反函数及其图像.ppt

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1、反函数,如果在某个变化过程中有两个变量X和Y,并且对于X在某个范围内的每一个确定的值，按照某个对应法则,Y都有唯一确定的值和它对应,那么Y就是X的函数，X就叫做自变量，X的取值范围称为函数的定义域，和X的值对应的Y的值叫做函数值，函数值的集合叫做函数的值域。,函数的定义,记为：y=f(x),R,R,唯一确定,y,x,y,完成下列填空：,-1,+),0,+),唯一确定,y,反函数,记为：,反函数的一般定义参见课本P.60第二段。,的反函数，记为：,在(1)中，我们称新函数,为原函数y=f(x)=2x的,改写为：,改写为：,反函数与原函数的关系：,原函数,表达式：,定义域：,值域：,y=f(x),

2、A,C,反函数,y=f 1(x),C,A,例.求下列函数的反函数：,解：,（1）,(2),(3),(4),2.求反函数的步骤,概念表明,也就是说,反函数定义是一种生成性定义，体现了反函数的获得的过程,y=f(x)(xA),x=,(yC),反解,判断,x=(yC),对调,y=(xC),知识应用与解题研究,反函数的练习：,1 x 0,解：,0,1,0 y 1,解得,(1 x 0),由,(1 x 0)的反函数,是：,(0 x 1),0 x2 1,01 x2 1,.,5、是否任何一个函数都有反函数？,（1）函数 的定义域是_，值域是_。如果由 解出x=_,对于y在0,+)上任一个值，通过式子 x在R上

3、有_值和它对应，故x_y的函数。,这表明函数,没有反函。,并非所有的函数都有反函数！,问：怎样的函数才具有反函数呢？,连续的单调函数一定有反函数,互为反函数图像间的关系,例1.求函数y=3x-2的反函数,并画出原函数和反函数的图象.,解 y=3x-2,函数y=3x-2(xR）的反函数为 y=,x=,xR,二、新授课,（一）例题讲解,已知函数的图像利用对称性可以画出它的反函数的图像。,应用思路：,原函数和反函数的关系,原函数和其反函数的图象关于直线y=x对称，若两个函数的图象关于直线y=x对称，则它们互为反函数.,原函数过M(a,b),则 y=f-1(x)过M(b,a).,总结：,M(a,b),

4、与M(b,a)两点关于直线y=x对称.,注意：,例2.求函数y=x3(xR)的反函数,并画出原来的函数和它的反函数的图象.,解：,（二）反函数中应注意的几个问题,y=f(x)与x=f-1(y)是定义上的反函数，它们的图像相同。,y=f(x)与y=f-1(x)是应用上的反函数，它们的图像关于直线y=x对称。,辨清y=f(x)、y=f-1(x)、x=f(y)、x=f-1(y)间的关系,两图像关于直线y=x对称，不一定是互为反函数的图像。,互为反函数在各自的定义域内单调性一致。,y=f(x+1)的反函数不是y=f-1(x+1),而是y=f-1(x)-1,y=f(x)存在反函数，则f-1f(x)=x,

5、ff-1(x)=x,为研究“原函数图象与其反函数图象的交点是否在直线y=x上”这个课题,我们可以分为三步进行研究.,证明:设点(a,b)是f(x)的图象与其反函数的任一交点,由于原函数与反函数图象关于直线y=x对称,则点(b,a)也是f(x)的图象与其反函数图象的交点,且有b=f(a),a=f(b)若a=b时,交点显然在直线y=x上.若ab且f(x)是增函数时,有f(b)f(a),从而有ba,矛盾;若ba且f(x)是增函数时,有f(a)f(b),从而有ab矛盾.故有a=b.若ab且f(x)是减函数时,有f(b)f(a),从而有ab,成立，此时交点不在直线y=x上;同理ba且f(x)是减函数时,有f(a)f(b),从而有ab,成立，此时交点不在直线y=x上,1、如果两个函数的图象有交点，则交点或者在直线y=x上或者关于直线y=x对称；2、如果原函数是定义域内的单调递增函数，它的图象如果与其反函数的图象相交，那么交点一定在直线y=x上;3、如果函数f(x)是减函数,并且f(x)的图象与其反函数的图象有交点,则交点不一定在直线y=x上.,上,