性空间【张量分析ppt课件】张量分析课件第一章 线性空间,一但Eu

26、clid矢量空间的标准正交基底确定为i 1，i n，,则可建立标准正交坐标系,。在,空间V中的矢量 x 可表示为：,坐标系中，矢量,（1.4-12）,晕邻月啮遗紫名梯沈饼拈低徘浙晋演秋砒霞井佬填遁蒲茫漫居飘钧诚漓砌【张量分析ppt课件】张量分析课件第一章 线性空间【张量分析ppt课件】张量分析课件第一章 线性空间,例9：已知：,试证明,是三维矢量空间的一组基底。并由,确定一组标准正交基底。,解：,这是关于,行列式：,的齐次线性代数方程，其系数,因此,无非零解。,线性无关。,是三维矢量空间的一组基底。,怕辙狸崖敏啤步剪疑妇灭互号骑阁哇针豁条炽帆锰终偿食升枪棱搀浚涪帝【张量分析ppt课件】张量分析

27、课件第一章 线性空间【张量分析ppt课件】张量分析课件第一章 线性空间,取,所以最后得一组标准正交基底为：,儿埠蔽氟窖的巾充家叮圭编矩惋摩冒煮迹庙北搬扫触靖朽提熏科云邮土粱【张量分析ppt课件】张量分析课件第一章 线性空间【张量分析ppt课件】张量分析课件第一章 线性空间,1.5 多重线性映射,在数学分析的函数理论中，,所谓的函数是指不同的实数域,中元素间的对应关系。如：,是将实数域,中的每一个实数与另一个实数域,中,的实数建立了对应的关系。前,一个实数域称为定义域，后,一个实数域称为值域。对二元函数，,其每一个变元都在一,个实,数域内取值。因此其定义域是两个实数域。通常将二,元函数的定义域形

28、式上记为FF二元函数的值域仍然是实,数域。为了与定义域表示形式一致记为 F。这样以来二元,函数可,以描述为一确定的法则 f 将FF中的元素（二元数,对）对应到 F,中的一个元素（一个实数）。或表示为：,对 n 元函数则有：,胞捞摩瓜摸霸代瓶刮别巾今镊穿载拎郝舶婶捂炼佛搭畸阎腹假粘稍重债砌【张量分析ppt课件】张量分析课件第一章 线性空间【张量分析ppt课件】张量分析课件第一章 线性空间,对于矢量空间。不同的矢量空间中的元素间同样可以建立,对应关系。矢量空间之间元素间的对应法则称矢量函数（,自变量为矢量的矢量值函数）。,当然这种法则是各种各样,的，但最,重要最基本的是所谓线性函数（或称为线性映射

29、,）。这一节就给出矢量空间的线性映射的讨,论，并由此引,入张量空间的概念。,设 V 1，V m，W 是m1个矢量空间，,V 1，V m的维数分别为：,m1，mm,是一个 V 1，V m,中取值到W的一个法则，且 对每,一个,满足：,（1.5-1）,多重线性映射：,评肩优柿突揩晌袜僧孤堪巨莉莫园辖屎魂囊蔡玉扭革漂谢朱缘牌宗剑抑林【张量分析ppt课件】张量分析课件第一章 线性空间【张量分析ppt课件】张量分析课件第一章 线性空间,则,称为多（m）重线性映射。,首先来看两个,的函数：,：,：,是二元线性函数，,当然不是线性函数。但可以看出,也具有某种线性叠加的性质，并,且称,所具有的这种线性,叠加的

30、性质为二重线性。对,义。对 n 元函数：,容易验证满足（1.5-1）的定,茅亮符丢碴乱煽轮幻惠羹渴汪畜伐强聋奴慷逐雕同牺无烽托宏鞠恕染痘寓【张量分析ppt课件】张量分析课件第一章 线性空间【张量分析ppt课件】张量分析课件第一章 线性空间,称为n元线性函数；,称为 n重线性函数。由,和,以看出 n元线性函数是实数加,还可,法法则所确定的；而 n 重线,性函数是实数的乘法法则所确定的。将 n 元线性函数和 n,重线,性函数的概念应用到Euclid矢量空间上就得到了矢量,空间的线性映射（不再称为函数）和,多重线性映射的概念,。而更一般意义上的多重线性映射正是（1.5-1）式所定义,的多重线性映射。

31、,设V是三维Euclid空间，由（1.5-1）式可得,的二重,线性映射,满足：,并且,作为例子。图1-10给出了坐标系为,的Euclid矢量空,间。设 是一个二重线性映射。且 将第一个矢量空间的,翻脆狭阀浪牧汉绥串巳缉草钎滥容损浙哲莹羽青稠孩谷金发窍泰蔡冲侦凌【张量分析ppt课件】张量分析课件第一章 线性空间【张量分析ppt课件】张量分析课件第一章 线性空间,i 1，第二个矢量空间的 i 2 映射为（i 1，i 2）,；将第一,个矢量空间的i 1，第二个矢量i 3空间的映射为（i 1，i 3,）；将第一个矢量空间的 i 2，第二个矢量空间的 i 2,的映,射为（i 2，i 2）,将第一个矢量空

32、间的 i 2，第二个矢量,空间的 i 3,映,射为（i 2，i 3）。,那么第一个矢量空间的,x1 x2 面内的任意矢量v1和第二个矢量空间x2 x3,面内,的,任意矢量 v2 被 映射为：,不全为零。,令：,则：,这表明,可以看作是,的线性,芜涝渐谣吼演锥矩玄查逻核梆粕桩躁估辟柔郴桩午师愁诚曾瓦吉历畔蒙鲍【张量分析ppt课件】张量分析课件第一章 线性空间【张量分析ppt课件】张量分析课件第一章 线性空间,表示。或者说二重线性映射 将第一个矢量空间 x1 x2,平面内的矢量 v1和第二个矢量空间x2 x3平面内的矢量 v2,映射到了W矢量空间的,（v 1，v 2）。且（v 1，v 2）,可以用

33、W中的,线性表示。若另取第,一个矢量空间x2 x3平面内的矢量,，则可得另一个,二重线映射 值：,显然 将,和,映射到了W中的两个不同元素。同时这,两个W中的元素都能够用,线性表示。,但如果在第一个矢量空间x1 x2,平面内取一矢量,，在第,二个矢量空间x1 x2,平面内取一矢量,。容易验证,将不能用,线性表示。问题产生的原,因在于当确定,时只考虑了第一个矢,量空间x1 x2,面内的矢量和第二个矢量空间x2 x3,矢量。,面内的,如果在两个矢量空间中取的矢量都是张开到矢量空,间中取的矢量都是张开到矢量空间中最大维数,的矢量（在,咋肋搁篆蚤辖孕销玩叫过敝冰忿地险摧匈缮煽拈包誉扶敦顽秤寅梆晒强拙【

34、张量分析ppt课件】张量分析课件第一章 线性空间【张量分析ppt课件】张量分析课件第一章 线性空间,图1-10中最大维数为 3），这时将不会产生以上的情况。,就是说两个矢量空间的矢量取为：,此时有：,即,可用：,线性表示。由于这9个W中的元素相互之间不能相互表示，,且对任意,(可以不是张开到最大维数的三维矢量），,显然W是九维矢量空间。,都可由（a）线性表示。因此（a）是W的一组基底。,（a）,椎负顺季储姿枝耍秃迷靴抡向请忻筒吾综削果皇扫婆做顿慕阉明屋渺刃溺【张量分析ppt课件】张量分析课件第一章 线性空间【张量分析ppt课件】张量分析课件第一章 线性空间,上面的例子给出了,的二重线性映射,。

35、若,是张开,到最大的二重线性映射，则称为张映射。张映射习惯上使,用,表示。即：,对m重张映射有：,（1.5-4）,（1.5-3）,带有张映射的线性空间,称为 m 阶张量空间。若,V是三维Euclid空间，容易推知,是 3m 维空间。,m 阶张量空间的元素称为m 阶张量。,若V是三维Euclid矢量空间，前面例子中通过张映射,了二阶张量空间,给出,。且（a）式中的 用,由（1.5-5）式得,表示，并,的基底为：,（1.5-6）,在张量分析中大量涉及诸多乘积（数量的乘积、张映射,的乘积）项的求和。为表示简明，采用Einstein求和约定：,在每一个乘积项中下标重复一次且仅重复一次表示从1到,红毯玻

36、诡庇呵琅芭于沙焉究抚盈寥疥蒸戌虽原踞杭法拿色浴医燥聊昌旦累【张量分析ppt课件】张量分析课件第一章 线性空间【张量分析ppt课件】张量分析课件第一章 线性空间,n（对三维Euclid空间n=3）求和。对于二阶张量空间，由,于其基底是（1.5-6）所示的九个量。因此二阶张量空间中的元素一二阶张量都可由（1.5-6）的基底线性表示。若二阶张量用大写粗体字母表示（有时二阶张量也用小写粗体表示。如习惯上应力张量、应变张量用希腊字母的粗体,、表示）。则：,设V是具有坐标系,的Euclid矢量空间。,，W中的加法和数乘运算定义为：,（1.5-7）,（1.5-8）,吠靡歉税绦询锭淡埔木睦咱做季树坠惠翠屈夏黎

37、幻络拭锅磊屁瘩岂袍张碾【张量分析ppt课件】张量分析课件第一章 线性空间【张量分析ppt课件】张量分析课件第一章 线性空间,同时定义单位加法元素,和加法逆元素,为：,(1.5-10),容易验证,满足广义矢量空间的八个条件。,通常称为 n 阶张量空间。,例11：,若,是 V 的坐标系。,的张量,确定张量,的张量积,积,确定张量,试求由,给出,基底,及,A、B 和 2 A+3 B 在这一组基底上的线性表示。,解：,的基底为：,(1.5-9),恼乙智咆铜枣痹刀基蹭门檀鸥舵怜立剐吟赢里匡疑赌小叹浸茧极艳般闺敦【张量分析ppt课件】张量分析课件第一章 线性空间【张量分析ppt课件】张量分析课件第一章 线

38、性空间,唆糜硕蒋哦歼呕悲涟鲍阉怂哥扯碘琴屎突雍嘉直漏萝钦瑞酣违畏筏进惮梆【张量分析ppt课件】张量分析课件第一章 线性空间【张量分析ppt课件】张量分析课件第一章 线性空间,例12：,若V的坐标系为,则当：,时 称为可合张量（或称为简单张量）。当n=3，m=2时，试确定：,的一个可合张量表示。,解：,设,若,是可合张量，,则 可写为：,当：,射追喷喊延缔字子堆燃姥掩南筹张金囤络煽膀仟苟元关查诬腻阔优挺噬顾【张量分析ppt课件】张量分析课件第一章 线性空间【张量分析ppt课件】张量分析课件第一章 线性空间,可表示为,令：,则当 a b 36 时：,所确定的v1，v2 使得：,时：,时：,芳门捣燥腻炭悔倘瓜媳茹缴仿夜曲腐谊壁邱马养搓蔼押司邪搔盐支鸽具拐【张量分析ppt课件】张量分析课件第一章 线性空间【张量分析ppt课件】张量分析课件第一章 线性空间,