概率论与数理统计第22讲.ppt

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1、1,概率论与数理统计第22讲,本文件可从网址http:/上下载,2,3,4,5,分位数设随机变量X的分布函数为F(x),对给定的实数a(0Fa=a,则称Fa为随机变量X分布的水平a的上侧分位数.,6,若实数Ta满足不等式P|X|Ta=a,则称Ta为随机变量X分布的水平a的双侧分位数.,7,区间估计,8,基本概念,用点估计来估计总体参数,即使是无偏有效的估计量,也会由于样本的随机性,从一个样本算得估计量的值不一定恰是所要估计的参数真值.而且,即使真正相等,由于参数值本身是未知的,也无从肯定这种相等.,9,到底二者相差多少呢?这个问题换一种提法就是,根据估计量的分布,在一定的可靠程度下,指出被估计

2、的总体参数所在的可能数值范围.这就是参数的区间估计问题.,10,区间估计的具体做法是,找两个统计量,11,区间估计示意图,1-a,a/2,a/2,1-a为置信水平,置信概率或置信度a为检验水平,12,总体期望值E(X)的区间估计,第一种情形:方差已知,对E(X)进行区间估计,13,1.总体分布未知,利用切贝谢夫不等式进行估计.对任何随机变量X(不论它的分布如何),只要E(X),D(X)存在,对任给的正数e0,满足,14,15,从总体X中抽取样本(X1,X2,.,Xn),16,17,18,若要求,19,20,一般地,若要求,21,22,切贝谢夫区间估计示意图,1-a,a/2,a/2,23,例 某

3、灯泡厂某天生产了一大批灯泡,从中抽取了10个进行寿命试验,得数据如下(单位:小时):1050,1100,1080,1120,1200,1250,1040,1130,1300,1200已知其方差D(X)=8,试找出灯泡的平均寿命区间(a=5%).,24,25,因为切贝谢夫不等式对任何分布的随机变量都成立,所以用这种方法估计E(X)是普遍适用的.但是这种办法比较粗糙,精度不高.对某些具体类型的随机变量还可以有更精确的估计形式,下面介绍正态总体寻找置信区间的方法.,26,2.正态总体,27,28,则,29,30,31,例如,当a=0.05时,ua/2=1.96,有,32,查表示意图,x,0,a/2,

4、1-a/2,ua/2,33,例 某灯泡厂某天生产了一大批灯泡,假设灯泡的寿命X服从正态分布,XN(m,8),从中抽取了10个进行寿命试验,得数据如下(单位:小时):1050,1100,1080,1120,1200,1250,1040,1130,1300,1200,试找出平均寿命区间(a=0.05).,34,解 因为a=0.05,所以ua=1.96,而n=10,s=2.8284,35,例 已知某炼铁厂的铁水含碳量在正常生产情况下服从正态分布,其方差s2=0.1082.现在测定了9炉铁水,其平均含碳量为4.484.按此资料计算该厂铁水平均含碳量的置信区间,并要求有95%的可靠性.,36,解 设该厂

5、铁水平均含碳量为m,已知a=5%,所以ua/2=1.96,m的置信系数为95%的置信区间是,37,3.一般总体大样本下E(X)的区间估计,根据中心极限定理,对于不是正态分布的一般总体X(E(X)=m,D(X)=s2),当样本容量相当大时,样本均值渐近地服从正态分布,故大样本情况下,对于一般总体仍可用正态总体的办法对E(X)进行较精确的区间估计.,38,在n=30时,就可把样本均值看作近似服从正态分布N(m,s2/n),当然n越大越好.,39,第二种情形:方差D(X)未知,对E(X)的区间估计,如果方差D(X)未知,大样本下可用S2来作为D(X)估计值,仍可按正态分布的办法来进区间估计,40,4

6、.方差未知的正态总体,小样本下E(X)的区间估计设样本(X1,.,Xn)来自正态总体N(m,s2),由于s2未知,则令,41,对于给定的a和n-1查t分布临界值表确定 ta/2使,42,即,43,44,例 假定初生婴儿(男孩)的体重服从正态分布,随机抽取12名婴儿,测体重为3100,2520,3000,3000,3600,3160,3560,3320,2880,2600,3400,2540.试以95%的置信系数估计新生男婴儿的平均体重(单位:克).,45,解 设新生男婴儿体重为X克,由于X服从正态分布,方差s2未知,因此要查t分布表.对a=0.05,因样本数n=12,则查自由度为11的t分布表

7、,得ta/2(12-1)=2.201,46,再计算,47,48,(二)小样本下正态总体方差s2的估计,49,设样本(X1,.,Xn)来自正态总体N(m,s2).则c2=(n-1)S2/s2服从具有n-1个自由度的c2分布,对于给定的a,查表可以确定a及b,使得,50,51,在确定a,b时,一般是取,52,记,则方差s2的置信区间为,53,而标准差的置信区间为,54,例 假定初生婴儿(男孩)的体重服从正态分布,随机抽取12名婴儿,测体重为3100,2520,3000,3000,3600,3160,3560,3320,2880,2600,3400,2540.对婴儿体重的方差进行区间估计(a=0.05),55,解 计算可得(n-1)s21549467,a=0.05,n-1=11,查附表五,得a=3.82,b=21.9,a,b满足,56,因此得s2的置信区间为,57,作业 习题6-4 第123页开始第1,3,4,5,6,