平面向量及其应用练习题(有答案)-百度文库.doc

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1、一、多选题1已知非零平面向量，,则（ ）A存在唯一的实数对，使B若，则C若，则D若，则2正方形的边长为，记，则下列结论正确的是（ ）ABCD3已知是同一平面内的三个向量，下列命题中正确的是（ ）AB若且，则C两个非零向量，若，则与共线且反向D已知，且与的夹角为锐角，则实数的取值范围是4设，是任意的非零向量，且它们相互不共线，给出下列选项，其中正确的有（ ）AB与不垂直CD5已知向量，则下列结论正确的是（ ）ABC与的夹角为45D6设P是所在平面内的一点，则（ ）ABCD7八卦是中国文化的基本哲学概念，如图1是八卦模型图，其平面图形记为图2中的正八边形，其中，则下列结论正确的有（ ）ABCD在向

2、量上的投影为8在ABC中,若,则ABC的形状可能为( )A直角三角形B等腰三角形C等腰直角三角形D等边三角形9设向量，满足，且，则以下结论正确的是（ ）ABCD10在ABC中，ABAC，BC4，D为BC的中点，则以下结论正确的是（ ）ABCD11已知、是任意两个向量，下列条件能判定向量与平行的是（ ）ABC与的方向相反D与都是单位向量12下列命题中，正确的是（ ）A在中，B在锐角中，不等式恒成立C在中，若，则必是等腰直角三角形D在中，若，则必是等边三角形13对于，有如下判断，其中正确的判断是（ ）A若，则为等腰三角形B若，则C若，则符合条件的有两个D若，则是钝角三角形14已知为非零向量,则下列

3、命题中正确的是( )A若,则与方向相同B若,则与方向相反C若,则与有相等的模D若,则与方向相同15题目文件丢失！二、平面向量及其应用选择题16在中，且，则点P的轨迹一定通过的（ ）A重心B内心C外心D垂心17若点是的重心，分别是，的对边，且.则等于（ ）A90B60C45D3018为内一点内角、所对的边分别为、，已知，且，若，则边所对的外接圆的劣弧长为（ ）ABCD19在中，分别是角，所对的边，若，且，则的形状是（ ）A等边三角形B锐角三角形C等腰直角三角形D钝角三角形20中，内角A，B，C所对的边分别为.若，则；若，则一定为等腰三角形；若，则一定为直角三角形；若，且该三角形有两解，则的范围是

4、.以上结论中正确的有（ ）A1个B2个C3个D4个21已知非零向量，满足，且，则的形状是A三边均不相等的三角形B直角三角形C等腰（非等边）三角形D等边三角形22已知在中，内角、所对的边分别为、，若的面积为，且，则（ ）ABCD23在中，若，则下列结论错误的是（ ）ABCD24在中，已知，若点、分别为的重心和外心，则（ ）A4B6C10D1425在中，M为BC上一点，则的面积的最大值为（ ）ABC12D26题目文件丢失！27已知的面积为30，且，则等于（ ）A72B144C150D30028在中，若，则的形状是（ ）A直角三角形B等腰三角形C等腰直角三角形D等腰或直角三角形29在矩形中，点在边上

5、，若，则的值为（ ）A0BC-4D430如图所示，在中，点D是边上任意一点，M是线段的中点，若存在实数和，使得，则（ ）ABCD31在中，下列命题正确的个数是（ ）；点为的内心，且，则为等腰三角形；，则为锐角三角形A1B2C3D432在ABC中，点D在线段BC的延长线上，且，点在线段上(与点，不重合)，若，则的取值范围是（ ）ABCD33中，分别为，的对边，如果，成等差数列，的面积为，那么等于（ ）ABCD34在中，内角 的对边分别是 ，若，则一定是（ ）A等腰三角形B等边三角形C直角三角形D等腰直角三角形35著名数学家欧拉提出了如下定理：三角形的外心、重心、垂心依次位于同一直线上，且重心到外

6、心的距离是重心到垂心距离的一半此直线被称为三角形的欧拉线，该定理则被称为欧拉线定理设点，分别是的外心、垂心，且为中点，则 （ ）ABCD【参考答案】*试卷处理标记，请不要删除一、多选题1BD【分析】假设与共线，与，都不共线，即可判断A错；根据向量垂直的数量积表示，可判断B正确；向量共线可以是反向共线，故C错；根据向量数量积法则，可判断D正确.【详解】A选项，若与共线，与，都解析：BD【分析】假设与共线，与，都不共线，即可判断A错；根据向量垂直的数量积表示，可判断B正确；向量共线可以是反向共线，故C错；根据向量数量积法则，可判断D正确.【详解】A选项，若与共线，与，都不共线，则与不可能共线，故A

7、错；B选项，因为，,是非零平面向量,若，则，所以，即B正确；C选项，因为向量共线可以是反向共线，所以由不能推出；如与同向，与反向，且，则，故C错；D选项，若，则，所以，即D正确.故选：BD.【点睛】本题主要考查共线向量的有关判定，以及向量数量积的相关计算，属于基础题型.2ABC【分析】作出图形，利用平面向量加、减法法则与正方形的性质可判断A、B选项的正误；利用平面向量的减法法则与向量的数乘运算可判断C选项的正误；利用平面向量的加法法则可判断D选项的正误.【详解解析：ABC【分析】作出图形，利用平面向量加、减法法则与正方形的性质可判断A、B选项的正误；利用平面向量的减法法则与向量的数乘运算可判断

8、C选项的正误；利用平面向量的加法法则可判断D选项的正误.【详解】如下图所示：对于A选项，四边形为正方形，则，A选项正确；对于B选项，则，B选项正确；对于C选项，则，则，C选项正确；对于D选项，D选项错误.故选：ABC.【点睛】本题考查平面向量相关命题正误的判断，同时也考查了平面向量加、减法法则以及平面向量数量积的应用，考查计算能力，属于中等题.3AC【分析】根据平面向量数量积定义可判断A；由向量垂直时乘积为0，可判断B；利用向量数量积的运算律，化简可判断C；根据向量数量积的坐标关系，可判断D.【详解】对于A，由平面向量数量积定义可知解析：AC【分析】根据平面向量数量积定义可判断A；由向量垂直时

9、乘积为0，可判断B；利用向量数量积的运算律，化简可判断C；根据向量数量积的坐标关系，可判断D.【详解】对于A，由平面向量数量积定义可知，则，所以A正确，对于B，当与都和垂直时，与的方向不一定相同，大小不一定相等，所以B错误，对于C，两个非零向量，若，可得，即，则两个向量的夹角为，则与共线且反向，故C正确；对于D，已知，且与的夹角为锐角，可得即可得，解得，当与的夹角为0时，所以所以与的夹角为锐角时且，故D错误；故选:AC.【点睛】本题考查了平面向量数量积定义的应用，向量共线及向量数量积的坐标表示，属于中档题.4ACD【分析】A，由平面向量数量积的运算律可判断；B，由平面向量垂直的条件、数量积的运

10、算律可判断；C，由与不共线，可分两类考虑：若，则显然成立；若，由、构成三角形的三边可进行判断；D，由平解析：ACD【分析】A，由平面向量数量积的运算律可判断；B，由平面向量垂直的条件、数量积的运算律可判断；C，由与不共线，可分两类考虑：若，则显然成立；若，由、构成三角形的三边可进行判断；D，由平面向量的混合运算将式子进行展开即可得解.【详解】选项A，由平面向量数量积的运算律，可知A正确；选项B，与垂直，即B错误；选项C，与不共线，若，则显然成立；若，由平面向量的减法法则可作出如下图形：由三角形两边之差小于第三边，可得.故C正确；选项D，即D正确.故选：ACD【点睛】本小题主要考查向量运算，属于

11、中档题.5AC【分析】利用向量线性的坐标运算可判断A；利用向量模的坐标求法可判断B；利用向量数量积的坐标运算可判断C；利用向量共线的坐标表示即可求解.【详解】由向量，则，故A正确；，故B错误；解析：AC【分析】利用向量线性的坐标运算可判断A；利用向量模的坐标求法可判断B；利用向量数量积的坐标运算可判断C；利用向量共线的坐标表示即可求解.【详解】由向量，则，故A正确；，故B错误；，又，所以与的夹角为45，故C正确；由，故D错误.故选：AC【点睛】本题考查了向量的坐标运算，考查了基本运算能力，属于基础题.6CD【分析】转化为，移项运算即得解【详解】由题意：故 即,故选：CD【点睛】本题考查了向量的

12、线性运算，考查了学生概念理解，转化划归，数学运算能力，属于基础题.解析：CD【分析】转化为，移项运算即得解【详解】由题意：故 即,故选：CD【点睛】本题考查了向量的线性运算，考查了学生概念理解，转化划归，数学运算能力，属于基础题.7AB【分析】直接利用向量的数量积的应用，向量的夹角的应用求出结果【详解】图2中的正八边形，其中，对于；故正确对于，故正确对于，但对应向量的夹角不相等，所以不成立故错误对于解析：AB【分析】直接利用向量的数量积的应用，向量的夹角的应用求出结果【详解】图2中的正八边形，其中，对于；故正确对于，故正确对于，但对应向量的夹角不相等，所以不成立故错误对于在向量上的投影，故错误

13、故选：【点睛】本题考查的知识要点：向量的数量积的应用，向量的夹角的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于中档题8ABCD【分析】应用正弦定理将边化角，由二倍角公式有即或，进而有ABC可能为:直角三角形,等腰三角形,等腰直角三角形,等边三角形【详解】根据正弦定理 ,即. , 或.即或解析：ABCD【分析】应用正弦定理将边化角，由二倍角公式有即或，进而有ABC可能为:直角三角形,等腰三角形,等腰直角三角形,等边三角形【详解】根据正弦定理 ,即. , 或.即或,ABC可能为:直角三角形,等腰三角形,等腰直角三角形,等边三角形.故选：ABCD【点睛】本题考查了正弦定理的边化角，二倍角公

14、式解三角形判断三角形的形状，注意三角形内角和为1809AC【分析】由已知条件结合向量数量积的性质对各个选项进行检验即可.【详解】，且,平方得，即，可得，故A正确；，可得，故B错误；，可得，故C正确；由可得，故D错误;故选：AC【点睛】解析：AC【分析】由已知条件结合向量数量积的性质对各个选项进行检验即可.【详解】，且,平方得，即，可得，故A正确；，可得，故B错误；，可得，故C正确；由可得，故D错误;故选：AC【点睛】本题考查向量数量积的性质以及向量的模的求法，属于基础题.10BC【分析】根据向量的加法和减法运算，以及向量的数量积运算可选项.【详解】对于A选项：，故A错；对于 B选项：因为D为B

15、C的中点，故B正确；对于C选项：，故正确；对于D选项：，而，故解析：BC【分析】根据向量的加法和减法运算，以及向量的数量积运算可选项.【详解】对于A选项：，故A错；对于 B选项：因为D为BC的中点，故B正确；对于C选项：，故正确；对于D选项：，而，故D不正确.故选：BC.【点睛】本题考查向量的线性运算和向量的数量积运算，属于基础题.11AC【分析】根据共线向量的定义判断即可.【详解】对于A选项，若，则与平行，A选项合乎题意；对于B选项，若，但与的方向不确定，则与不一定平行，B选项不合乎题意；对于C选项，若与的方向相反，解析：AC【分析】根据共线向量的定义判断即可.【详解】对于A选项，若，则与平

16、行，A选项合乎题意；对于B选项，若，但与的方向不确定，则与不一定平行，B选项不合乎题意；对于C选项，若与的方向相反，则与平行，C选项合乎题意；对于D选项，与都是单位向量，这两个向量长度相等，但方向不确定，则与不一定平行，D选项不合乎题意.故选：AC.【点睛】本题考查向量共线的判断，考查共线向量定义的应用，属于基础题.12ABD【分析】对于选项在中，由正弦定理可得，即可判断出正误；对于选项在锐角中，由，可得，即可判断出正误；对于选项在中，由，利用正弦定理可得：，得到或即可判断出正误；对于选项在中，利用余弦定理可得解析：ABD【分析】对于选项在中，由正弦定理可得，即可判断出正误；对于选项在锐角中，

17、由，可得，即可判断出正误；对于选项在中，由，利用正弦定理可得：，得到或即可判断出正误；对于选项在中，利用余弦定理可得：，代入已知可得，又，即可得到的形状，即可判断出正误.【详解】对于，由，可得：，利用正弦定理可得：，正确；对于，在锐角中，因此不等式恒成立，正确；对于，在中，由，利用正弦定理可得：，或，或，是等腰三角形或直角三角形，因此是假命题，错误.对于，由于，由余弦定理可得：，可得，解得，可得，故正确.故选：.【点睛】本题考查正弦定理与余弦定理及三角形边角关系，主要涉及的考点是三角形内角的诱导公式的应用，同时考查正弦定理进行边角转化，属于中等题.13BD【分析】对于A，根据三角函数的倍角公式

18、进行判断；对于B，根据正弦定理即可判断证明；对于C，利用余弦定理即可得解；对于D，根据正弦定理去判断即可【详解】在中，对于A，若，则或，当A解析：BD【分析】对于A，根据三角函数的倍角公式进行判断；对于B，根据正弦定理即可判断证明；对于C，利用余弦定理即可得解；对于D，根据正弦定理去判断即可【详解】在中，对于A，若，则或，当AB时，ABC为等腰三角形；当时，ABC为直角三角形，故A不正确，对于B，若，则，由正弦定理得，即成立故B正确；对于C，由余弦定理可得：b，只有一解，故C错误；对于D，若，由正弦定理得，C为钝角，是钝角三角形，故D正确；综上，正确的判断为选项B和D故选：BD【点睛】本题只有

19、考查了正弦定理，余弦定理，三角函数的二倍角公式在解三角形中的综合应用，考查了转化思想，属于中档题14ABD【分析】根据平面向量的平行四边形法则与三角不等式分析即可.【详解】如图,根据平面向量的平行四边形或三角形法则,当不共线时,根据三角形两边之和大于第三边,两边之差小于第三边有.当同向时解析：ABD【分析】根据平面向量的平行四边形法则与三角不等式分析即可.【详解】如图,根据平面向量的平行四边形或三角形法则,当不共线时,根据三角形两边之和大于第三边,两边之差小于第三边有.当同向时有,.当反向时有,故选：ABD【点睛】本题主要考查了平面向量的线性运算与三角不等式,属于基础题型.15无二、平面向量及

20、其应用选择题16A【分析】设，则，再利用平行四边形法则可知，P在中线上，即可得答案；【详解】如图，由平行四边形法则可知，P在中线上，P的轨迹一定通过的重心.故选：A.【点睛】本题考查三角形重心与向量形式的关系，考查数形结合思想，考查逻辑推理能力、运算求解能力，求解时注意向量加法几何意义的运用.17D【分析】由点是的重心可得,即,代入中可得,由不共线可得,即可求得的关系,进而利用余弦定理求解即可【详解】因为点是的重心,所以,所以,代入可得,因为不共线,所以,即,所以,故,故选:D【点睛】本题考查向量的线性运算,考查利用余弦定理求角18A【分析】根据题意得出，利用正弦定理边化角思想和切化弦思想得出

21、，从而可得知为等边三角形，进而可求得所对的外接圆的劣弧长.【详解】，同理可得，由正弦定理得，所以，由于余弦函数在区间上单调递减，所以，设的外接圆半径为，则，所以，边所对的外接圆的劣弧长为.故选：A.【点睛】本题考查弧长的计算，涉及正弦定理边角互化思想、切化弦思想以及正弦定理的应用，考查计算能力，属于中等题.19C【分析】化简条件可得，由正弦定理化边为角，整理，即可求解.【详解】，.，.由正弦定理，得，化简得.，则，是等腰直角三角形.故选：C.【点睛】本题主要考查了正弦定理，三角恒等变换，属于中档题.20B【分析】由大边对大角可判断的正误，用三角函数的知识将式子进行化简变形可判断的正误，用正弦定

22、理结合三角形有两解可判断的正误.【详解】由正弦定理及大边对大角可知正确；可得或，是等腰三角形或直角三角形，所以错误；由正弦定理可得，结合可知，因为，所以，因为，所以，因此正确；由正弦定理得，因为三角形有两解，所以所以，即，故错误.故选：B【点睛】本题考查的是正余弦定理的简单应用，要求我们要熟悉三角函数的和差公式及常见的变形技巧,属于中档题.21D【分析】先根据，判断出的角平分线与垂直，进而推断三角形为等腰三角形进而根据向量的数量积公式求得，判断出三角形的形状【详解】解：，分别为单位向量，的角平分线与垂直，三角形为等边三角形故选：D【点睛】本题主要考查了平面向量的数量积的运算，三角形形状的判断考

23、查了学生综合分析能力，属于中档题22A【分析】由三角形面积公式和余弦定理可得的等式，利用二倍角公式求得，从而求得【详解】，即，又，即，则，故选：A【点睛】本题考查三角形面积公式，余弦定理，考查二倍角公式，同角间的三角函数关系，掌握相应的公式即可求解属于中档题，考查了学生的运算求解能力23C【分析】由正弦定理结合三角形中的大边对大角得，由余弦函数性质判断B，然后结合二倍角公式判断CD【详解】设三边所对的角分别为，由，则，正确；由余弦函数性质知，B正确；， 当为钝角时就有，C错误，；，D正确故选：C【点睛】本题考查三角形内角和定理，考查正弦定理、余弦函数性质，考查正弦、余弦的二倍角公式，考查学生的

24、逻辑推理能力，属于中档题24C【解析】【分析】取的中点，因为、分别为的重心和外心，则，再用、表示，再根据向量的数量积的运算律计算可得.【详解】解：如图，取的中点，因为、分别为的重心和外心故选：【点睛】本题考查平面向量的数量积的定义和性质，考查三角形的重心和外心的性质及向量中点的向量表示，考查运算能力，属于中档题25A【分析】由已知条件，令，则在中结合余弦定理可知，根据三角形面积公式即可求最大值【详解】由题意，可得如下示意图令，又，即有由余弦定理知：，当且仅当时等号成立有故选：A【点睛】本题考查了正余弦定理，利用向量的知识判断线段的长度及比例关系，再由余弦定理并应用基本不等式求三角形两边之积的范

25、围，进而结合三角形面积公式求最值26无27B【分析】首先利用三角函数的平方关系得到，然后根据平面向量的数量积公式得到所求【详解】解：因为的面积为30，且，所以，所以，得到，所以；故选：【点睛】本题考查了平面向量的数量积以及三角形的面积；属于中档题28A【分析】利用正弦定理边角互化思想化简可得，求得角的值，进而可判断出的形状.【详解】，由正弦定理得，即，则，所以，因此，是直角三角形.故选：A.【点睛】本题考查利用正弦定理边角互化判断三角形的形状，同时也考查了两角和的正弦公式的应用，考查计算能力，属于中等题.29C【分析】先建立平面直角坐标系，求出B,E,F坐标，再根据向量数量积坐标表示得结果.【

26、详解】如图所示，以为原点建立平面直角坐标系，为轴，为轴，则，因此，故选C.【点睛】平面向量数量积的类型及求法(1)求平面向量数量积有三种方法：一是夹角公式；二是坐标公式；三是利用数量积的几何意义.(2)求较复杂的平面向量数量积的运算时，可先利用平面向量数量积的运算律或相关公式进行化简.30B【分析】由题意结合中点的性质和平面向量基本定理首先表示出向量，然后结合平面向量的运算法则即可求得最终结果.【详解】如图所示，因为点D在线段上，所以存在，使得，因为M是线段的中点，所以：，又，所以，所以.故选：B.【点睛】(1)应用平面向量基本定理表示向量的实质是利用平行四边形法则或三角形法则进行向量的加、减

27、或数乘运算(2)用向量基本定理解决问题的一般思路是：先选择一组基底，并运用该基底将条件和结论表示成向量的形式，再通过向量的运算来解决31B【解析】【分析】利用向量的定义和运算法则逐一考查所给的命题是否正确即可得到正确命题的个数.【详解】逐一考查所给的命题：由向量的减法法则可知：，题中的说法错误；由向量加法的三角形法则可得：，题中的说法正确；因为，即；又因为，所以，即，所以ABC是等腰三角形.题中的说法正确；若，则，据此可知为锐角，无法确定为锐角三角形，题中的说法错误综上可得，正确的命题个数为2.故选：B.【点睛】本题主要考查平面向量的加法法则、减法法则、平面向量数量积的应用，由平面向量确定三角

28、形形状的方法等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.32D【分析】设，则，根据得出的范围，再结合得到的关系，从而得出的取值范围.【详解】设，则,因为，点在线段上(与点C，D不重合)，所以，又因为，所以，所以.故选：D【点睛】本题考查平面向量基本定理及向量的线性运算，考查利用向量关系式求参数的取值范围问题，难度一般.33B【分析】由题意可得，平方后整理得，利用三角形面积可求得的值，代入余弦定理可求得b的值.【详解】解：，成等差数列，平方得，又的面积为，且，由，解得，代入式可得，由余弦定理得，解得，.故选：B.【点睛】本题考查等差数列的性质和三角形的面积公式，涉及余弦定理的应用，属于中档题.34A【分析】利用余弦定理化角为边，得出 是等腰三角形【详解】中，c，由余弦定理得， ， ，是等腰三角形【点睛】本题考查余弦定理的应用问题，是基础题35D【分析】构造符合题意的特殊三角形（例如直角三角形），然后利用平面向量的线性运算法则进行计算即可得解【详解】解：如图所示的，其中角为直角，则垂心与重合，为的外心，即为斜边的中点，又为中点，为中点，故选：【点睛】本题考查平面向量的线性运算，以及三角形的三心问题，同时考查学生分析问题的能力和推理论证能力