二次函数的图象与性质(第二课时).ppt

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1、北师大版九年级下册第二章二次函数,2.2二次函数的图象与性质（第二课时）,你能用配方的方法把y=3x2-6x+5变形成y=3(x-1)2+2的形式吗?,二次函数y=ax+bx+c的图象,二次函数y=3x2-6x+5的图象是什么形状?它与我们已经作过的二次函数的图象有什么关系?,驶向胜利的彼岸,在同一坐标系中作出二次函数y=3x2和y=3(x-1)2的图象,由于y=3x2-6x+5=3(x-1)2+2,因此我们先作二次函数y=3(x-1)2的图象,比较函数 与 的图象,驶向胜利的彼岸,(2)在同一坐标系中作出二次函数y=3x2和y=3(x-1)2的图象,完成下表,并比较3x2和3(x-1)2的值

2、,它们之间有什么关系?,驶向胜利的彼岸,观察图象,回答问题,(3)函数y=3(x-1)2的图象与y=3x2的图象有什么关系?它是轴对称图形吗?它的对称轴和顶点坐标分别是什么?,(4)x取哪些值时,函数y=3(x-1)2的值随x值的增大而增大?x取哪些值时,函数y=3(x-1)2的值随x的增大而减少？,图象是轴对称图形对称轴是平行于y轴的直线:x=1.,顶点坐标是点(1,0).,二次函数y=3(x-1)2与y=3x2的图象形状相同,可以看作是抛物线y=3x2整体沿x轴向右平移了1 个单位,(3)函数y=3(x-1)2的图象与y=3x2的图象有什么关系?它是轴对称图形吗?它的对称轴和顶点坐标分别是

3、什么?,二次项系数相同a0,开口都向上.,想一想,在同一坐标系中作二次函数y=3(x+1)2的图象,会在什么位置?,在对称轴(直线:x=1)左侧(即x1时),函数y=3(x-1)2的值随x的增大而减少,.,顶点是最低点,函数有最小值.当x=1时,最小值是0.,二次函数y=3(x-1)2与y=3x2的增减性类似.,(4)x取哪些值时,函数y=3(x-1)2的值随x值的增大而增大?x取哪些值时,函数y=3(x-1)2的值随x的增大而减少？,在对称轴(直线:x=1)左侧(即x1时),函数y=3(x-1)2的值随x的增大而增大,.,想一想,在同一坐标系中作出二次函数y=3(x+1)2的图象,它的增减性

4、会是什么样?,驶向胜利的彼岸,真知 从实践走来,1.在上面的坐标系中作出二次函数y=3(x+1)2的图象.它与二次函数y=3x2和y=3(x-1)2的图象有什么关系？它是轴对称图形吗?它的对称轴和顶点坐标分别是什么?,2.x取哪些值时,函数y=3(x+1)2的值随x值的增大而增大?x取哪些值时,函数y=3(x+1)2的值随x的增大而减少？,在同一坐标系中作出二次函数y=3x2,y=3(x-1)2和y=3(x+1)2的图象,完成下表,并比较3x2,3(x-1)2和3(x+1)2的值,它们之间有什么关系?,驶向胜利的彼岸,函数y=a(x-h)2(a0)的图象和性质,图象是轴对称图形.对称轴是平行于

5、y轴的直线:x=-1.,顶点坐标是点(-1,0).,二次函数y=3(x+1)2与y=3x2的图象形状相同,可以看作是抛物线y=3x2整体沿x轴向左平移了1 个单位.,1.函数y=3(x+1)2的图象与y=3x2和y=3(x-1)2的图象有什么关系?它是轴对称图形吗?它的对称轴和顶点坐标分别是什么?,二次项系数相同a0,开口都向上.,想一想,二次函数y=3(x+1)2的图象的增减性会怎样?,在对称轴(直线:x=-1)左侧(即x-1时),函数y=3(x+1)2的值随x的增大而减少,.,顶点是最低点,函数有最小值.当x=-1时,最小值是0.,二次函数y=3(x+1)2与y=3x2的增减性类似.,2.

6、x取哪些值时,函数y=3(x+1)2的值随x值的增大而增大?x取哪些值时,函数y=3(x+1)2的值随x的增大而减少？,在对称轴(直线:x=-1)右侧(即x-1时),函数y=3(x+1)2的值随x的增大而增大,.,猜一猜,函数y=-3(x-1)2,y=-3(x+1)2和y=-3x2的图象的位置和形状.请你总结二次函数y=a(x-h)2的图象和性质.,2.抛物线y=-3(x-1)2和y=-3(x+1)2在x轴的下方(除顶点外),它的开口向下,并且向下无限伸展.,3.抛物线y=-3(x-1)2在对称轴(x=1)的左侧,当x1时,y随着x的增大而减小.当x=1时,函数y的值最大(是0);抛物线y=-

7、3(x+1)2在对称轴(x=-1)的左侧,当x-1时,y随着x的增大而减小.当x=-1时,函数y的值最大(是0).,二次函数y=-3(x-1)2,y=-3(x+1)2和y=-3x2的图象,4.抛物线y=-3(x-1)2可以看作是抛物线y=-3x2沿x轴向右平移了1个单位;抛物线y=-3(x+1)2可以看作是抛物线y=-3x2沿x轴向左平移了1个单位.,X=-1,X=1,1.抛物线y=-3(x-1)2的顶点是(1,0);对称轴是直线:x=1;抛物线y=-3(x+1)2的顶点是(-1,0);对称轴是直线:x=-1.,1.抛物线y=a(x-h)2的顶点是(h,0),对称轴是平行于y轴的直线x=h.,

8、3.当a0时,在对称轴(x=h)的左侧,y随着x的增大而减小;在对称轴(x=h)右侧,y随着x的增大而增大;当x=h时函数y的值最小(是0).当a0时,在对称轴(x=h)的左侧,y随着x的增大而增大;在对称轴(x=h)的右侧,y随着x增大而减小;当x=h时,函数y的值最大(是0).,二次函数y=a(x-h)2的性质,2.当a0时,抛物线y=a(x-h)2在x轴的上方(除顶点外),它的开口向上,并且向上无限伸展;当a0时,抛物线y=a(x-h)2在x轴的下方(除顶点外),它的开口向下,并且向下无限伸展.,X=h,X=h,4.越大,开口越小,越小,开口越大.,二次函数y=a(x-h)2与y=ax2

9、的图象形状相同,可以看作是抛物线y=ax2整体沿x轴平移了 个单位(当h0时,向右移 个单位;当h0时,向左移 个单位)得到的.,二次函数y=a(x-h)2的性质,.顶点坐标与对称轴,.位置与开口方向,.增减性与最值,抛物线,顶点坐标,对称轴,位置,开口方向,增减性,最值,y=a(x-h)2(a0),y=a(x-h)2(a0),（h，0）,（h，0）,直线x=h,直线x=h,在x轴的上方(除顶点外),在x轴的下方(除顶点外),向上,向下,当x=h时,最小值为0.,当x=h时,最大值为0.,在对称轴的左侧,y随着x的增大而减小.在对称轴的右侧,y随着x的增大而增大.,在对称轴的左侧,y随着x的增

10、大而增大.在对称轴的右侧,y随着x的增大而减小.,根据图形填表：,我思，我进步,在同一坐标系中作出二次函数y=3x,y=3(x-1)2和y=3(x-1)2+2的图象.,驶向胜利的彼岸,二次函数y=3x,y=3(x-1)2和y=3(x-1)2+2的图象有什么关系?它们的开口方向,对称轴和顶点坐标分别是什么?作图看一看,在同一坐标系中作出函数y=3x,y=3(x-1)2和y=3(x-1)2+2的图象.,完成下表,并比较3x2,3(x-1)2和3(x-1)2+2值,它们之间有何关系?,驶向胜利的彼岸,函数y=a(x-h)2+k(a0)的图象和性质,对称轴仍是平行于y轴的直线(x=1);增减性与y=3

11、x2类似.,顶点是(1,2).,二次函数y=3(x-1)2+2的图象可以看作是抛物线y=3x2先沿着x轴向右平移1个单位,再沿直线x=1向上平移2个单位后得到的.,二次函数y=3(x-1)2+2的图象和抛物线y=3x,y=3(x-1)2有什么关系?它的开口方向,对称轴和顶点坐标分别是什么?,开口向上,当X=1时有最小值:且最小值=2.,先猜一猜,再做一做,在同一坐标系中作二次函数y=3(x-1)2-2,会是什么样?,X=1,对称轴仍是平行于y轴的直线(x=1);增减性与y=3x2类似.,顶点是(1,-2).,二次函数y=3(x-1)2-2的图象可以看作是抛物线y=3x2先沿着x轴向右平移1个单

12、位,再沿直线x=1向下平移2个单位后得到的.,二次函数y=3(x-1)2-2的图象与抛物线y=3x2和y=3(x-1)2有何关系?它的开口方向、对称轴和顶点坐标分别是什么?,开口向上,当x=1时y有最小值:且最小值=-2.,想一想,二次函数y=-3(x-1)2+2和y=-3x,y=-3(x-1)2的图象有什么关系?它们的开口方向,对称轴和顶点坐标分别是什么?再作图看一看,X=1,我思，我进步,在同一坐标系中作出二次函数y=-3(x-1)2+2,y=-3(x-1)2-2,y=-3x和y=-3(x-1)2的图象,驶向胜利的彼岸,二次函数y=-3(x-1)2+2与y=-3(x-1)2-2和y=-3x

13、,y=-3(x-1)2的图象有什么关系?它们是轴对称图形吗?它的开口方向、对称轴和顶点坐标分别是什么?当x取哪些值时，y的值随x值的增大而增大?当x取哪些值时，y的值随x值的增大而减小?,对称轴仍是平行于y轴的直线(x=1);增减性与y=-3x2类似.,顶点分别是(1,2)和(1,-2).,二次函数y=-3(x-1)2+2与y=-3(x-1)2+2的图象可以看作是抛物线y=-3x2先沿着x轴向右平移1个单位,再沿直线x=1向上(或向下)平移2个单位后得到的.,二次函数y=-3(x-1)2+2与y=-3(x-1)2-2的图象和抛物线y=-3x,y=-3(x-1)2有什么关系?它的开口方向,对称轴

14、和顶点坐标分别是什么?,开口向下,当x=1时y有最大值:且最大值=2(或最大值=-2).,想一想,二次函数y=-3(x+1)2+2与y=-3(x+1)2-2的图象和抛物线y=-3x,y=-3(x+1)2,y,X=1,对称轴仍是平行于y轴的直线(x=-1);增减性与y=-3x2类似.,顶点分别是(-1,2)和(-1,-2).,二次函数y=-3(x+1)2+2与y=-3(x+1)2-2的图象可以看作是抛物线y=-3x2先沿着x轴向左平移1个单位,再沿直线x=-1向上(或向下)平移2个单位后得到的.,二次函数y=-3(x-1)2+2与y=-3(x-1)2-2的图象和抛物线y=-3x,y=-3(x-1

15、)2有什么关系?它的开口方向,对称轴和顶点坐标分别是什么?,开口向下,当x=-1时y有最大值:且最大值=2(或最大值=-2).,先想一想,再总结二次函数y=a(x-h)2+k的图象和性质.,X=1,二次函数y=a(x-h)+k与=ax的关系,一般地,由y=ax的图象便可得到二次函数y=a(x-h)+k的图象:y=a(x-h)+k(a0)的图象可以看成y=ax的图象先沿x轴整体左(右)平移|h|个单位(当h0时,向右平移;当h0时向上平移;当k0时,向下平移)得到的.因此,二次函数y=a(x-h)+k的图象是一条抛物线,它的开口方向、对称轴和顶点坐标与a,h,k的值有关.,二次函数y=a(x+h

16、)2+k的图象和性质,.顶点坐标与对称轴,.位置与开口方向,.增减性与最值,抛物线,顶点坐标,对称轴,位置,开口方向,增减性,最值,y=a(x-h)2+k(a0),y=a(x-h)2+k(a0),（-h，k）,（-h，k）,直线x=h,直线x=h,由h和k的符号确定,由h和k的符号确定,向上,向下,当x=h时,最小值为k.,当x=h时,最大值为k.,在对称轴的左侧,y随着x的增大而减小.在对称轴的右侧,y随着x的增大而增大.,在对称轴的左侧,y随着x的增大而增大.在对称轴的右侧,y随着x的增大而减小.,根据图形填表：,悟出真谛,练出本事,1.指出下列函数图象的开口方向对称轴和顶点坐标:,2.(

17、1)二次函数y=3(x+1)2的图象与二次函数y=3x2的图象有什么关系?它是轴对称图形吗?它的对称轴和顶点坐标分别是什么?(2)二次函数y=-3(x-2)2+4的图象与二次函数y=-3x2的图象有什么关系?对于二次函数y=3(x+1)2,当x取哪些值时,y的值随x值的增大而增大?当x取哪些值时,y的值随x值的增大而减小?二次函数y=3(x+1)2+4呢?,驶向胜利的彼岸,1.相同点:(1)形状相同(图像都是抛物线,开口方向相同).(2)都是轴对称图形.(3)都有最(大或小)值.(4)a0时,开口向上,在对称轴左侧,y都随x的增大而减小,在对称轴右侧,y都随 x的增大而增大.a0时,开口向下,在对称轴左侧,y都随x的增大而增大,在对称轴右侧,y都随 x的增大而减小.,2.不同点:只是位置不同(1)顶点不同:分别是(-h,k)和(0,0).(2)对称轴不同:分别是直线x=-h和y轴.(2)最值不同:分别是k和0.3.联系:y=a(x-h)+k(a0)的图象可以看成y=ax的图象先沿x轴整体左(右)平移|h|个单位(当h0时,向右平移;当h0时向上平移;当k0时,向下平移)得到的.,驶向胜利的彼岸,回味无穷,二次函数y=a(x-h)+k与=ax的关系,1.指出下列函数图象的开口方向,对称轴和顶点坐标.必要时作出草图进行验证.,2.填写下表:,