大变形理论文献摘要.docx
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1、目录研究背景及意义1大变形力学问题的困难1理论发展过程:2研究现状:2原有理论的缺陷及研究大变形的意义3拖带坐标系坐标法有限元还有以下主要特点7旧有理论的不足之处8大变形数值分析的方法8断裂之后仍然可以传递一部分力10各种计算大变形的工作及理论10大变形理论计算11地震倒塌混下梁变形计算复杂的原因和一般假设公式11大变形阶段划分和材料弹塑性模型11修正系数的名称12实验方面知识储备13滞回曲线13研究背景及意义大变形力学问题的困难A几何外形显著畸变,必须考虑在畸变后位行上的平衡关系,使平衡方程复杂化,非线性程度加高,平衡状态 随荷载而改变;B局部转动和应变要同时考虑,在许多大变形大位移的问题中
2、,转动有时比应变更为重要。C材料因大变形,可能出现弹性、塑性、流变变形区,各区物性方程不同,要分区处理。而且由于大变形,各 项均质材料会出现非均质各向异性的性质。D边界条件随形变程度而改变,常出现变边界现象,使理论解满足这种复杂多变的条件变得困难。P242E在微小变形和微转动时,次序可以变换而结果不变,这是因为略去非线性项了。在任意大变形与转动时,变 形的最后结果和各阶段的刚性转动和变形的次序有关。P2502万海涛博士毕业论文力是对结构或构件性能的宏观考虑,但不能很好地反应结构性能。延性、应变、曲率、能量虽然是从微观角度 考虑结构或构件的性能,但是这些参数在实际工程运用上比较困难。而变形既从微
3、观的角度考虑结构或构件的性能, 又能方便、直观地运用于实际工程。基于以上考虑,本文选用转角作为性能参数来研究钢筋混凝土梁的变形性能。国内对钢筋混凝土梁进行了一定的试验和研究,但大多数研究者只是基于梁构件的承载力来宏观考虑,并没有 对梁构件本身的变形性能做过深入研究。国外虽然对梁构件的变形性能进行了一定的研究,但这些研究成果并不适 用于我国情况,主要原因有:(1) 材料性能不同我国的混凝土材料所采用的混合料的特性及其配比与国外存在一定差别,导致混凝土材料的应力-应变曲线不一 样。而且我国钢筋的强度、延性等材料特性也与国外存在一定差别。(2)构造措施不同我国规范规定梁的钢筋间距、钢筋锚固长度、钢筋
4、的搭接、弯起、截断等构造措施与国外规范不同。基于上述 原因,本文考虑与梁变形性能相关因素的前提下设计一批梁试件来研究其变形性能。11悬臂梁大挠度问题的摄动解利用拟线性分析方法,研究了悬臂梁的大挠度问题,并与该问题的双参数摄动算法进行了比较。分析表明:将 拟线性方法用于研究悬臂梁的大挠度问题,计算较为简便,同时又具有良好的精度。钱伟长教授在文献1 中,采用双参数摄动研究了图1所示的悬臂梁大挠度问题,用于处理宁波甬江大桥施工弧 长计算及桥面坡度等应用问题。梁的大挠度问题历史上称为欧拉-伯努利问题2,一般情形下,基本方程是一非线 性的微分积分方程,求解困难。历史上作者们的研究,大致可分为对于个别简单
5、情形的闭合分析解和基于有限元方 法的数值解。文献2通过一阶导数代换,用数值积分或拟线性分析方法处理了梁大挠度的各类问题,结果精度能满 足一般的设计要求。本文采用文献2的方法对悬臂梁问题进行了简化处理,然后用摄动法求解,并与文献1 的结果 进行了比较理论发展过程:从近似的非线性理论到有限变形理论A1910年,冯卡曼(von karman)发表了平板大挠度非线性方程。此方法使用几何投影法推导出含有二阶应 变的大挠度应变表达式。该非线性方程中,其二阶指的是以微小应变的量如(饥/办)作为一阶小量,则(du/办)2 视为二阶小量。冯卡曼方程的适用范围仍旧局限于中等程度的应变和转动,其主要考虑了应变分量的
6、二阶小项及 薄膜应力在变形后位形上对平衡方程的影响。b二十世纪四十年代,辛格(Synge)和钱伟长奠定了板、壳有限变形非线性理论的基础。其相关论著区分了变 形前后的位形,同时引用两个坐标系:固定于空间的惯性参考系和嵌含在壳体中的自然坐标系,即拖带坐标系。拖 带坐标系的引用是促使有理力学理论飞跃的重要工具。研究现状:SS理论(Green,Love):该理论使用Green有限变形应变张量,即定义 = 1(g - g )为有限变形应变张量,ij 2 ij ij该张量满足作为应变张量的必要数学条件一一当物体作纯转动时, .全部为零。该理论存在如下缺点:应变的含义和普通的物理度量不合;没能推导出相应的转
7、动张量和应变张量相互匹配,这一点从理论上讲是致命的缺陷。在 目前计算力学的程序中,只是采用刚性转动张量与其凑合。SR一RS理论(Finger-Truesdell):该理论的核心是以下列乘积分解定理为基础的。定理:任何可逆的线性变换F有两个唯一的乘积分解。F=RU,F=VR。其中R是正交的,而U和V对称并为正 定。该定理通称为极分解定理,该理论相比于SS理论的一大进步在于以乘积的形式表达出了位移场中的转动张量 和形变张量。该理论的缺点有如下几点:U和V不是应变张量。由于应变度量的非唯一性,使采用极分解定理构成 的力学体系失去了理论价值,毕竟,一个完备的力学体系,其所含有的物理量应具有唯一的数学定
8、义。该理论所描 述的物体运动形态是有条件的,即先施行无变形的刚性转动再进行无转动的几何形变。或者是二者的顺序反过来。 这样的过程违背了真实的物理过程。S-R理论(Stokes陈):1845年Stokes提出局部转动和压力场无关的原理,即流速梯度的对称与反对称分解 定理。Stokes也提出将流速场的分解原则推广到固体的位移场,不过结论表明此对称一一反对称分解原理只适用于 小位移条件,大位移大转动时误差很大。1979年,陈至达改进了 Stokes的对称一一反对称分解原则成为对称 正交分解,又推广了 Euler的经典动力学的运动描述法使之适用于可变形体,这就是拖带坐标系描述法。拖带系连 续变换的运算
9、在数学实质上就是Lie群的数学方法。在工程应用中,可以避免抽象数学的逻辑演绎而直接讲解数学 的应用,便于人们掌握。SS,SRRS,SR(Stokes)理论属于经典理论范畴,新的SR分解定理消除了经典理论的缺点,成为经典力学 统一的新基础,为解决杆板壳大变形问题提供了完备的数学力学基础。6有限变形运动方程对大变形力学问题,一直采用小变形近似下的运动方程推导。这导致应力总是对称的。故有必要对大变形介质 的运动方程进行研究。由大变形介质的几何方程按积分形式的动量守恒和动量矩守恒导出大变形介质的运动方程。对有限变形,长期以来关于应力对称性的证明是以略去位移项来导出动量矩条件的,因而长期以来并没有获得
10、正确的动量矩方程。而Truesdell极分解定理虽然获得了转动张量,但没有也无法定义一个适当的应力与它配套,从 而使得相应的力学理论表现不完善。本文推导出大变形运动方程,对于解的存在性、唯一性稳定性以及它是如何包含塑性理论等方面的问题还有待 进一步完善。8两种有限变形力学理论的分析(1 )当采用极分解定理对变形和转动进行分离时,对任意的运动变换,一个变形梯度存在两个极分解,得到的 形变张量非唯一。(2)经典有限变形力学理论中没有将变形与转动分离,所以在经典有限变形力学理论计算下的应变值要大于和分 解有限变形力学理论计算下的结果,故经典有限变形力学理论计算下的应力值亦偏大。原有理论的缺陷及研究大
11、变形的意义22222两种有限变形力学理论的分析当物体发生小变形时,形变小,转动也小,采用Cauchy应变和Helmholtz-Stokes分解为基础的小变形理论来计 算变形时,误差是可以接受的,但是当转动和变形较大时,小变形理论就不适用了。随着非线性几何场论的研究不 断取得进展,目前形成了两大有限变形理论,即经典有限变形力学理论及和分解有限变形力学理论。前者采用固定 坐标系描述方法,以Green非线性应变作为应变度量和Finger极分解定理得到的转动张量为转动度量;后者则是采 用拖带坐标系描述方法,基于应变和转动的和分解定理(additive decomposition theorem,简称S
12、-R分解定理)的有 限变形理论。文中通过具体的大变形算例有限转动与伸长,分别根据经典有限变形力学理论及和分解有限变形力学理论,推导该算例的应力应变结果,并进行比较1 经典有限变形力学理论1。1极分解定理与Green应变张量为了克服Green应变张量对局部转动无法确定的缺点,Finger1-3于19世纪末提出了大位移场的极分解定理。 当初始拖带坐标系与固定参考系一致时,物体中某点在固定参考系中的运动变换为xXi,Finger1-3关于运动变换 的极分解定理为:“任何一个可逆运动变换有两个唯一的极分解式F=R U=V R,Fij=RikUkj=VikRkj。其中,R为二阶正交张量,U和V为二阶正定
13、的对称张量”。R是转动张量。U称为右伸张张量,V称为左伸张 张量。F=RU和F=VR分别称为右极分解和左极分解,分别表示物体先变形、后转动和先转动、后变形的两种运 动变换分解形式。可以证明它们与变形梯度F的关系为4U2=FT-F,V2=F-FT;U=RT V R,V=R U RT。右Cauchy-Green张量为C=U2=FT F。左Cauchy-Green张量为B=V2=F FT。Green应变张量E与右Cauchy-Green张量的关系为E=12(C-I)。其中,I为单位矩阵。显然,对任意的运动变换,变形与转动的先后次序有关,得到的形变张量不等U尹V,即 极分解不能唯一地将变形分离出来。1
14、 - 2应力的定义在经典有限变形理论中,应力的定义有很多种,常用的有Kirchhoff应力与Euler应力。Euler应力是定义在变形 后的微元体上的应力张量,代表真实的应力。而Kirchhoff应力是定义在变形前的微元体上的虚拟应力。Euler应力与Kirchhoff应力之间的变换关系为:ar泌z矿当采用极分解定理对变形和转动进行分离时,对任意的运动变换,一个变形梯度存在两个极分解,得到的形变 张量非唯一,这是极分解的局限性。但它在计算中可以弥补Green应变张量没有相应匹配的转动张量的缺点,故采 用的较多。事实上,物体中一点的局部转动和变形是同时发生的,没有先后次序之分。2和分解有限变形力
15、学理论2。1 和分解定理与应变的定义陈至达5为了克服经典有限变形理论的上述缺点,在拖带系下建立了变形梯度S-R(和分解)定理:若一个点集的 运动变换由式gi=Fjigj0所确定,此函数在形变体点集域内是单值连续的,处处具有一阶导数,则此运动变换可以唯 一分解为正交与对称两个子变换的直和:F=R+S。其中,R为正交变换,表现为点集的转动,而S为对称变换,表现为点集的形变。即变换函数F的S-R分解为转动张量和应变张量是在拖带系中定义的,基矢量gi0和gi是张量的自然尺规,并不一定是无量纲的单位,为 了将张量分量化为标准物理量系统的物理分量,需要将张量分量乘以变换因子。位移梯度的物理分量为在计算应变
16、分量、转角与转角方位时,都需要采用位移梯度的物理分量对二蜜问题,应变分量、转如的计算公式为222222两种有限变形力学理论的分析(1) 当采用极分解定理对变形和转动进行分离时,对任意的运动变换,一个变形梯度存在两个极分解,得到的形 变张量非唯一。(2) 经典有限变形力学理论中没有将变形与转动分离,所以在经典有限变形力学理论计算下的应变值要大于和分 解有限变形力学理论计算下的结果,故经典有限变形力学理论计算下的应力值亦偏大。33333 ANSys二次开发及其大变形性能研究随着科学技术的发展,线性理论已经远远不能满足设计的要求。例如建筑行业中的高层建筑和大跨度悬索桥的 出现,就要求考虑结构的大位移
17、和大应变等几何非线性问题;另外塑料、橡胶和复合材料等各种新材料的出现,也 对采用非线性有限元算法提出了更迫切的要求。1建筑结构的抗震变形验算在屈服强度相对较低的薄弱部位,地震时将产生很大的塑性变形集中。在抗震设计中,只要控制了薄弱部位的 变形即可控制结构的抗震安全性。梁是基本的工程结构构件之一,关于线弹性材料梁的大挠度问题的研究有很多。对于大多数工程材料梁,在弯 曲变形的过程中一般要考虑弹塑性工作状态,从而对梁弹塑性大挠度变形的分析是十分必要的。杆板壳大变形理论1位形变换取代位形形变,因为数学上讲变换比形变更广义,物体在空间作一般形式运动时,可包括局部平动、 局部转动与变形。整体位形的变化是由
18、局部状态改变所合成的。杆受压临界荷载的求法,如果用小变形理论,则是通过研究临界状态下无穷小偏离初始平衡状态的位形来确定 所需的荷载。这种考虑的方法不能求出失稳后的平衡位形,仅有考虑大变形时才能解决这个问题。1梁板壳的几何大变形由于梁板壳结构的几何特征,其三个方向的长度相差甚大,固然带来结构轻巧的优点,但也往往伴随有巨大的 变形。特别是当今新型结构中更为如此。虽然常规结构如房屋、桥梁等一般不允许产生大变形,但对一些重要建筑 物在抗震设计时,要考虑到中震可修、大震不倒的原则,这就必须研究梁板壳结构在大变形时的力学特性。事实 上,Tacoma大桥就是在风力作用下,由共振而发生了巨大的变形导致破坏的。
19、壳大变形问题与小变形问题的最大不同在于出现了大转动。这就需要我们对小变形理论中的转动概念重新认识。 在一些工况下,结构形态会发生跃变,所以用小步长加载的近似非线性理论算法对此类问题无法求解 1有限变形力学理论在数学意义上说是变形体力学的准确理论,它对变形与转动的限度不作限制性假设。当然, 该理论要求物质保持连续性、相容性和不发生破坏与断裂。P1323线性弹性理论在大变形时产生错误,其结果中将出现虚假应变,这种虚假应变产生的原因是转动的影响没有 在计算公式中消除。P1471梁板壳结构有限变形的普遍理论及其应用梁板壳结构的有限变形理论与二维、三维连续体的有限变形理论存在着巨大的区别。二维、三维连续
20、体对空间一点位置的描述与其位移的描述的维数是一致的,而梁板壳的位移描述中却增加了转角位移。这组转角位移事实上是对一条刚性线段绕定点转动的描述。在线性理论中角位移被看作是无穷小量,所以d . (i=1,2, 3)具有矢量的性质,这就是可引进角速度矢量,=叫/dt的根据。但是有限转角七却没有矢量性质,它们不服从矢量的可交换性法则,例如一个刚体先转0再转0到达的位置与先转0再转0到达的位置是不同的,所以正确XJJX处理有限转角是建立完整的梁板壳有限变形理论的关键。7建筑结构连续性倒塌数值模拟方法研究(4)具有大位移大转动计算能力的梁元模型研究。为了数值模拟建筑结构倒塌过程中的梁柱构件,建立了一个具
21、有大位移大转动非线性动力计算能力的显式梁元。该梁元基于更新拉格朗日列式,考虑了转动的不可交换性,选用 共旋方法分离单元刚体位移和变形位移,采用欧拉梁假设进行变形位移插值,通过应力更新算法来考虑材料的本构 关系,最后开发了显式梁元程序并进行了数值检验,算例表明该梁元力学性能良好,具有一定的工程应用价值。本构关系问题:目前商用通用有限元程序的梁元,普遍缺少合适的约束混凝土一维本构,即钢筋混凝土梁柱无 法采用梁元模拟,需要二次开发混凝土一维本构,否则只能采用三维实体混凝土单元和独立的钢筋单元,这将引入 不成熟的多轴混凝土本构关系、屈服准则和破坏准则;材料非线性问题将不会成为本文研究的重点。222计算
22、梁大挠度变形的数值积分法椭圆积分梁的大挠度变形计算,数学推导繁琐,其转角和挠度均用椭圆积分表示,)。随着建筑材料的不断更新,给 力学计算提出新的问题,特别是柔韧性材料的广泛使用,寻求板、壳、梁、细长压杆等的大挠度近似计算法,既具 有一定的理论意义,又具有实践应用价值。文献介绍的细长压杆大挠度计算的振动比拟法,因其微分方程与梁 的挠曲线微分方程不同,故不便直接采用;文4)介绍的数值积分法求梁的变形,因再采用小变形假设下的近似 微分方程,只能解决小挠度士于算问题。本文以梁的挠曲线精确微分方程为基础,结合具体算例,给出数值积分法 计算梁的大挠度变形的基本公式和方法,以在实际工程计算中寻求一种电算程序
23、简便,精度高的计算方法。梁的大挠度计算仍建立在如一 F假设基础上:梁变形前后长度不变(两端固定除外)。结合555集中力作用下悬臂梁几何中轴的弹性大挠度分析 中轴针对梁在纵横弯曲情况下中性轴位置将随横截面位置不同发生变化,从而使中性轴不再具有代表性的问题, 本文推导了纵横弯曲下弹性梁几何中轴的曲率方程,并建立了求解弹性梁几何中轴变形的微分方程组。从方程组 可见,轴力将影响几何中轴的曲率,从而使几何中轴的曲率不但和横截面上的弯矩、梁的材料性能及横截面的几 何性能有关,而且和梁横截面上所承受的轴力有关,因此这样的曲率方程可以考虑梁轴向伸长的问题。另外,本 文还应用对纵横弯曲梁几何中轴建立的变形微分方
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