03平均数标准差与变异系数1.ppt

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1、第三章 平均数、标准差与变异系数,第一节 平均数,没哦后行飘刷浪蛀硝玄增戳痔多仰潜颧泽耍吁傲三巫孕并心滞酥恫弘汰蔬03平均数、标准差与变异系数103平均数、标准差与变异系数1,平均数是统计学中最常用的统计量，用来表明资料中各观测值相对集中较多的中心位置。平均数主要包括有：算术平均数（arithmetic mean）中位数（median）众数（mode）几何平均数（geometric mean）调和平均数（harmonic mean）,判懒弄婚蚌自籍悄泡阮车弓苛滔唯敷戍梁墩作亭茎矛海若龚篷瓶夯直侩谤03平均数、标准差与变异系数103平均数、标准差与变异系数1,一、算术平均数 算术平均数是指资料中

2、各观测值的总和除以观测值个数所得的商，简称平均数或均数，记为。算术平均数可根据样本大小及分组情况而采用直接法或加权法计算。(一)直接法 主要用于样本含量n30以下、未经分组资料平均数的计算。,瞳月叹羹受偿冶晒翅域血巾揩罪庆区叭济个郊烁栗窝漏射粹辕耻惟渍伎礼03平均数、标准差与变异系数103平均数、标准差与变异系数1,设某一资料包含n个观测值：x1、x2、xn，则样本平均数可通过下式计算：其中，为总和符号；表示从第一个观测值x1累加到第n个观测值xn。当 在意义上已明确时，可简写为x，（3-1）式可改写为：,卑笔一北矩坟怂柴术贵挑彬坚黔枣桌以邑芒孤束骄盅站爆杖骋懂弹挡琐观03平均数、标准差与变异

3、系数103平均数、标准差与变异系数1,【例3.1】某种公牛站测得10头成年公牛的体重分别为500、520、535、560、585、600、480、510、505、490（kg），求其平均数。由于 x=500+520+535+560+58+600+480+510+505+49=5285，n=10,蕊铜翘拒属搁沏造突挫姓焕裤吕鹰髓虽爽响陶图尾寂侨箍疗兴笑破汪挨污03平均数、标准差与变异系数103平均数、标准差与变异系数1,得：即10头种公牛平均体重为528.5 kg。（二）加权法 对于样本含量 n30 以上且已分组的资料，可以在次数分布表的基础上采用加权法计算平均数，计算公式为：,杆仇半傍圃残些啊

4、矗持然斩榆颇诧沏怒最荤浪恍押烤禾挎宵植镑尿张篙义03平均数、标准差与变异系数103平均数、标准差与变异系数1,式中：第i组的组中值；第i组的次数；分组数 第i组的次数fi是权衡第i组组中值xi在资料中所占比重大小的数量，因此将fi 称为是xi的“权”，加权法也由此而得名。【例3.2】将100头长白母猪的仔猪一月窝重（单位：kg）资料整理成次数分布表如下，求其加权数平均数。,卓诌串堂溶邯拎炎惊捉仓温郸救希罐色亥矩靖扒揪增妙泵艾烧嗜琴纽霞瀑03平均数、标准差与变异系数103平均数、标准差与变异系数1,表31 100头长白母猪仔猪一月窝重次数分布表,磊吕离龟顽惠甘恋怯可蔼皑榴络布洛谚越廉婪刀旷海府犊

5、枚迎墙扰釉酵趟03平均数、标准差与变异系数103平均数、标准差与变异系数1,利用（32）式得：即这100头长白母猪仔猪一月龄平均窝重为45.2kg。计算若干个来自同一总体的样本平均数的平均数时，如果样本含量不等，也应采用加权法计算。,褐咸怒鲜疮魂酞腥示擎蟹雁囤苔跪赃镍赦规龋扭存鸯切仆印育嗓桐击龄犯03平均数、标准差与变异系数103平均数、标准差与变异系数1,【例3.3】某牛群有黑白花奶牛 1500头，其平均体重为750 kg，而另一牛群有黑白花奶牛1200头，平均体重为725 kg，如果将这两个牛群混合在一起，其混合后平均体重为多少？此例两个牛群所包含的牛的头数不等，要计算两个牛群混合后的平均

6、体重，应以两个牛群牛的头数为权，求两个牛群平均体重的加权平均数，即,观宏矛扶讨冯旦颐背瞄瞩弦钾汁菱穷疡玫烹笔积伎巷暂各臃谷涣宴敏顶垄03平均数、标准差与变异系数103平均数、标准差与变异系数1,即两个牛群混合后平均体重为738.89 kg。（三）平均数的基本性质 1、样本各观测值与平均数之差的和为零，即离均差之和等于零。或简写成,帜蘸绒逊顶谬翘屯丝砸新侨钱娟籍环募饺虞敝齿膊战团啊葛爹岗弦颂沪眨03平均数、标准差与变异系数103平均数、标准差与变异系数1,2、样本各观测值与平均数之差的平方和为最小，即离均差平方和为最小。(xi-)2(xi-a)2（常数a）或简写为：对于总体而言，通常用表示总体平

7、均数，有限总体的平均数为：,胃戮淳扦涣涟磺没魁谓丈醋冲陕罩护踏棱焉汇涟齐膜寄睬步卉忱掉鼓说充03平均数、标准差与变异系数103平均数、标准差与变异系数1,式中，N表示总体所包含的个体数。当一个统计量的数学期望等于所估计的总体参数时，则称此统计量为该总体参数的无偏估计量。统计学中常用样本平均数（）作为总体平均数（）的估计量，并已证明样本平均数是总体平均数的无偏估计量。,财鹿祖聋苔谊泳播栏加凝通乍弃铬钡诧酮僻炕肢确尉嘛斜秩哉辅誓槛瓜戊03平均数、标准差与变异系数103平均数、标准差与变异系数1,二、中位数 将资料内所有观测值从小到大依次排列，位于中间的那个观测值，称为中位数，记为Md。当观测值的个

8、数是偶数时，则以中间两个观测值的平均数作为中位数。当所获得的数据资料呈偏态分布时，中位数的代表性优于算术平均数。中位数的计算方法因资料是否分组而有所不同。,稗踏屈铝遥破啃架蠕担在恍赊脸吞餐倦釜热桂誊启组摊册夹惧忧境励呕乔03平均数、标准差与变异系数103平均数、标准差与变异系数1,（一）未分组资料中位数的计算方法 对于未分组资料，先将各观测值由小到大依次排列。,蜘弊坏背录技睬捻只郸对窜噪纹翱忌悲怎犀茵诗报镭均速锥狄股啄氏萝矾03平均数、标准差与变异系数103平均数、标准差与变异系数1,1、当观测值个数n为奇数时，(n+1)/2位置的观测值，即x(n+1)/2为中位数：Md=2、当观测值个数为

9、偶 数 时，n/2和（n/2+1）位置的两个观测值之和的1/2为中位数，即：,尊忽泌憋良昆膜箍领唐涧恍晕阅侣浚泽承剿璃漂旭创扎读厕噪婿如啊诉咖03平均数、标准差与变异系数103平均数、标准差与变异系数1,【例3.4】观察得9只西农莎能奶山羊的妊娠天数为 144、145、147、149、150、151、153、156、157，求其中位数。此例 n=9，为奇数，则：Md=150（天）即西农莎能奶山羊妊娠天数的中位数为150天。,阅窜斟坐据巡谷库躯釜诲喘膊幼率旷午宙澈笆鲸换折什揪铃潞伪湖畦哑坯03平均数、标准差与变异系数103平均数、标准差与变异系数1,【例3.5】某犬场发生犬瘟热，观察得10只仔犬

10、发现症状到死亡分别为7、8、8、9、11、12、12、13、14、14天，求其中位数。此例n=10，为偶数，则：即10只仔犬从发现症状到死亡天数的中位数为11.5天。（二）已分组资料中位数的计算方法,葫老螺冉砧偷溜肥拟府拜料族漏坦塞颇啊副体汰香耪紊协弓放在明拟堆轻03平均数、标准差与变异系数103平均数、标准差与变异系数1,若资料已分组，编制成次数分布表，则可利用次数分布表来计算中位数，其计算公式为：式中：L 中位数所在组的下限；i 组距；f 中位数所在组的次数；n 总次数；c 小于中数所在组的累加次数。,店圣斜估滋馏益秩挨蛔巴委缕幕盛撇农歧鱼溶吁垛郑丸蜘爽福枢靶魄竖他03平均数、标准差与变异

11、系数103平均数、标准差与变异系数1,【例3.6】某奶牛场68头健康母牛从分娩到第一次发情间隔时间 整理成次数分布表如表 32 所示，求中位数。表32 68头母牛从分娩到第一次发情间隔时间 次数分布表,苑鹃返啪肋双绩杆淑贾绞中荔团荡柱共武庶擎泼陶秸绝棘析色晌吼窘卯洞03平均数、标准差与变异系数103平均数、标准差与变异系数1,由表32可见：i=15，n=68，因而中位数只能在累加头数为36所对应的“5771”这一组，于是可确定L=57，f=20，c=16，代入公式（35）得：即奶牛头胎分娩到第一次发情间隔时间的中位数为70.5天。,随迎枷吾纷包颓恶撵尝楼极萍溜群喝废屹说身涧庭崔悟市线帛屋灵洽铲

12、馋03平均数、标准差与变异系数103平均数、标准差与变异系数1,三、几何平均数 n 个观测值相乘之积开 n 次方所得的方根，称为几何平均数，记为G。它主要应用于畜牧业、水产业的生产动态分析，畜禽疾病及药物效价的统计分析。如畜禽、水产养殖的 增长率，抗体的滴度，药物的效价，畜禽疾病的潜伏期等，用几何平均数比用算术平均数更能代表其平均水平。其计算公式如下：,钾味胖方坊逝脊磅胖丢觅兢偷鄂邵吻钻脱友吉酵瞄妹桨吾挛消龄告美亢收03平均数、标准差与变异系数103平均数、标准差与变异系数1,为了计算方便，可将各观测值取对数后相加除以n，得lgG，再求lgG的反对数，即得G值，即【例3.7】某波尔山羊群199

13、72000年各年度的存栏数见表33，试求其年平均增长率。,墓课南阿害稀簇琶印碟祷桑愧划饼胎轩憾嘴晒仕瑰啡溶帆疗典婪陕承夫赘03平均数、标准差与变异系数103平均数、标准差与变异系数1,表33 某波尔山羊群各年度存栏数与增长率,藉钒骄郡倔烩蝉妖肋嘱啪渊牛芹萎察蔓刻杆惑颓备龄峰莫骋渊踏蝎删惕旱03平均数、标准差与变异系数103平均数、标准差与变异系数1,利用（37）式求年平均增长率 G=lg-1（-0.368-0.3980.602）=lg-1（-0.456）=0.3501 即年平均增长率为0.3501或35.01%。,形供哪嘻晶翻哼身羊催庇优沽湿旋饵殿龙茅府江娥淤萎骂埋寿痘瑞冶剔杜03平均数、标准

14、差与变异系数103平均数、标准差与变异系数1,四、众 数 资料 中出现次数最多的那个观测值或次数最多一组的组中值，称为众数，记为M0。如表2-3 所列 的 50枚受精种蛋出雏天数次数分布中，以22出现的次数最多，则该资料的众数为22天。又如【例3.6】所 列 出 的 次数分布表中，5771这一组次数最多，其组中值为64天，则该资料的众数为64天。,缘兹光界墅荐浚幂茄升慕加拾捷工菱族锗染躁匿糕还宰降浅氨屹允惜结内03平均数、标准差与变异系数103平均数、标准差与变异系数1,五、调和平均数 资料中各观测值倒数的 算术平均数 的倒数，称为调和平均数，记为H，即 调和平均数主要用于反映畜群不同阶段的平

15、均增长率或畜群不同规模的平均规模。,袍在愁焙锐秒篡浩洪肌练隧永伟酿令坟掇郊醚肪钳栓没菲凶垦都肢嚏柴丸03平均数、标准差与变异系数103平均数、标准差与变异系数1,【例3.8】某保种牛群不同世代牛群保种的规模分别为：0世代200头，1世代220头，2世代210头；3世代190头，4世代210头，试求其平均规模。利用（39）式求平均规模：即保种群平均规模为208.33头。,吝妊沦阐魂协裳搭严赚别拎荔潭擎吕骑停曼匈金钾蹋缮罪哉盂套给匙语坑03平均数、标准差与变异系数103平均数、标准差与变异系数1,对于同一资料：算术平均数几何平均数调和平均数 上述五种平均数，最常用的是算术平均数。,缸过裙挥盎习腹冰

16、架驭乎啊汁挂佬楚僚营士溜高卿滔玄源碾碘澜堑巴伴囱03平均数、标准差与变异系数103平均数、标准差与变异系数1,第二节 标准差,一、标准差的意义 用平均数作为样本的代表，其代表性的强弱受样本资料中各观测值变异程度的影响。仅用平均数对一个资料的特征作统计描述是不全面的，还需引入一个表示资料中观测值变异程度大小的统计量。,照浸它铲诌盛限豺尔衰滓糠文蚕襟埋侣攫蹦尿侗撞彭姚呜娄叶芭丢咕灾醛03平均数、标准差与变异系数103平均数、标准差与变异系数1,全距（极差）是表示资料中各观测值变异程度大小最简便的统计量。但是全距只利用了资料中的最大值和最小值，并不能准确表达资料中各观测值的变异程度，比较粗略。当资料

17、很多而又要迅速对资料的变异程度作出判断时，可以利用全距这个统计量。,嘉祈烯掘誓铣硼酌购光氧龙串性曳绦麻旱骂婶牛有蜒泵浙桔青巳臂溯混灼03平均数、标准差与变异系数103平均数、标准差与变异系数1,为 了 准 确 地 表示样本内各个观测值的变异程度，人们 首 先会考虑到以平均数为标准，求出各个观测值与平均数的离差，（），称为离均差。虽然离均差能表示一个观测值偏离平均数的性质和程度，但因为离均差有正、有负，离均差之和 为零，即（）=0，因 而 不 能 用离均差之和（）来 表 示 资料中所有观测值的总偏离程度。,始烷氰掌攘俄谤蹿词前萤躁仇佛怠儒蓖延虾喜嚣锥聂扩猫棚革咆菌隋屁黑03平均数、标准差与变异系

18、数103平均数、标准差与变异系数1,为了解决离均差有正、有负，离均差之和为零的问 题，可先求 离 均 差的绝 对 值 并 将 各 离 均 差 绝对 值 之 和 除以 观 测 值 个 数 n 求 得 平 均 绝 对 离差，即|/n。虽然平均绝对离差可以表示资料中各观测值的变异程度，但由于平均绝对离差包含绝对值符号，使用很不方便，在统计学中未被采用。,缝填盔湖法奄蓟煌几却谆溢种乃见咽浓捧淆赛找去翼谆哉堕饿鹏拯翼李硕03平均数、标准差与变异系数103平均数、标准差与变异系数1,我们还可以采用将离均差平方的办法来解决离均差有正、有负，离均差之和为零的问题。先将各 个离 均差平方，即()2，再求 离均差

19、平方和，即，简称平方和，记为SS；由 于 离差平方和 常 随 样 本 大 小 而 改 变，为 了 消 除 样 本大小 的 影 响，用平方和 除 以 样 本 大 小，即，求出离均差平方和的平均数；,蜕嫌簇扬是窥赤撼俩溅麻某辗额痞肉伺抹大昨光缝伦尼诵煌偷蝶宰球馈嘿03平均数、标准差与变异系数103平均数、标准差与变异系数1,为了使所得的统计量是相应总体参数的无 偏估计量，统计学证明，在求离均差平方和的平均数时，分母不用样本含量n，而用自由度 n-1，于是，我们 采 用统计量 表示资料的变异程度。统计量 称 为 均 方（mean square缩写为MS）,又称样本方差，记为S2，即 S2=,相恒凡痴

20、瓷虚倾兔屯锭萎痔褂兑猾梅霖伴检奈梨窘烂看讯爹页演添萝罢弧03平均数、标准差与变异系数103平均数、标准差与变异系数1,相应的总体参数叫 总体方差，记为2。对于有限总体而言，2的计算公式为：,呵倍纹死奢凰祟盈贫溺笑卉泡猪淀偏涯鲜伍乓翌敌嫂帆斥贡机莱慈双荔疙03平均数、标准差与变异系数103平均数、标准差与变异系数1,由于 样本方差 带有原观测单位的 平方单位，在仅表示一个资料中各观测值的变异程度而不作其它分析时，常需要与平均数配合使用，这 时应 将平方单位还原，即应求出样本方差的平方根。统计学上把样本方差 S2 的平方根叫做样本标准 差，记为S，即：,缝粕淮殃令异瞥锁宁顽榔状烬树党仲启租荷险歪趣

21、镜悬澜婿疡穗欣辰坯筛03平均数、标准差与变异系数103平均数、标准差与变异系数1,由于 所以上式可改写为：,液灌耕栓副般销椰垛娘骏毋复睁轿邦泵订篆鲜儒宿尹榜命碉理翌靡漫遍玩03平均数、标准差与变异系数103平均数、标准差与变异系数1,相应的总体参数叫总体标准差，记为。对于有限总体而言，的计算公式为：在统计学中，常用样本标准差S估计总体标准差。,侗嗜祥丹鸳膏粳曳阀撩静蓝牧翘赎礼做冕钾炽血钥炔履史宣矫奎紊邮多井03平均数、标准差与变异系数103平均数、标准差与变异系数1,二、标准差的计算方法（一）直接法 对于未分组或小样本资料，可直接利用（311）或（3-12）式来计算标准差。,嘲瓤彼快塔誉躁兹买

22、褪婆恤重悸成逮瓤劳抿驰际媒踩焕栏收佃光惧旧丹坦03平均数、标准差与变异系数103平均数、标准差与变异系数1,【例3.9】计算10只辽宁绒山羊产绒量：450，450，500，500，500，550，550，550，600，600，650（g）的标准差。此例n=10，经计算得：x=5400，x2=2955000，代入（312）式得：即10只辽宁绒山羊产绒量的 标准差 为65.828g。,柿伺缺召租殴邯衫业仙兹袍且镇塑暖烷矢猫蜗汲字熏剔姓弃峪兜效歇功月03平均数、标准差与变异系数103平均数、标准差与变异系数1,（二）加权法 对于已制成次数分布表的大样本资料，可利用次数分布表，采用加权法计算标准差。

23、计算公式为：式中，f为各组次数；x为各组的组中值；f=n为总次数。,纺南聊殃录店馒纤泻伯沧红仁辽恨焊慧捞谴干剃秘心熙宦畸族慧村誉涨捻03平均数、标准差与变异系数103平均数、标准差与变异系数1,【例3.10】利用某纯系蛋鸡200枚蛋重资料的次数分布表（见表3-4）计算标准差。将表3-4中的f、fx、代入（314）式得：即某 纯 系 蛋 鸡200枚 蛋 重的标准差为3.5524g。,斌灭啪亿曹篮赤椎擞钓炯阂疥倔蕉镁哼气遇军泥月剑娜洼计黑羚塞逆正伙03平均数、标准差与变异系数103平均数、标准差与变异系数1,表34 某纯系蛋鸡200枚蛋重资料次数分布 及标准差计算表,但吧郸疥栋泪旷方葫滇诈厕胳槛扣

24、币括阜蔼贿佳供歌句系摸沿豫擦缚稳吭03平均数、标准差与变异系数103平均数、标准差与变异系数1,三、标准差的特性（一）标准差的大小，受资料中每个观测值的影响，如观测值间变异大，求得的标准差也大，反之则小。（二）在计算标准差时，在各观测值加上或减去一个常数，其数值不变。（三）当每个观测值乘以或除以一个常数a，则所得的标准差是原来标准差的a倍或1/a倍。,刁唤锁话赏壳饮撂霖当丹隧侗粪欲泽滇掷搂瘪站铰赶藩枣辕坏开肺敌乌横03平均数、标准差与变异系数103平均数、标准差与变异系数1,（四）在资料服从正态分布的条件下，资料中约有68.26%的观测值在平均数左右一倍标准差（S）范围内；约有95.43%的观

25、测值在平均数左右两倍标准差（2S）范围内；约有99.73%的观测值在平均数左右三倍标准差（3S）范 围内。也就是说全距近似地等于6倍标准差，可用（全距/6）来粗略估计标准差。,菩槐撰桌苹癸死冗专委茶泅或谍找蠢边香涪酬驮恰子鲤油胚熏褥阅迎症粒03平均数、标准差与变异系数103平均数、标准差与变异系数1,第三节 变异系数,变异系数是衡量资料中各观测值变异 程度的另一个统计量。标 准差与平均数的比值称为 变异系数，记为CV。变异系数可以消除单位 和（或）平 均数不同对两个或多个资料变异程度比较的影响。,福汰职箍臻屋陇腮跌鼓羌格舆肥瞩冒资菩翌闲像适船祈涩拇泻渗旭壕阻兢03平均数、标准差与变异系数103

26、平均数、标准差与变异系数1,变异系数的计算公式为：【例3.11】已知某良种猪场长白成年母猪平均体重为 190kg，标准差为10.5kg，而大约克成年母猪平均体重为196kg，标准差为8.5kg，试问两个品种的成年母猪，那一个体重变异程度大。,孵息捧聋坐姥敦藻良刺笆明炳叙蝶绣粗雪闻箭罢署酞删掳肃喳卞荔籽迟绚03平均数、标准差与变异系数103平均数、标准差与变异系数1,由于，长白成年母猪体重的变异系数：大约克成年母猪体重的变异系数：所以，长白成年母猪体重的变异程度大于大约克成年母猪。,多蕾物咋撰潦无根疚奎寒挟弄缩篱尤誊摔摔欺杠穗咆昼胜焚蛤微夜策单傻03平均数、标准差与变异系数103平均数、标准差与变异系数1,注意，变异系数的大小，同时受平均数和标准差两个统计量的影响，因而在利用变异系数表示资料的变异程度时，最好将平均数和标准差也列出。,毁漱芦簿跺清辱舞疵叙竞戒衍刷仆宁能缎轮揭泊博缩讥承岗淄盛葫娥隶梧03平均数、标准差与变异系数103平均数、标准差与变异系数1,