圆内接四边形与四点共圆.docx

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1、圆内接四边形与四点共圆（选学）教案设计引言：圆内接四边形和四点共圆之间有着非常密切联系，这是因为顺次连结共圆四点就 成为圆内接四边形。实际上，在许多题目已知条件中，并没有给出圆，这时就需要通过 证明四点共圆，把实际存在圆找出来，然后再借助圆性质得到要证明结论。确定四点共圆办法有哪些呢？思路一：用圆定义：到某定点距离相等所有点共圆。-若连在四边形三边 中垂线相交于一点，那么这个四边形四个顶点共圆。（这三边中垂线交点就是圆 心）。产生原因：圆定义：圆可以看作是到定点距离等于定长点集合。基本模型：AO=BO=CO=DO = A、B、C、D 四点共圆（O 为圆心）思路二：从被证共圆四点中选出三点作一个

2、圆，然后证另一个点也在这个圆上， 即可证明这四点共圆。 要证多点共圆，一般也可以根据题目条件先证四点共圆，再 证其他点也在这个圆上。思路三：运用有关性质和定理： 对角互补，四点共圆：对角互补四边形四个顶点共圆。产生原因：圆内接四边形对角互补。基本模型：/A + ZD = 180。（或 ZB + ZD = 180。） O A、B、C、D 四点共圆 张角相等，四点共圆：线段同侧两点与这条线段两个端点连线夹角相等，则这 两个点和线段两个端点共四个点共圆。产生原因：在同圆或等圆中，同弧所对圆周角相等。方法指导：把被证共圆四个点连成共底边两个三角形，且两三角形都在这底边 同侧，若能证明其顶角（即：张角）

3、相等（同弧所对圆周角相等），从而即可肯定这 四点共圆。ZCAB = ZCDB= A、B、C、D 四点共圆 同斜边两个直角三角形四个顶点共圆，其斜边为圆直径。产生原因：直径所对圆周角是直角。/C = CD = 900= A、B、C、D 四点共圆 外角等于内对角，四点共圆：有一个外角等于其内对角四边形四个顶点共圆。产生原因：圆内接四边形外角等于内对角。基本模型：/ECD = ZB= A、B、C、D 四点共圆 用相交弦定理或切割线定理逆定理：把被证共圆四点两两连成相交两条线段，若能证明它们各自被交点分成两线 段之积相等，即可肯定这四点共圆。（相交弦定理逆定理）产生原因：相交弦定理。基本模型：AE B

4、E = CE DE = A、B、C、D 四点共圆把被证共圆四点两两连结并延长相交两线段，若能证明自交点至一线段两个端 点所成两线段之积等于自交点至另一线段两端点所成两线段之积，即可肯定这四点 也共圆.（割线定理逆定理）产生原因：割线定理。基本模型：EA EB = ED ECA、B、C、D四点共圆二、新课探究例1、如图，AD、BE、CF是锐角ABC三条高，H为垂心。（1）图中共有多少组四点共圆？（2）求证：ZADF = ZADE。分析：解k 1常的共有1，即 E.H7F : B,F,B,D I C D.H.E不含H 的也T三组,IH； ChDhFtA ; 4E,D,BLC 2 ） *|为r,也F

5、tA叫点JIM-故皿F旦么又因为 A,EtDrB Hl.j.JL网,故ZEDC = 2A从jilj ZflDF = ZEDC由尊角的余角相尊.知4DF = ZAD由珀沦 2 知慌苗应7的部心目为ADEF心内心,练习：锐角 ABC三条高AD、BE、CF交于H,在A、B、C、D、E、F、H七个点中，能 组成四点共圆组数是（）A、4组B、5组C、6组 D、7组分析：解：如图，以岫斜边的两个直角三角形，四个顶点共回g、L H、E） ,4以B的斜边的两个直角三角形，四个顶点共U（B. F. H. D） ,/不以匚胡斜边的两个直角三角形，四个顶点共圆（匚、D、瓦E）,顶以互以AB为斜边的两个直角三角形，四

6、个顶点共H（ A. E、D、B） ,以肮为斜道的两个直角三角形，四个顶点共回（玖L E、匚），iZ以此为斜边的两个直角三角形，四个顶点共圆（虹F. D. C ） ,BD 。共日组.敌选匚.例2、已知ABC为等腰直角三角形，NC为直角，延长CA 至D,以AD为直径作圆，连BD与圆O交于点E，连CE, CE 延长线交圆O于另一点F，那么BD值等于。CF分析：2理由：解：如图,连接AE, AF j DF j,AL为直径A ZAED=ZAEB=ZACB=90nAs匚、B、E四点共圆，.-.ZAF=ZABD j又,ZAFCZAUB j.AafcAabb j,BD_ADCF-AF JV ZFAD=ZFEE

7、=ZBEC=ZBAC=45D ,在RtAABF中，=cosZFAD=cos45n =-故答案为：妪.教师小结：在四点共圆题目已知条件中，通常没有给出圆，这时就需要通过证明四 点共圆，把存在圆找出来，然后再借助圆性质进行相应推导。练习：（2011湖北武汉中考题改编）如图，在菱形ABCD中，AB=BD，点E，F分别在AB，AD上，且AE=DF.连接BF与DE相交于点G，连接CG与BD相交于点H，则四边形BCDG 面积（记作：S四边形BCDG）与边CG关系是一分析：S四边形BCDG= 3CG2理由：/ BGE= / BDG+ / DBF= / BDG+ / GDF=60 = / BCD ,.点B、C

8、、D、G四点共圆，. Z BGC= Z BDC=60 , Z DGC= Z DBC=60。. Z BGC= Z DGC=60。过点C作CM GB于 M, CN GD 于 N.则 CBM CDN ( HL )。, S四边形BCDG=S四边形CMGN， S四边形CMGN=2S CMG.13Z CGM=60 ,. GM= CG , CM= 一 CG , 221 乂 1 ”乂、3 rX CGX CG=222, , S 四边形 cmgn=2S cmg-2x13Cr2CJ 2 o4例3如图，锐角AABC中，/A = 600，且O、I、H分别为AABC外心、内心和垂心。求证：OI=IH。分析:连结 AO、A

9、I、OC、IC、HC。易见 Z8OC =2ZA = 120之月月。=180 一 匕4 = I2O,N&C = 9O +丁 = 120，且OJ.H均在BC的同侧，故B0LH,C五点共圆,因为I为内心，所以Z.4B1 = ZCBI 又&Og 为等腰三角形，故 2奶0 =上(- ZAOB) = L(1M-2ZC) = 9O-ZC = ZG9/A即 ZABO = ZCBH 由一得OBH = ZHBI,再由B0LH五点共圆,得。/ = IH. A? A3 A4 内心练习：如图，四边形A A A A内接于一圆， AAA内心是I ,1 2 3 41 2 31是1， A A A 内心是1 O23 4 13求证

10、：（1） A、L、I、Ad 四点共圆；（2）匕 III =90 。21231 2 3分析:证明:（1）如图，连接,1内,I吗,I由和I内， ,马是%的内心，.%岫蚂寸匕跟,延长氏注1交四边形丸1妈氏4外接圆于F，则 ZA2I1k3=ZA2I1F+ZFI1A3=Zl1A1A2+Zl1A2A1 + Zl1A1k3+Zl1A3A1 =| （吗+匕、蛉知+ f%、）+捉+捉知、知,同理皿吗2 +5人我， 又、四边形a1a2a3a4内接于一圆， liLA A!_；：二九7人41_ J /岫1%=噂&，.,%、Ip Ir妈四点共圆；（2）又连接I3A4,则由（1 J知崂12；与、知四点共圆， Zl11=1

11、80- -ZIISO-捉、与同理Z1 甲*=1 明。-Zl3A4A3=180 -捉七明,.ZI1I2I3=360d - ()号(ZAj+ZA ) =90.三、反馈训练如图，O是RtAABC斜边AB中点，CHLAB于H,延长CH至D,使得CH=DH, F为CO上任意一点，过B作BEXAF于E,连接DE交BC于G。求证：ZCAF=ZCDE；分析:vAABC是Rt三角形，BEAf,.ZBEA=ZACB=90n.4 B, C, D四点共圆且AB是此圆直径, 又 VCHlAB j CH=DH j.,Il在此圆上.A, E, C, D. E五点共圆，.ZCAF=ZCDE；四、课外拓展1、已知AABC中，匕

12、ACB=90, AB边上高线CH与ABC两条内角平分线AM、 BN分别交于P、Q两点，PM、QN中点分别为E、F,求证：EFAB。证明：连接CF. FH,BN .CQ=NC .又F是诵肿点，.CFQN.ZCFB=90 =ZCHBCs F. H四点共圆.又 ZFBH=ZFBC j.FC=FHj点F在CH的中垂携上，同理可证，点E在CH的中垂携上，.EFCH,又 ABCH.EFZ/AB .2、如图所示，I为AABC内心，求证：ABIC外心O与A、B、C四点共圆。证明:连接口B、BL 0C，由D是外心知ZIOC=2ZIBC .由I是内心知ZABC=2ZIBC .从而ZIOC=ZABC .同SZIOB

13、=ZAB .而 ZA+ZABC+ZACB=180aZB0C+ZA=180n ,于是口、B-, L C四点共圆.3、如图，BD, CE是ABC两条高，F和G分别是DE和BC中点，O是ABC 外心.求证：AOFG。证明：如图，连接GD和GE,ZBDC=ZBEC=90a j BG=BC j2.又DF=EF,/.字，上延长 OADE 于 H,击G1C. ZBDC= ZBEC=90D.-.B，匚，E , D四点共圆，ZDEB=ZDCB=|ZAOB ,Q即 ZAEH=|ZA0B,又.,CiATB,.-.ZEAH=ZBAO=90n -|ZA0B, ZEAH+ZAEH=90D ,于是,ADDE 即OADE.A

14、OZ/FG .题单1、若一个圆经过梯形ABCD四个顶点，则这个梯形是梯形。分析：2、如图，已知 ABC 中，匕BAC/90, ADBC, BEAC, 且 AD、BE 交于点 H, 连接CH，则匕ACH+ZBAE=。（提示：过A作。O切线交BC延长线 于点F。）ACDB答案：90理由：解:VAABC中，ZBAC=/=90n , ALEC , BEAC ,.点h B、D、E在以AB为直径的0；过点A作口的切线AF交BC的延长戏B匚于点F,则AFAB . 二点H是三角形AB匚的垂心，.CH/7AF， .-.ZHCA=ZCAF（两直线平行，内错角相等）； 3. ZBAT=ZFAC+ZCAB=90n ,

15、.ZBAC+ZHCA=90 .故答案是：90 .3、如图，菱形ABCD对角线AC和BD相交于O点，E, F, G, H分别是AB, BC, CD, DA中点，求证：E, F, G, H四个点在以O为圆心同一个圆上。分析:解：连接DE j OF j OG j OH .-四边形ABCD为菱形，.-.AB=BC=CD=DAj 且EDAC .VE-, F、G盼别为AK BC-, CD、DA的中点，,-.oe=of=og=oh=|ab jE. F. Gs H四点在以为圆心蓦AB为半径的回上4、如图，正方形ABCD刀中心为O,面积为1989cm 2p为正方形内一点，且匕OPB=45。,PA : PB=5

16、: 14.则 PB=。(提示：连结 OA、OB )分析：42cm。理由：解：连接口九 OB j正方形ABCD的中心为口，Z0FE=45n .Z0AB=Z0FB=45n Z0BA=45a 0 , F, 4 B四点共圆， .ZAFB=ZADB=180 -45 -45 =90 在AOAB中由勾股定理停:FA2+FB2=AB2=1989 j 由于FA : FBW : 14 j设PA=5x j PB=14xj(5x ) 2+ ( 14x) 2=1989 解饵:x=3 .FB=14x=42 .敌答案为:42cm .5 （2011山东济南中考压轴题）如图，点C为线段AB上任意一点不与点A、B重合）， 分别以

17、AC、BC为一腰在AB刀同侧作等腰AACD和BCE , CA =CD , CB =CE ,匕ACD 与ZBCE都是锐角，且ZACD =ZBCE，连接AE交CD于点M ,连接BD交CE于点N , fpgAE与BD交于点P,连接CP。(1)求证：ACEADCB；(2) 请你判断ACM与DPM形状有何关系并说明理由;(3) 求证：匕 APC=ZBPC。分析：解：(1) 证：.ZACD=ZBCE,ZACE=ZDCB。又VCA=CD, CE =CB,AACEDCB (ASA)。(2) ACMADPM。理由如下：/ACEDCB,AZCAE=ZCDB，即 ZCAM=ZPDMO又 VZCMA=ZPMD,AACMDPMo(3) 证：.ZCAE=ZCDB,点A、C、P、D四点共圆。AZAPC=ZADCo同理，匕 BPC=ZBEC。又.等腰 ACD 和BCE, CA=CD, CB=CE,ZACD=ZBCE,AZADC=ZBECoAZAPC=ZBPCo