相关与回归分析 .PPT
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1、第7章 相关与回归分析,第一节 变量间的相关关系 第二节 一元线性回归第三节 多元线性回归第四节 可化为线性回归的曲线回归,学习目标,1.掌握相关系数的含义、计算方法和应用2.掌握一元线性回归的基本原理和参数的最小二乘估计方法掌握回归方程的显著性检验利用回归方程进行预测掌握多元线性回归分析的基本方法了解可化为线性回归的曲线回归用 Excel 进行回归分析,第一节 变量间的相关关系,一.变量相关的概念二.相关系数及其计算,变量相关的概念,变量间的关系(函数关系),是一一对应的确定关系设有两个变量 x 和 y,变量 y 随变量 x 一起变化,并完全依赖于 x,当变量 x 取某个数值时,y 依确定的
2、关系取相应的值,则称 y 是 x 的函数,记为 y=f(x),其中 x 称为自变量,y 称为因变量各观测点落在一条线上,变量间的关系(函数关系),函数关系的例子某种商品的销售额(y)与销售量(x)之间的关系可表示为 y=p x(p 为单价)圆的面积(S)与半径之间的关系可表示为S=R2 企业的原材料消耗额(y)与产量(x1)、单位产量消耗(x2)、原材料价格(x3)之间的关系可表示为y=x1 x2 x3,变量间的关系(相关关系),变量间关系不能用函数关系精确表达一个变量的取值不能由另一个变量唯一确定当变量 x 取某个值时,变量 y 的取值可能有几个各观测点分布在直线周围,变量间的关系(相关关系
3、),相关关系的例子商品的消费量(y)与居民收入(x)之间的关系商品销售额(y)与广告费支出(x)之间的关系粮食亩产量(y)与施肥量(x1)、降雨量(x2)、温度(x3)之间的关系收入水平(y)与受教育程度(x)之间的关系父亲身高(y)与子女身高(x)之间的关系,相关关系的类型,相关关系的图示,相关系数及其计算,相关关系的测度(相关系数),对变量之间关系密切程度的度量对两个变量之间线性相关程度的度量称为简单相关系数若相关系数是根据总体全部数据计算的,称为总体相关系数,记为若是根据样本数据计算的,则称为样本相关系数,记为 r,相关关系的测度(相关系数),样本相关系数的计算公式,或化简为,相关关系的
4、测度(相关系数取值及其意义),r 的取值范围是-1,1|r|=1,为完全相关r=1,为完全正相关r=-1,为完全负正相关 r=0,不存在线性相关关系相关-1r0,为负相关0r1,为正相关|r|越趋于1表示关系越密切;|r|越趋于0表示关系越不密切,相关关系的测度(相关系数取值及其意义),r,相关关系的测度(相关系数计算例),【例10.1】在研究我国人均消费水平的问题中,把全国人均消费额记为y,把人均国民收入记为x。我们收集到19811993年的样本数据(xi,yi),i=1,2,,13,数据见表10-1,计算相关系数。,相关关系的测度(计算结果),解:根据样本相关系数的计算公式有 人均国民收入
5、与人均消费金额之间的相关系 数为 0.9987,相关系数的显著性检验(概念要点),1.检验两个变量之间是否存在线性相关关系等价于对回归系数 b1的检验采用 t 检验检验的步骤为提出假设:H0:;H1:0,计算检验的统计量:,确定显著性水平,并作出决策 若tt,拒绝H0 若tt,接受H0,相关系数的显著性检验(实例),对前例计算的相关系数进行显著性检(0.05)提出假设:H0:;H1:0计算检验的统计量,3.根据显著性水平0.05,查t分布表得t(n-2)=2.201由于t=64.9809t(13-2)=2.201,拒绝H0,人均消费金额与人均国民收入之间的相关关系显著,相关系数的显著性检验(相
6、关系数检验表的使用),若IrI大于表上的=5%相应的值,小于表上1%相应的值,称变量x与y之间有显著的线性关系若IrI大于表上=1%相应的值,称变量x与y之间有十分显著的线性关系若IrI小于表上=5%相应的值,称变量x与y之间没有明显的线性关系根据前例的r0.9987=5%(n-2)=0.553,表明人均消费金额与人均国民收入之间有十分显著的线性相关关系,第二节 一元线性回归,一.一元线性回归模型参数的最小二乘估计回归方程的显著性检验预测及应用,什么是回归分析?(内容),从一组样本数据出发,确定变量之间的数学关系式对这些关系式的可信程度进行各种统计检验,并从影响某一特定变量的诸多变量中找出哪些
7、变量的影响显著,哪些不显著利用所求的关系式,根据一个或几个变量的取值来预测或控制另一个特定变量的取值,并给出这种预测或控制的精确程度,回归方程一词是怎么来的,回归分析与相关分析的区别,相关分析中,变量 x 变量 y 处于平等的地位;回归分析中,变量 y 称为因变量,处在被解释的地位,x 称为自变量,用于预测因变量的变化相关分析中所涉及的变量 x 和 y 都是随机变量;回归分析中,因变量 y 是随机变量,自变量 x 可以是随机变量,也可以是非随机的确定变量相关分析主要是描述两个变量之间线性关系的密切程度;回归分析不仅可以揭示变量 x 对变量 y 的影响大小,还可以由回归方程进行预测和控制,回归模
8、型的类型,回归模型与回归方程,回归模型,回答“变量之间是什么样的关系?”方程中运用1 个数字的因变量(响应变量)被预测的变量1 个或多个数字的或分类的自变量(解释变量)用于预测的变量3.主要用于预测和估计,一元线性回归模型(概念要点),当只涉及一个自变量时称为一元回归,若因变量 y 与自变量 x 之间为线性关系时称为一元线性回归对于具有线性关系的两个变量,可以用一条线性方程来表示它们之间的关系描述因变量 y 如何依赖于自变量 x 和误差项 的方程称为回归模型,一元线性回归模型(概念要点),对于只涉及一个自变量的简单线性回归模型可表示为 y=b0+b1 x+e模型中,y 是 x 的线性函数(部分
9、)加上误差项线性部分反映了由于 x 的变化而引起的 y 的变化误差项 是随机变量反映了除 x 和 y 之间的线性关系之外的随机因素对 y 的影响是不能由 x 和 y 之间的线性关系所解释的变异性0 和 1 称为模型的参数,一元线性回归模型(基本假定),误差项是一个期望值为0的随机变量,即E()=0。对于一个给定的 x 值,y 的期望值为E(y)=0+1 x对于所有的 x 值,的方差2 都相同误差项是一个服从正态分布的随机变量,且相互独立。即N(0,2)独立性意味着对于一个特定的 x 值,它所对应的与其他 x 值所对应的不相关对于一个特定的 x 值,它所对应的 y 值与其他 x 所对应的 y 值
10、也不相关,回归方程(概念要点),描述 y 的平均值或期望值如何依赖于 x 的方程称为回归方程简单线性回归方程的形式如下 E(y)=0+1 x,方程的图示是一条直线,因此也称为直线回归方程0是回归直线在 y 轴上的截距,是当 x=0 时 y 的期望值1是直线的斜率,称为回归系数,表示当 x 每变动一个单位时,y 的平均变动值,估计(经验)的回归方程,简单线性回归中估计的回归方程为,其中:是估计的回归直线在 y 轴上的截距,是直线的斜率,它表示对于一个给定的 x 的值,是 y 的估计值,也表示 x 每变动一个单位时,y 的平均变动值,用样本统计量 和 代替回归方程中的未知参数 和,就得到了估计的回
11、归方程,总体回归参数 和 是未知的,必需利用样本数据去估计,参数 0 和 1 的最小二乘估计,最小二乘法(概念要点),使因变量的观察值与估计值之间的离差平方和达到最小来求得 和 的方法。即,用最小二乘法拟合的直线来代表x与y之间的关系与实际数据的误差比其他任何直线都小,最小二乘法(图示),最小二乘法(和 的计算公式),根据最小二乘法的要求,可得求解 和 的标准方程如下,估计方程的求法(实例),【例】根据例10.1中的数据,配合人均消费金额对人均国民收入的回归方程 根据 和 的求解公式得,估计(经验)方程,人均消费金额对人均国民收入的回归方程为,y=54.22286+0.52638 x,估计方程
12、的求法(Excel的输出结果),回归方程的显著性检验,离差平方和的分解,因变量 y 的取值是不同的,y 取值的这种波动称为变差。变差来源于两个方面由于自变量 x 的取值不同造成的除 x 以外的其他因素(如x对y的非线性影响、测量误差等)的影响对一个具体的观测值来说,变差的大小可以通过该实际观测值与其均值之差 来表示,离差平方和的分解(图示),离差平方和的分解(三个平方和的关系),2.两端平方后求和有,从图上看有,SST=SSR+SSE,离差平方和的分解(三个平方和的意义),总平方和(SST)反映因变量的 n 个观察值与其均值的总离差回归平方和(SSR)反映自变量 x 的变化对因变量 y 取值变
13、化的影响,或者说,是由于 x 与 y 之间的线性关系引起的 y 的取值变化,也称为可解释的平方和残差平方和(SSE)反映除 x 以外的其他因素对 y 取值的影响,也称为不可解释的平方和或剩余平方和,样本决定系数(判定系数 r2),回归平方和占总离差平方和的比例,反映回归直线的拟合程度取值范围在 0,1 之间 r2 1,说明回归方程拟合的越好;r20,说明回归方程拟合的越差判定系数等于相关系数的平方,即r2(r)2,回归方程的显著性检验(线性关系的检验),检验自变量和因变量之间的线性关系是否显著具体方法是将回归离差平方和(SSR)同剩余离差平方和(SSE)加以比较,应用F检验来分析二者之间的差别
14、是否显著如果是显著的,两个变量之间存在线性关系如果不显著,两个变量之间不存在线性关系,回归方程的显著性检验(检验的步骤),提出假设H0:线性关系不显著,2.计算检验统计量F,确定显著性水平,并根据分子自由度1和分母自由度n-2找出临界值F 作出决策:若FF,拒绝H0;若FF,接受H0,回归方程的显著性检验(方差分析表),(续前例)Excel 输出的方差分析表,平方和,均方,估计标准误差 Sy,实际观察值与回归估计值离差平方和的均方根反映实际观察值在回归直线周围的分散状况从另一个角度说明了回归直线的拟合程度计算公式为,注:上例的计算结果为14.949678,回归系数的显著性检验(要点),在一元线
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