反常积分与含参变量的积分.ppt

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1、第十二章 反常积分与含参变量的积分,12.1 无穷积分,12.2 瑕积分,12.3 含参变量的积分,第一节 无穷积分,&,无穷积分收敛与发散的概念,&,无穷积分与级数,&,无穷积分的性质,&,无穷积分的敛散性判别法,一、无穷限的广义积分,类似定义,注：若 f(x)的原函数为 F(x),无穷积分的牛顿,莱布尼兹公式写作,证,由函数极限的柯西准则，得,定理 11.1（Cauchy准则）,二、无穷积分的性质,性质1,性质2,若f在任何有限区间a,u上可积，ab,则,推论,证,性质3,若f在任何有限区间a,u上可积，且,证,再由柯西准则，,证毕。,绝对收敛的无穷积分必是收敛的，但反之不然。,性质4,无

2、穷积分有类似的分部积分法和换元法,观察下表：,无穷积分,与广义调和级数,都收敛，,都发散.,这说明无穷积分与级数之间存在着内在的联系.,对,三、无穷限广义积分与级数的关系,定理.无穷积分,收敛,证明提示:,级数,对任意数列,收敛于同一个数，且,四、无穷积分的判别法,定理1,注：由于 关于上限u是单调递增的,证：,解,由,定理3（Cauchy判别法）,设f定义于 且在任何有限区间 上可积，则有：,设f定义于 且在任何有限区间a，u上可积，且：,推论（Cauchy判别法极限形式）,例,解,反常积分发散,例5,解,反常积分收敛.,定理（积分第二中值定理）,设函数f在a,b上可积，,（i）若函数g在a

3、,b上减，,（ii）若函数g在a,b上增，,推论,设函数f在a,b上可积，若g为单调函数，,推论,设函数f在a,b上可积，若g为单调函数，,证：,若g为单调递减函数，,则h为非负、递减函数。,若g为单调递增函数，只须令,同样可证得。,证毕。,狄利克雷判别法与阿贝尔判别法,定理（狄利克雷（Dirichlet)判别法）,证,又因g为单调函数，,利用积分第二中值定理，,根据柯西准则，证得 收敛。,定理（阿贝尔（Abel）判别法）,证,由狄利克雷（Dirichlet)判别法，,解：,（1）当p1时，,由比较判别法,请同学记忆本题结果。,由狄利克雷（Dirichlet)判别法，,例3 证明下列无穷积分都

4、是条件收敛的：,解,由例1，得条件收敛。,由（1），得条件收敛。,作 业,P275.3 4（2、4、6）5（2、3）,第二节 瑕积分,&,瑕积分收敛与发散的概念,&,瑕积分敛散性判别法,一、无界函数的广义积分-瑕积分,定义中c为瑕点，以上积分称为瑕积分.,证,注意,广义积分与定积分不同，尤其是瑕积分，它与定积分采用同一种表达方式，但其含义却不同，遇到有限区间上的积分时，要仔细检查是否有瑕点。,广义积分中的N-L公式，换元积分公式、分部积分公式仍然成立，不过代入上、下限时代入的是极限值。,如 无穷限积分,再如 瑕积分,瑕积分和无穷积分之间的关系式-可以相互转化,二、瑕积分的性质与收敛判别法,一

5、瑕积分的性质,假设,为函数,的瑕点.,瑕积的柯西收敛准则:,定理11.1,收敛,即,定理11.5,收敛,性质1,若,和,都收敛,为常数,则,也收敛,且,性质1,若,和,都收敛,为常数,则,也收敛,且,性质2,若,在任何有限区间,上可积,则,与,同时收敛或同时发散,且有,性质2,若,为,的瑕点,则,与,同时收敛或同时发散,且有,性质3,若,在任何有限区间,上可积,且有,收敛,则,亦必收敛,并有,性质3,若,在任何有限区间,上可积,且有,收敛,则,亦必收敛,并有,绝对收敛的瑕积分,它自身也一定收敛.,但是它的逆命题一般不成立.,称收敛而不绝对收敛者为条件收敛.,二 比较判别法,定理112(比较法则

6、),设定义在,上的两个函数,和,都在任何有限区间,上可积,且满足,则当,收敛时,收敛.,(或者,当,发散时,必发散).,定理116(比较法则),设,同为两个函数,和,的瑕点,且在任何区间,上可积,且满足,则当,收敛时,收敛.,(或者,当,发散时,必发散).,推论1,设,定义于,且在任何有限区间,上可积，则有:,(i),当,且,时,收敛;,(ii),当,且,时,发散.,推论1,设,定义于,且在任何有限区间,上可积，则有:,(i),当,且,时,收敛;,(ii),当,且,时,发散.,比较法则的极限形式,推论2,若,和,都在任何,上可积,且,则有:,(i),当,时,与,同敛态;,(ii),当,时，由,

7、收敛可推知,也收敛;,(iii),当,时，由,发散可推知,也发散.,推论2,若,且,则有:,(i),当,时,与,同敛态;,(ii),当,时，由,收敛可推知,也收敛;,(iii),当,时，由,发散可推知,也发散.,柯西判别法,选用,作为比较对象,推论3,设,定义于,且在任何有限区间,上可积,且,则有:,(i)当,时,收敛;,(ii)当,时,发散.,推论3,设,定义于,且在任何有限区间,上可积,且,则有:,(i)当,时,收敛;,(ii)当,时,发散.,例1,讨论下列瑕积分的收敛性:,2),2),瑕点为,又,故,发散.,三 狄利克雷判别法与阿贝尔判别法,判别一般瑕积分收敛时,也有相应的狄利克雷判别,

8、狄利克雷判别法,阿贝尔（Abel）判别法,若 在上有界，,则收敛,若以a为瑕点的瑕积分收敛，,收敛,只叙述如下,由于证明与无穷积分的类似，,法与阿贝尔判别法.,故在此,当,时,单调趋于,在,上单调,有界，,则,首页,含参量积分：,称为格马(Gamma)函数（写作函数）.,它们在应用中经常出现，统称为欧拉积分，,称为贝塔(Beta)函数（写作B函数）.,下面分别讨论这两个函数的收敛域,四 函数与函数,首页,1、函数,函数,2.当 s-1 0 时，x=0 为瑕点;,写函数为如下两个积分之和：,首页,当 s 1 时，为正常积分，当 0 s 1时收敛.,所以函数,对任何实数 s，都是收敛的，特别当 s

9、 0 时收敛.,2、B函数,首页,当 p 1 时，I(p,q)为正常积分，当 0 p 1时收敛.,当 q 1 时，J(p,q)为正常积分，当 0 q 1时收敛.,所以，当 p 0,q 0 时,B(p,q)收敛.,即B(p,q)函数的定义域为 p 0,q 0,第三节 含参量积分,&,含参量有限积分,&,含参量的无限积分,1 含参量正常积分,对多元函数其中的一个自变量进行积分形成的函数称为含参量积分,它可用来构造新的非初等函数.含参量积分包含正常积分和非正常积分两种形式.,一、含参量正常积分的定义,返回,五、例题,四、含参量正常积分的可积性,三、含参量正常积分的可微性,二、含参量正常积分的连续性,

10、一、含参量正常积分的定义,续函数(图19-1),或简称为含参量积分.,二、含参量正常积分的连续性,在 a,b上连续.,只要,就有,所以由(3),(4)可得,在c,d 上连续.,注1 对于定理19.1的结论也可以写成如下的形式:,都有,这个结论表明,定义在矩形区域上的连续函数,其极,限运算与积分运算的顺序是可以交换的.,为任意区间.,注2 由于连续性是局部性质,定理19.1中条件,证 对积分(6)用换元积分法,令,当 y 在c(x)与d(x)之间取值时,t 在 0,1 上取值,且,所以从(6)式可得,由于被积函数,(6)所确定的函数 F(x)在a,b连续.,三、含参量正常积分的可微性,则函数,区

11、间的端点,则讨论单侧函数),则,就有,其值含于 p,q内的可微函数,则函数,证 把 F(x)看作复合函数:,由复合函数求导法则及变动上限积分的性质,有,注 由于可微性也是局部性质,定理19.3 中条件 f 与,四、含参量正常积分的可积性,由定理19.1与定理19.2推得:,上连续,则 I(x)与 J(x)分别在,求积顺序不同的积分:,与,为书写简便起见,今后将上述两个积分写作,与,表示求积顺序相反.它们统称为累次积分.,连续,则,证 记,其中,定理19.3,取 就得到所要证明的(8)式.,例5 求,解 因为,条件,所以交换积分顺序得到,首页,例7,解:,复习思考题,1.参照定理19.1的证明,

12、定理19.1中条件是否可减,弱为:,(2),验证你的结论.,2 含参量反常积分,都收敛,则它的值是 在区间 上取值的函数,表为,由反常积分收敛的定义,其中 N 与 x 有关.如果存在一个与,无关的,使得该不等式成立，就称反常积,分在区间 a,b 上一致收敛,使得,对于含参量反常积分 和函数,则称含参量反常积分 在 上一致收敛于.,充要条件是,的充要条件是,例1 讨论含参量反常积分,的一致收敛性.,于是,而,一致收敛的柯西准则:,含参量反常积分 在 上一致收敛的充要,一致收敛的充要条件;,含参量反常积分 在 上一致收敛的充要,条件是:对任一趋于 的递增数列(其中),函数项级数 在 一致收敛.,魏

13、尔斯特拉斯（Weierstrass）判别法,若,一致收敛。,证明,因为 收敛，所以由广义积分一致收敛的柯西准则，有,且 收敛，则 关于,从而,证,因为，有,并且反常积分,收敛,所以,狄利克雷判别法;,证,上一致收敛.,阿贝尔判别法;,证,因为，反常积分,收敛，,从而对于参量 y 它在 0,d 上一致收敛，,函数,对每个 y，关于变量 x,单调减少，且在 0,d 上一致有界：,故由阿贝尔判别法，知,在 0,d 上一致收敛,1.连续性定理,设 在 上连续，关于 在 上一致收敛，则一元函数 在 上连续。,证明,因为 在 内一致收敛，所以,因此，当 时，,又 在 上连续，所以作为 的函数在 连续，于是

14、,从而，当 时，有,定理证毕。,2.积分顺序交换定理,设 在 上连续，关于在 上一致收敛，则 在可积，并且,3.积分号下求导的定理,设 在 上连续，收敛，关于 在 上一致收敛，则,在 可导，且,证明,因为 在 连续，由连续性定理,在 连续，,沿区间 积分，由积分顺序交换定理，得到,在上式两端对 求导，得,定理证毕。,连续性,即:,可微性,可微性定理表明在定理条件下,求导运算和积分运算,可以交换.即,可积性,表明在一致收敛的条件下,积分可交换顺序,(2),含参量反常积分一致收敛的定义;,(1),含参量反常积分的定义;,(3),含参量反常积分一致收敛的判别;,一致收敛的柯西准则:,一致收敛的充要条

15、件;,魏尔斯特拉斯M判别法;,阿贝耳判别法;,狄利克雷判别法;,(4),含参量反常积分的性质;,(i),连续性;,(ii),可微性;,(iii),可积性;,3 欧 拉 积 分,在本节中我们将讨论由含参量反常积分,定义的两个很重要的非初等函数,返回,含参量积分：,称为格马函数.,函数可以写成如下两个积分之和：,的无界函数反常积分(可用柯西判别法推得);,时是收敛的无穷限反常积分(也可用柯西,上连续.,用上述相同的方法考察积分,同理可证,2.递推公式,对下述积分应用分部积分法,有,在 上可导,且,可以得到,么在其他范围内的函数值可由它计算出来.,若s为正整数n+1,则(4)式可写成,二、B 函 数,含参量积分：,称为贝塔(Beta)函数(或写作 B 函数).,注 与前讨论的单参变量的含参数积分不同,B 函数,是含两元的含参量积分，但讨论的步骤与方法是完,全类似的.,这两个无界函数反常积分都收敛.所以函数,的定义域为,2.对称 性,3.递推公式,即,对任何正实数 p,q 也有相同的关系:,这个关系式将在第二十一章8 中加以证明.,复习思考题,函数,上连续.,