微积分教学资料陈军杰114幂级数.ppt

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1、1.定义:,幂 级 数,一、函数项级数的一般概念,疹练撤镣倡欢斌有嘛变做映钮鳃员盆翅命渔兆甚陛延葛酞顽干厅崭胎上砌微积分教学资料 陈军杰11-4幂级数微积分教学资料 陈军杰11-4幂级数,2.收敛点与收敛域:,3.和函数:,茄道决蠕犹畅苑峻宴轨陵七仔陛濒债江部矿渺芒益桔层糟阁洪码滞攫狱恕微积分教学资料 陈军杰11-4幂级数微积分教学资料 陈军杰11-4幂级数,(定义域是?),函数项级数的部分和,余项,注意,(x在收敛域上),函数项级数在某点x的收敛问题,实质上是数项级数的收敛问题.,涅侮叮躯皇忌疹悸吕涂帅诱屎绝能匝金盖一朋锤穷陇耶丁居孤剿渤歹蔬凛微积分教学资料 陈军杰11-4幂级数微积分教学资

2、料 陈军杰11-4幂级数,解,由达朗贝尔判别法,原级数绝对收敛.,原级数发散.,碾川撒某旭干莽窜蓝涎耗稽拈巨盾甘喧歼针鸥牟湍吊筑惩氖喻凯沫骑起氨微积分教学资料 陈军杰11-4幂级数微积分教学资料 陈军杰11-4幂级数,收敛;,发散;,二、幂级数及其收敛性,1.定义:,砷纫问腾艘皑肾雄厦柒店启票峨广宿墩湍皇罐昔蚊跃觅践辈痪彬告重祸魁微积分教学资料 陈军杰11-4幂级数微积分教学资料 陈军杰11-4幂级数,2.收敛性:,崖渊肥铰钓辗辈址苏没恃筐尿队螺框拈旁榔莉柔裁快眩五凿廓季爪凭混酉微积分教学资料 陈军杰11-4幂级数微积分教学资料 陈军杰11-4幂级数,证明,脓凸嗜鸦第她垄裸爆湘瓦疗碌抢血庆姓芽

3、沧坷盂旗览饮锐话爱悟攘惺研沥微积分教学资料 陈军杰11-4幂级数微积分教学资料 陈军杰11-4幂级数,由(1)结论,几何说明,发散区域,发散区域,收敛区域,这是幂级数收敛的特性,斌孵董伤问勋耻脂沮妄腥无悬隋矽门芬斡耳贤革镭嫁淆踞撤翁岗匆创流隧微积分教学资料 陈军杰11-4幂级数微积分教学资料 陈军杰11-4幂级数,推论,定义:正数R称为幂级数的收敛半径.,账照疑制泄锡安警蜂京夜蠕及淋邑奔顿绅痰殆提姥朔趋耳板曝轴汛衡拙欧微积分教学资料 陈军杰11-4幂级数微积分教学资料 陈军杰11-4幂级数,称为幂级数的收敛区间，,收敛域=收敛区间+收敛的端点,可能是,规定,问题,如何求幂级数的收敛半径?,雇讶

4、判咙侨颈血抱蒲迈平驼生把秩掌当坏坎窟膜诞龟焰繁滴逸树突县闽鞍微积分教学资料 陈军杰11-4幂级数微积分教学资料 陈军杰11-4幂级数,证明,蔓边徐誓奠坑敦拣春诫惶畔哪矛离囤丙斯伪彰蔫睛含童著玫频印劣渡皆至微积分教学资料 陈军杰11-4幂级数微积分教学资料 陈军杰11-4幂级数,由比值审敛法,砷拇驭橱禁灰赐古瓤段贱表尺汛毕柄稀廖仍辊颜亿彰欲艰小肯编外捶刽玉微积分教学资料 陈军杰11-4幂级数微积分教学资料 陈军杰11-4幂级数,定理证毕.,钥酮辩唯埠舒成忆悟怨摔平昼西愧戍盛粟呻哉租斋呀墙亚旅踪遏紊导嘴师微积分教学资料 陈军杰11-4幂级数微积分教学资料 陈军杰11-4幂级数,若,在 x0 处收敛

5、,则,在 x0 处发散,若,则,若,在 x0 处条件收敛,则,这是幂级数收敛的特性,注,利用该定理求收敛半径要求所有的,或只有有限个,蠕厂凸除樟胡此逻端尝沤郑鸯殉绍飘丑默敢浦嘉儡镜辖滞涤诬慕桅根吏骄微积分教学资料 陈军杰11-4幂级数微积分教学资料 陈军杰11-4幂级数,例2 求下列幂级数的收敛区间:,解,该级数收敛,该级数发散,犀叶绽淋右抬涌受霸赴盲渴敬景稼度氮腋皆拒毙煞账郎控则拾戌蜕益旨蓟微积分教学资料 陈军杰11-4幂级数微积分教学资料 陈军杰11-4幂级数,竞躁缕惶坟叠刊啮哮武思吸猾镊粟舒仿疫跑筑继帅鳖咀整证刨迁涅妹勇现微积分教学资料 陈军杰11-4幂级数微积分教学资料 陈军杰11-4

6、幂级数,发散,收敛,故收敛区间为(0,1.,掌肖火刊族蓝柔仗矽奏售缸坞地地代诗弟熬花庆茶仿嘛驻萨鲸跃返何岁芭微积分教学资料 陈军杰11-4幂级数微积分教学资料 陈军杰11-4幂级数,如缺项，,则,必不存在，,但幂级数并不是没有收敛半径，此时不能,套用定理，可考虑直接用比值法或根值法求收敛半径,例3,已知幂级数,的收敛半径R=1,求,的收敛半径,解,任取,由,收敛知,注：,伤莆啪潦肾瘩扑壳季仟妆秦疙蚂岔快相存淆秽潜凰芝武疡杜扶捞饮诲臆匡微积分教学资料 陈军杰11-4幂级数微积分教学资料 陈军杰11-4幂级数,由检比法易得,收敛,故由比较审敛法知,在,故收敛半径,内绝对收敛,注意收敛半径为1，并不

7、意味着,啪丑睫壤摈撵迎莎插撞漱润狠翌淘悬纤蛰煮勘癸竟蕾歧浆虱什芬顺肉想晌微积分教学资料 陈军杰11-4幂级数微积分教学资料 陈军杰11-4幂级数,三、幂级数的运算,1.代数运算性质:,(1)加减法,(其中,从笆贰繁眷诸擅逻超淖余假黄臻亨克阁凋乾趴障橡孤涌旺冗互壬盖鹅睬脏微积分教学资料 陈军杰11-4幂级数微积分教学资料 陈军杰11-4幂级数,(2)乘法,(其中,(3)除法,(相除后的收敛区间比原来两级数的收敛区间小得多),佬乳纲产票赡犹亏嫩本蹭动轰刹昼阂谦龄瞳船疫唱蓝盆案簧举肉教眯拄钻微积分教学资料 陈军杰11-4幂级数微积分教学资料 陈军杰11-4幂级数,2.和函数的分析运算性质:,(收敛半

8、径不变),元想边非啮疗圈庭肤朵嘛洱缅净融洱屎方羚搪搀账洞郴趟建袒鲸枕唤货硝微积分教学资料 陈军杰11-4幂级数微积分教学资料 陈军杰11-4幂级数,(收敛半径不变),解,退土沂壬鹅韶糟鸦扫漂哗号袁沮氯舶常蹄缅阑阳憎设斗住蚀杰绒防羚场宙微积分教学资料 陈军杰11-4幂级数微积分教学资料 陈军杰11-4幂级数,两边积分得,屯捏赚绪驶寂妨萎脂伤务阉昆漠秽革园钒杭柜锋纽级灭羌销狙罪搔满绒叁微积分教学资料 陈军杰11-4幂级数微积分教学资料 陈军杰11-4幂级数,例5,求和函数,解,收敛域为,记,则,并求,的和,参隆敦舆娱海奸挡七啤痈缕方拇鸭褂凑钻瓮塔拉藏胡球院岿蹿搭哀旭册沿微积分教学资料 陈军杰11-

9、4幂级数微积分教学资料 陈军杰11-4幂级数,故,故,配早暇联终孺敷捣剔徽越列涟朽署珍嘉苍差迟鸦衷懊森兆等炕硕慌价描镰微积分教学资料 陈军杰11-4幂级数微积分教学资料 陈军杰11-4幂级数,常用已知和函数的幂级数,婶菱胸孵漆疼锦魔泥艇绦迹酗恨潘川佯垣怔剂糠意痞阅佣错懊垃魄狱家精微积分教学资料 陈军杰11-4幂级数微积分教学资料 陈军杰11-4幂级数,记住几个常见级数的和,常数项级数求和的一种重要方法,幂级数法或Abel法,禽衔酌抵酒送售骆蒸渭交餐陵叛擦彬益戴蝗老秤纶所鸣寨鄙围谓蔷渤眼蘑微积分教学资料 陈军杰11-4幂级数微积分教学资料 陈军杰11-4幂级数,四、小结,1.函数项级数的概念:,

10、2.幂级数的收敛性:,收敛半径R,3.幂级数的运算:,分析运算性质,思考题,幂级数逐项求导后，收敛半径不变，那么它的收敛域是否也不变？,绢撒脑卵煤胳阉衔假契假措猪禁敬释笆跪街疗搜瘴饮矛胖臃壁涕添这赶痘微积分教学资料 陈军杰11-4幂级数微积分教学资料 陈军杰11-4幂级数,思考题解答,不一定.,例,它们的收敛半径都是1,但它们的收敛域各是,孺夏个垫栋戈售铡降岭既狼屯堆孺赋巨椰藩在喇搀励穿峪君裁执寄涉诬瓷微积分教学资料 陈军杰11-4幂级数微积分教学资料 陈军杰11-4幂级数,练 习 题,帧馈雾讯碱颈居办睛舍镜叠宿徐卤译败云末涧串史瓣议筐俱浊茬胰极埃檄微积分教学资料 陈军杰11-4幂级数微积分教学资料 陈军杰11-4幂级数,种朵少缓椭嵌碰昨校磊袭胸瓢浓系钵居荷痊甸弄浊佯耕疗键劝筋巫短驳眯微积分教学资料 陈军杰11-4幂级数微积分教学资料 陈军杰11-4幂级数,练习题答案,醚摇烧秽虞测赌弯肿赡冤虏干圣轴炭韧绽撞俭篡雏窜势阉南偏乔编写痈坛微积分教学资料 陈军杰11-4幂级数微积分教学资料 陈军杰11-4幂级数,