光学教程第五章New.ppt
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1、2023年6月3日,0,光学教程,第三篇 傅里叶光学,2023年6月3日,1,第五章 变换光学与全息照相,研究的主要问题:傅里叶变换;衍射问题的傅里叶表述;阿贝的二次成像理论和滤波。,要点:1.傅里叶变换和光学变换间的关系;2.二次成像理论中对频谱的操作。,2023年6月3日,2,引 言:,本世纪四十年代末,将通讯理论中的一些观点、概念和方法移植到光学中产生了傅里叶光学。傅里叶光学以经典波动光学原理为基础,讨论光的衍射、成像、滤波、全息术等问题,但采用了信息论的描述和分析方法,如把光视作信息,根据线性系统理论在空间频率域中描述和分析系统。1960年问世的激光器提供了相干性好、亮度高的新型光源,
2、使傅里叶光学获得迅速的发展和应用,成为了现代光学的一个重要分支。,5.1 傅里叶变换,2023年6月3日,3,傅里叶函数:,设一个周期函数g(x)的周期为d,满足狄利克雷条件,即在一个周期内:,则g(x)可以展开为下列三角级数,称傅里叶级数。,(1)单值;(2)只有有限个极值点和不连续点,,2023年6月3日,4,傅里叶函数:,光学中研究的函数g(x)通常是空间函数,因而空间周期的倒数f0=1/d即为空间频率,k0=2/d则为空间圆频率。,由上式可见,周期函数g(x)可以表示为一系列频率为原函数频率f0整数倍的简谐函数的线性组合,f0称为基频,其它频率f0=mf0称为谐频或倍频。,2023年6
3、月3日,5,傅里叶函数:,m次谐频成份可写为:,以频率为横坐标,以各频率成份对应的振幅Am为纵坐标的图形称为该物理现象的振幅频谱,简称频谱。若标出频率和相位的关系,则称为相位频谱。,2023年6月3日,6,傅里叶级数的复数表达:,考虑Eula公式:,代入傅里叶系数的计算公式,则有:,2023年6月3日,7,傅里叶级数的复数表达:,若令:,提问:式中的m的取值范围反映了什么?,2023年6月3日,8,一Ronchi(朗奇)光栅透光部分宽度为d/2,周期为d,振幅透射率函数为:,例1:,试将其展开为傅里叶级数。,解:由题意可知待求为:,2023年6月3日,9,Ronchi(朗奇)振幅透射率函数为:
4、,例1:,解:,2023年6月3日,10,项数越多,则其和越接近矩形函数。,2023年6月3日,11,对于非周期函数g(x),如果它满足狄利克雷条件,并在无穷区间(,)绝对可积。可将展开为许多简谐函数的线性组合:,傅里叶积分,式中x0表示自变量的不同。,两相邻谐频成份的空间圆频率间隔为:,2023年6月3日,12,对于非周期函数,可看做是周期函数中周期d趋于无穷大的极限情况。当d,k0,此时g(x)的谐频分量的圆频率值mk0(或空间频率mf0)已变为连续量k(或f=k/2)。,傅里叶积分,若令:,略去系数2,2023年6月3日,13,以上称为傅里叶积分公式,称G(k)是g(x)的傅里叶变换,或
5、g(x)是G(k)的逆傅里叶变换。,傅里叶积分,以上表示将非周期函数g(x)分解为以eikx为基元函数的线性组合。G(k)为圆频率k附近单位圆频率间隔的振幅。,2023年6月3日,14,傅里叶变换评述,傅里叶变换提供了将函数g(x)分解为一系列基元函数的线性组合的方法,对于能够应用叠加原理的线性系统是十分有效的。,对线性系统而言,可将激励分解为一系列简单的基元函数的线性组合,然后分别计算系统对基元输入的响应,再把所有基元响应叠加起来,得到总响应。,重要地:光学系统中主要涉及光场的复振幅或光强随空间坐标的分布,这种以空间坐标作为自变量来表示光场分布称为空间域(空域)的描述;而以空间频率作为自变量
6、来表示光场则称为空间频率域(频域)的描述。傅里叶变换和它的逆变换指出了空域和频域两种描述中物函数和它相应的频谱函数之间的联系。,2023年6月3日,15,对二维函数g(x,y)而言,其频谱函数G(kx,ky)为:,二维傅里叶变换式,二维傅里叶变换的意义?,相应的逆傅里叶变换为:,2023年6月3日,16,2023年6月3日,17,所谓准单色光波,可看做持续时间为0的简谐波的一段,或场中某点在0时间内做简谐振动产生的光波。其函数为:,举例准单色光波的分解,其傅里叶分解为:,时间的频谱函数,2023年6月3日,18,其功率谱(注意建立什么是功率谱的概念)为:,举例准单色光波的分解,当=0时,其主极
7、大值:,其两侧的第一极小位于:,谱线的半宽度为:0,时间相干性的反比公式:01,2023年6月3日,19,其功率谱为:,当=0时,其主极大值:,定义半宽度为半强度点:,得:,时间相干性的反比公式一致。,若振子在持续时间0内做振幅衰减的简谐振动,则:,2023年6月3日,20,衍射区域的划分,从基尔霍夫公式出发进行讨论:,5.2 衍射理论中的傅里叶方法,P点光场的复振幅为:,考虑衍射屏的复振幅透射率函数:,2023年6月3日,21,衍射区域的划分,考虑积分限的变更和积分面元的改写:,在上式中,考虑近似条件:cos 1、分母中r z;,对以上的r做进一步的近似:,2023年6月3日,22,衍射区域
8、的划分,考虑旁轴区域:,对r做二项式泰勒展开:,以上的近似称为菲涅耳近似。此时需:,2023年6月3日,23,衍射区域的划分,故有近似成立时z值范围:,菲涅耳衍射积分公式得:,若z值进一步增大,在一定的观察视场角情况下,(x,y)值比(x0,y0)大得多,即:,2023年6月3日,24,衍射区域的划分,在此条件下,积分可只含x0和y0的线性项:,此近似则成为夫琅和费近似,此时:,夫琅和费积分简便,但可以看出,菲涅耳积分包含夫琅和费积分。,2023年6月3日,25,例2:试证在点光源的共轭像面上接受到的是夫琅和费衍射场。,解:考虑照射在衍射屏的是在S会聚的球面波,衍射屏不再是等相面。考虑旁轴近似
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