二次函数解析式的几种解法.ppt

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1、春天辛勤的耕耘 秋天丰厚的收获,求二次函数的解析式,有了追求的目标，才有不懈的努力我们距离成功只有一步之遥,春天辛勤的耕耘 秋天丰厚的收获,复习,抛物线 的对称轴及顶点坐标：,(1)对称轴：,直线,(2)顶点坐标：,春天辛勤的耕耘 秋天丰厚的收获,1.求下列函数的对称轴和顶点坐标,基础知识,解：,对称轴直线方程,顶点坐标,解：,对称轴直线方程,顶点坐标,春天辛勤的耕耘 秋天丰厚的收获,已知一次函数的图像经过点A(0,-3)点(2,-1)，求一次函数的解析式,解：,点A(0,-3)点B(2,-1)在所求的一次函数y=kx+b的图象上。,所以,解得：,所以所求的一次函数解析式为y=x-3,设所求的

2、一次函数的解析式y=kx+b为（k0）,春天辛勤的耕耘 秋天丰厚的收获,温 故 而 知 新,二次函数解析式有哪几种表达式？,1.一般式：yax2+bx+c(a0),2.顶点式：ya(x-h)2+k(a0),特殊形式,3.交点式：ya(x-x1)(x-x2)(a0),春天辛勤的耕耘 秋天丰厚的收获,知识讲解,1.用待定系数法求二次函数的解析式,主要步骤,（1）设：设函数的一般形式,（2）把点的坐标代人函数关系式中,（3）求出函数中字母常数,（4）代回（1）求出函数解析式,怀念是年少时一种梦想；追求是人生的一道风景线。努力学习是我们青年无悔的选择。,春天辛勤的耕耘 秋天丰厚的收获,例题1：,二次函

3、数的对称轴是y轴，顶点是原点，且图象经过点（-3,4）;求二次函数的解析式？,解：根据题意设函数的解析式是：y=ax2(a0),点（-3,4）在函数y=ax2 图象上,4=a（-3）2,即：9a=4,函数的解析式是：,用待定系数法求二次函数的解析式,春天辛勤的耕耘 秋天丰厚的收获,例题2：,抛物线的顶点坐标是（0，-3）,点（2,1）在函数的图象上，求这个抛物线的解析式？,解：根据题意设函数的解析式是：y=ax2+k(a0),抛物线的顶点坐标是（0，-3）,k=-3,点（2,1）在函数y=ax2+k的图象上，,1=a22+k,由和得：a=1,这个抛物线的解析式:y=x2-3,春天辛勤的耕耘 秋

4、天丰厚的收获,例题3：,抛物线的顶点坐标是（-3，0）,点（-2,25）在函数的图象上，求这个抛物线的解析式？,解：根据题意设函数的解析式是：y=a(x-h)2(a0),抛物线的顶点坐标是（-3，0）,h=-3,点（-2,25）在函数y=a(x-h)2 的图象上，,25=a(-2-h)2,由和得：a=25,这个抛物线的解析式:y=25(x+3)2,春天辛勤的耕耘 秋天丰厚的收获,例题4：,抛物线的顶点坐标是（-2，2）,点（-1,-5）在函数的图象上，求这个抛物线的解析式？,解：根据题意设函数的解析式是：y=a(x-h)2+k(a0),抛物线的顶点坐标是（-2，2）,h=-2,k=2,这个抛物

5、线的解析式:y=a(x+2)2+2,点（-1,-5）在函数y=a(x-h)2+k的图象上，,-5=a(-1+2)2+2,由得：a=-7,这个抛物线的解析式:y=-7(x+2)2+2,春天辛勤的耕耘 秋天丰厚的收获,例题5：,抛物线y=x2+bx+c的图象经过点A（-2，2）点B（-1,-5）求这个抛物线的解析式？,解：根据题意知：点A（-2，2）点B（-1,-5）在函数y=x2+bx+c的图象上,2=（-2）2+（-2）b+c,-5=（-1）2+（-1）b+c,联立和解得：b=-4;c=-10,这个抛物线的解析式:y=x2-4x-10,春天辛勤的耕耘 秋天丰厚的收获,例题6：,已知抛物线图象与

6、y=2x2 形状，大小相同。抛物线顶点的横坐标是3；且函数的图象经过点A（4,6）求这个抛物线的解析式？,解：根据题意设函数的解析式是：y=a(x-h)2+k(a0),抛物线的图象经过点A（4，6）,抛物线图象与y=2x2 形状，大小相同,a=2,抛物线顶点的横坐标是3,h=3,6=2(4-3)2+k,由解得：k=4,这个抛物线的解析式:y=2(x-3)2+4,春天辛勤的耕耘 秋天丰厚的收获,例题7：,二次函数的对称轴是y轴,图象经过点A（-3,2）和点B（2,7）;求二次函数的解析式？,解：根据题意设函数的解析式是：y=ax2+k(a0),点A（-3,2）和点B（2,7）在函数y=ax2+k

7、 图象上,2=a（-3）2+k,7=a 22+k,联立和解得：a=-1;k=11,这个抛物线的解析式:y=-x2+11,春天辛勤的耕耘 秋天丰厚的收获,例题8：,二次函数y=ax2+bx+c的图象向右平移3个单位长度，在向下平移2个单位，得到函数y=x2+2x+3求a,b,c的值和求二次函数的解析式。,解：y=x2+2x+3=(x+1)2+2(a0),抛物线顶点坐标是(-1,2),把函数y=（x+1）2+2图象向上平移2个单位得y=（x+1）2+4向左平移3个单位长度y=（x+4）2+4,即：y=ax2+bx+c=（x+4)2+4,即：a=1,b=8,c=20,二次函数的解析式为y=ax2+b

8、x+c=（x+4)2+4,春天辛勤的耕耘 秋天丰厚的收获,例题9：,抛物线过点(0,0)(1,2)(2,3)三点，求函数的解析式,解:设二次函数解析式为y=ax2+bx+c,点(0,0)(1,2)(2,3)在二次函数图象上,解得：,所求的抛物线解析式为:,（3）求出函数中字母常数a,b,c的值,小结：,过三点求出抛物线解析式,（1）设出二次函数一般式y=ax2+bx+c(a0),（2）将题目中三点坐标代入已设函数解析式中,（3）把a,b,c的值代人函数解析式中,春天辛勤的耕耘 秋天丰厚的收获,练习题：已知抛物线与x轴交于A（1，0），B（1,0）并经过点M（0,1），求抛物线的解析式.,解：设

9、所求的二次函数的解析式为y=ax2+bx+c,a-b+c=0a+b+c=0c=1,a=-1 b=0 c=1,解得,故所求的抛物线解析式为,y=-x2+1,春天辛勤的耕耘 秋天丰厚的收获,例题10：,抛物线 y=ax2+2x+c的对称轴是直线 x=2，且函数的最大值是-3,求 抛物线的解析式。,解：抛物线 y=ax2+2x+c的对称轴是直线 x=2，且函数的最大值是-3,抛物线的顶点坐标(2,-3),联立和解得：,抛物线的解析式,春天辛勤的耕耘 秋天丰厚的收获,例题11：,二次函数的图象与X轴交于A(2,0),B(-1,0)且过点(0,-2),求二次函数的解析式。,解:抛物线与X轴交于点(2,0

10、)(-1,0),设解析式为:y=a(x-2)(x+1),把点(0,-2)代入a(0-2)(0+1)=-2,解得 a=1,y=(x-2)(x+1),即:y=x2-x-2,本例中函数的图像与x轴的交点A(x1,0),B(x2,0)求函数的解析式通过设为y=a(x-x1)(x-x2)；代值求出a在求出函数的解析式。,春天辛勤的耕耘 秋天丰厚的收获,1.已知抛物线y=x2-4x+c(1)过点A(1,3)求c,例题12：,(2)顶点在X轴上，求c,解：(1)点A(1,3)在抛物线y=x2-4x+c上,求得 c=6,3=12-41+C,抛物线的解析式是y=x2-4x+6,解：抛物线y=x2-4x+c,=（

11、x-2)2+(4-c),抛物线的顶点坐标是（2,4-c),抛物线的顶点坐标在x轴上。,4-c=0,c=4,春天辛勤的耕耘 秋天丰厚的收获,抛物线y=2x2+bx+c过点(2,3)且顶点在直线y=3x-2上求抛物线的解析式,例题13：,解：抛物线的顶点坐标顶点在直线y=3x-2上，,设抛物线的顶点坐标为（m,3m-2),抛物线的解析式变形为y=2(x-m)2+(3m-2),点（2,3）在抛物线y=2(x-m)2+(3m-2)图像上,3=2(2-m)2+(3m-2),m=1，,春天辛勤的耕耘 秋天丰厚的收获,例题14,例14.要修建一个圆形喷水池,在池中心竖直安装一根水管.在水管的顶端安装一个喷水

12、头,使喷出的抛物线形水柱在与池中心的水平距离为1m处达到最高,高度为3m,水柱落地处离池中心3m,水管应多长?,A,B(1，3),解:如图建立直角坐标系,点(1,3)是图中这段抛物线的顶点.,因此可设这段抛物线对应的函数是,y=a(x1)23(0 x3),这段抛物线经过点(3,0),0=a(31)23,解得:,因此抛物线的解析式为:,当x=0时,y=2.25,答:水管长应为2.25m.,春天辛勤的耕耘 秋天丰厚的收获,已知抛物线,(,例题15,已知一个二次函数的图象是由y=2x2 平移得到的，且函数的图象过点（1，10）、（1，4）、（2，7）三点，求这个函数的解析式.,解：,设所求的二次函数

13、为y=ax2+bx+c,由已知得：,a-b+c=10a+b+c=44a+2b+c=7,解得：,a=2,b=-3 c=5,因此：所求二次函数是：,y=2x2-3x+5,怀念是年少时一种梦想；追求是人生的一道风景线。努力学习是我们青年无悔的选择。,春天辛勤的耕耘 秋天丰厚的收获,怀念是年少时一种梦想；追求是人生的一道风景线。努力学习是我们青年无悔的选择。,如图：已知抛物线的顶点为x=-1;函数的最小值是-4，图象又经过点C(2，5)，求其解析式。,例题16,解：抛物线的对称轴是直线x=-1；可以知道如图点A（-1,4）,B(1,0),B(1，0),A,设抛物线的解析式为y=a(x+1)2+4,因为

14、点C(2，5)在函数的图象上,5=a(2+1)2+4,设抛物线的解析式为,春天辛勤的耕耘 秋天丰厚的收获,已知二次函数图象顶点为C（1，0），直线 y=x+m 与该二次函数交于A，B两点，其中A点（3，4），B点在y轴上.（1）求m值及这个二次函数关系式；（2）P为线段AB上一动点（P不与A，B重合），过P做x轴 垂线与二次函数交于点E，设线段PE长为h，点P横坐标为x，求h与x之间的函数关系式，并写出自变量x取值范围；（3）D为线段AB与二次函数对称 轴的交点，在AB上是否存在一点P，使四边形DCEP为平行四边形？若存在，请求出P点坐标；若不存在请说明理由。,，,例题17,春天辛勤的耕耘 秋

15、天丰厚的收获,如图12-2，抛物线顶点坐标为点C(1,4),交x轴于点A(3,0)，交y轴于点B.(1)求抛物线和直线AB的解析式；(2)点P是抛物线(在第一象限内)上的一个动点，连结PA，PB，当P点运动到顶点C时，求CAB的铅垂高CD及,(3)是否存在一点P，使SPAB=若存在，求出P点的坐标；若不存在，请说明理由.,SCAB,春天辛勤的耕耘 秋天丰厚的收获,春天辛勤的耕耘 秋天丰厚的收获,春天辛勤的耕耘 秋天丰厚的收获,春天辛勤的耕耘 秋天丰厚的收获,春天辛勤的耕耘 秋天丰厚的收获,春天辛勤的耕耘 秋天丰厚的收获,春天辛勤的耕耘 秋天丰厚的收获,春天辛勤的耕耘 秋天丰厚的收获,春天辛勤的

16、耕耘 秋天丰厚的收获,1.抛物线y=ax2+bx+c与y=-x2形状相同,对称轴是直线x=3,最高点在直线y=x+1上,求抛物线解析式;,课堂练习题,2.已知直线y=kx+b与x轴相交于点A；点A的横坐标为2,直线与抛物线y=ax2相交于B、C两点,且点B与点P(-1,1)关于y轴对称.(1)求直线和抛物线的解析式;(2)若抛物线上有一点D,使SAOD=SBOC,求点D的坐标.,春天辛勤的耕耘 秋天丰厚的收获,3.已知抛物线 y=ax2+bx+c 与直线y=kx+4 相交于点A(1,m),B(4,8),与x轴交于坐标原点O和点C.(1)求直线和抛物线解析式.(2)在x轴上方的抛物线是否存在D点

17、,使得SOCD=SOCB.若存在,求出所有符合条件的点;若不存在,说明理由.,春天辛勤的耕耘 秋天丰厚的收获,4.已知二次函数的图象经过点(0,3),对称轴方程是x-1=0,抛物线与x轴两交点的距离为4,求这个二次函数的解析式.,春天辛勤的耕耘 秋天丰厚的收获,小结：求抛物线解析式的三种方法,1.一般式：已知抛物线上的三点，通常设解析式为_,y=ax2+bx+c(a0),2.顶点式：已知抛物线顶点坐标（h,k），通常设抛物线解析式为_求出表达式后化为一般形式.,y=a(x-h)2+k(a0),3.交点式:已知抛物线与x 轴的两个交点(x1,0)、(x2,0),通常设解析式为_求出表达式后化为一

18、般形式.,y=a(x-x1)(x-x2)(a0),春天辛勤的耕耘 秋天丰厚的收获,1、一般式：y=ax2+bx+c(a0),复习小结,基础知识求函数解析式,2、顶点式：y=a(xh)2+k(a0,其中点(h,k)为顶点，对称轴为x=h。,，,3.交点式：y=a(xx1)(x-x2)(a0)，其中x1,x2是抛物线与x轴的交点的横坐标。,x,求二次函数的解析式一般用待定系数法，但要根据不同条件，设出恰当的解析式：1、若给出抛物线上任意三点，通常可设一般式。2、若给出抛物线的顶点坐标或对称轴或最值，通常可设顶点式。3、若给出抛物线与x轴的交点或对称轴或与x轴的交点距离，通常可设交点式。,春天辛勤的耕耘 秋天丰厚的收获,春天辛勤的耕耘 秋天丰厚的收获,