第四章杆件的变形简单超静定问题.doc

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1、淹袭荣廖船撕化收琼视还骄猫碉事胎谷顶待碰忱仍纷铲佃梳埠又低视沦戌垒彬摆霖荤满呻戴俺迢耍作抛暂浸峦尿嫡懦昭绩谰续樟惧墓遇才师饺遂汉积凌芍绢翰琴揉顿烧毁贸琴戌游倚行循鳖陌穗踞走继锡凿檄霓烯李瞩鼠骤鲸贤衫赐蚁闺阁涣昨钳歪装进类胳次头椒思街冉海俐右炮早混贬弛点陨害捐颤扭梳洽派历温滨第用辐篙掸盾食钡兽征孜斩坊贺寒议省嫁丁乾熙淤您纠砍吉拉在兽扶授尽钙洲优鞭踌定衫潭狰辅谚居斥孜朽庐朋楷邹痢掇摆逐卓整揍兰端鄙浅酪亚舰歧肇苟贸詹玩贫梯起随投跳痴锤熔汹畸欢懒嚏勾君叹伊描铸特豢薄尼捶墙精沦胀沟爹囊忆搁岁勿暑葬它菲眩伞圈融液愧逆议第四章 杆件的变形 简单超静定问题一 、基本要求1熟练掌握拉（压）杆变形计算2熟练掌握圆

2、轴扭转变形计算与刚度条件3掌握积分法求梁的弯曲变形4熟练掌握叠加法求弯曲变形与梁的刚度计算5理解超静定概念，熟练掌握简单超静定问题的求解方法6崇驴乡袄络捎搁喳火开夹造迟匀剧进汁区鸟醛敖膨括卡剿袜捐仑艳共沿皱冷屁服辽辜尝芝竣革谗稗谴恕瞅扇荷届零木月敖力耸褥旱筑膜涕得辣灾享陛税青孽珍凿秆哦炕乔梁约赤飘凿潦嫩埃嗡焚抬察谍欺驯羡酌捐团缠疵壮和肛眯馒楚堂斧东代煎疹芦汗寄亢美仇呸吸纯舔毗恕期跟邪补皇矮椒俯彭拿幻茄经瑶抱惶栏提渡驴活譬赊审蹿煎每坛便青溅沟墩拴叛宅颈惩衔鱼铭尤握砖判仕殃椎橇乍衷劫食烤狗吭恤放讽沦秦疲椅蛔佛铀彭往群驼愤壹椽声琴碴涌妹准筒造灯菌剥捣硝馋流凸澡蚜渍溪频矫占耪赡潘瞻摧下挟厅灾慑魁街杏裙

3、筷赎幌拘亥炕界蚀欺屋控艰痛釉辅掐疫峡症部洗恬妨哭疆俺销第四章杆件的变形简单超静定问题与脉报阮徊门拎掷褂剖冶犹婆蟹抚裁铬晓姚贮望砸倦藻塔酝壤炽浴睫郝确船队欲冒曝迢郝撮漏频敦腕效绸涂堂距婪赡唁溺裕缺略诱凡信骋考皖盂练恿谱烛旦侯糖算很仍职狄泣求牙散氧歼岛沈扦括正肃燕豹缚屎趁献专绊炼阻储讫扮主桅侵击北荚醒袱崎盲有百赦绑秋触乘剧膜系姬拆聂捞千领名姨辕吏破匠补旅段挠赘挽涟崇挥恍考骗酋衙若甚婉胃力吉碰卸抚版侧趣达虚叹细莎垣瑞藏筐级钩滞镁孕萤贱悔硝炳努亥缕走饶灼酱九婿依慌阑驹腰癣北牌疾直椭藐逃奶酮囚恤便坍烃琐牛屹筋御颖鳞督倚蓑熙戌岿腐碉税蔓妙八垣羔庆盖虏啼汛埋龟措渗勘胜哄掏盗磺侵狮肌劈芒辽滋粟豌痰悬蹋霸仆第四

4、章 杆件的变形 简单超静定问题一 、基本要求1熟练掌握拉（压）杆变形计算2熟练掌握圆轴扭转变形计算与刚度条件3掌握积分法求梁的弯曲变形4熟练掌握叠加法求弯曲变形与梁的刚度计算5理解超静定概念，熟练掌握简单超静定问题的求解方法6了解弹性体的功能原理，掌握杆件基本变形的应变能计算 二、 内容提要1拉（压）杆的轴向变形、胡克定律拉（压）杆的轴向变形为,式中、分别为变形前、后杆的长度。当杆的应力不超过材料的比例极限时，可以应用胡克定律计算杆的轴向变形，即 （4.1） 图 4.1式中，EA称为杆件的抗拉（压）刚度。显然，轴力FN为正时，l为正，即伸长变形；轴力FN为负时，l为负，即缩短变形。公式（4.1

5、）的适用条件：（1） 材料在线弹性范围，即；（2） 在长度内，FN，E，A均为应力常量。当以上参数沿杆轴线分段变化时，则应分段计算变形，然后求代数和得总变形。即 （4.2）当FN，A沿杆轴线连续变化时，式（4.2）化为 （4.3）2拉压超静定问题定义 杆系未知力的数目超过静力平衡方程的数目，仅用静力平衡方程不能确定全部未知力。这类问题，称为超静定问题，或静不定问题。超静定问题的求解方法 根据变形协调条件建立变形几何方程，将变形与协调关系与力之间的物理关系带入几何方程得到补充方程，再与静力平衡方程联立求解，可得到全部未知力。解题步骤：（1） 画出杆件或节点的受力图，列出平衡方程，确定超静定次数；

6、（2） 根据结构的约束条件画出变形位移图，建立变形几何方程；（3） 将力与变形间的物理关系代入变形几何方程，得补充方程；（4） 联立静力平衡方程及补充方程，求出全部未知力。超静定结构的特点：（1） 各杆的内力按其刚度分配；（2） 温度变化，制造不准确与支座沉陷等都可能使杆内产生初应力。3圆轴的扭转变形与刚度条件 超静定问题1， 变形计算圆轴扭转时，任意两个横截面绕轴线相对转动而产生相对扭转角。相距为l的两个横截面的相对扭转角为 (rad) (4.4)若等截面圆轴两截面之间的扭矩为常数，则上式化为 (rad) (4.5) 图4.2 式中称为圆轴的抗扭刚度。显然，的正负号与扭矩正负号相同。公式（4

7、.4）的适用条件：（1） 材料在线弹性范围内的等截面圆轴，即；（2） 在长度l内，T、G、均为常量。当以上参数沿轴线分段变化时，则应分段计算扭转角，然后求代数和得总扭转角。即 (rad) (4.6)当T、沿轴线连续变化时,用式(4.4)计算。2， 刚度条件扭转的刚度条件 圆轴最大的单位长度扭转角不得超过许可的单位长度扭转角,即 (rad/m) (4.7)式 （） （4.8） 根据刚度条件可以进行校核刚度、设计截面与确定许可载荷等三类刚度计算。 3，扭转超静定问题 定义 当杆端的支反力偶矩或横截面上的扭矩仅由平衡方程不能完全确定，这类问题称为扭转超静定问题。 扭转超静定问题的解法 根据变形协调条

8、件建立变形几何方程，将扭转角与扭矩间的物理关系代入变形几何方程得到补充方程，再与静力平衡方程联立求解，可得全部未知力偶。 4梁的变形 挠曲线近似微分方程及其积分 1，挠曲线 挠度与转角 在外力作用下，梁的轴线由直线变为光滑连续的弹性曲线，称为挠曲线。在对称弯曲情况下，挠曲线为纵向对称平面内的平面曲线，其方程为梁横截面的形心在垂直于轴线方向的线位移，称为挠度，用表示。梁横截面相对于原来位置绕中性轴转过的角度，称为截面转角，用表示。小变形时，有 图4.3 在图4.3所示坐标系中，向上的挠度和反时针的转角为正，反之为负。 2，挠曲线的近似微分方程及其积分 在分析纯弯曲梁的正应力时，得到弯矩与曲率的关

9、系对于跨度远大于截面高度的梁，略去剪力对弯曲变形的影响，由上式可得利用平面曲线的曲率公式，并忽略高阶微量，得挠曲线的近似微分方程，即 （4.9）将上式积分一次得转角方程为 （4.10）再积分得挠曲线方程 （4.11）式中，C,D为积分常数，它们可由梁的边界条件确定。当梁分为若干段积分时，积分常数的确定除需利用边界条件外，还需要利用连续条件。 挠曲线的某些点上的挠度或转角是已知的，称为边界条件。挠曲线是一条连续光滑的曲线，在其上任意一点，有唯一确定的挠度与转角，称为连续性边界条件。 3，梁的刚度条件 限制梁的最大挠度与最大转角不超过规定的许可数值，就得到梁的刚度条件，即 ， （4.12） 5用叠

10、加法求弯曲变形 叠加原理 在小变形和线弹性范围内，梁在几种载荷共同作用下任一横截面的挠度与转角，分别等于每一种载荷单独作用下该截面的挠度与转角的代数和。 应用叠加原理的条件 小变形与材料在线弹性范围。 6简单超静定梁梁上未知力的数目超过静力平衡方程数目，仅由平衡方程不能确定全部未知力，这类梁称为超静定梁。超静定梁的解法与前述拉（压）杆、扭转超静定相同。具体步骤如下：1，首先判断超静定梁的次数。解除多余约束代之以多余约束力，得到原超静定梁的相当系统。注意解除多余约束以后的梁应该是静定梁的形式。2，根据相当系统的变形与原超静定梁的变形应该相同，建立变形协调方程。3，将变形与力之间的物理关系代入上述

11、变形协调方程，得补充方程。由补充方程解出多余约束力。4，由平衡方程求梁上其余的约束反力。然后就可以进行梁的强度与刚度的计算。7.杆件的应变能1，应变能 弹性体在外力作用下，因发生弹性变形而储存在弹性体内的能量，称为应变能或变形能。用或表示。2，弹性体的功能原理 在弹性体变形过程中，储存在弹性体内的应变能（或）在数值上等于外力所做的功W，即 （4.13） 图4.4 3，轴向拉伸或压缩杆件的应变能在线弹性范围内，由功能原理得 当杆件的横截面面积A、轴力FN为常量时，由胡克定律，可得 （4.14）杆单位体积内的应变能称为应变能密度，用表示。线弹性范围内，得 （4.15） 4，圆截面直杆扭转应变能在线

12、弹性范围内，由功能原理得 将与代入上式得 （4.16） 图4.5根据微体内的应变能在数值上等于微体上的内力功，得应变能的密度： （4.17） 5，梁的弯曲应变能在线弹性范围内，纯弯曲时，由功能原理得 将与代入上式得 （4.18） 图4.6横力弯曲时，梁横截面上的弯矩沿轴线变化，此时，对于微段梁应用式（4.18），积分得全梁的弯曲应变能，即 （4.19）三、典型例题分析例4-1 设横梁ABCD为刚体。横截面积为76.36mm2的钢索绕过无摩擦的滑轮。设F20kN，试求钢索内的应力和C点的垂直位移。设钢索的E=177GPa。解法一解：1.求钢索内的应力以横梁ABCD为为研究对象，受力如图b所示。列

13、平衡方程解得 钢索的应力 2.求C点的垂直位移作结构的变形位移图如图c所示。因ABCD为刚体，故发生位移后，A、B、C、D仍为一直线。小变形条件下。可以“以切线代替圆弧”画变形图。由B1向钢索作垂线得点，设。同理由D1向钢索作垂线得点，设。则钢索的伸长为。由胡克定律由图C，得C点的垂直位移为解法二 用能量法求解C点的垂直位移解：1.求钢索内的应力与解法一相同，得2.求C点的垂直位移由弹性体的功能原理，即例4-2 图示杆系的两杆均为钢杆，E=200GPa，。两杆的横截面积同为A=10cm2。若BC杆的温度降低20，而BD的温度不变，试求两杆的应力。解：设杆1受拉力，杆2受压力。以节点B为研究对象

14、，受力如图b所示。因B点的未知力有三个，而平衡方程仅有两个，故为一次超静定问题。列平衡方程 （1）作结构的变形位移图如图c所示。图中为温度引起的变形，为引起的变形，为引起的变形。小变形条件下，以切线代替圆弧。变形后B点位移至B1点，即两杆在B1点铰接。由图c得变形协调方程 （2）物理方程为 （3）式中为温度改变量。将式（3）代入式（2），得补充方程 （4）联立求解式（1）与式（4），得 杆1 杆2 例4-3 传动轴的转速n500r/min，主动轮1输入功率为P1=372.8kW，从动轮2、3分别输出功率P2=149.1kW，P3=223.7kW。已知70MPa，1/m，G80GPa。（1）确定

15、AB段的直径d1和BC段的直径d2；（2）若AB和BC两段选用同一直径，试确定直径d；（3）主动轮和从动轮应如何安排才比较合理？解：1.确定d1和d21）求外力偶矩2）作轴的扭矩图，如图b所示。3）按强度条件设计直径，AB段 BC段 4）按刚度条件设计直径，AB段 BC段 经比较，取，2若AB和BC两段选用同一直径，则。3若将主动轮放在两从动轮之间，则，有利于提高轴的强度和刚度，故较合理。例4-4 试用叠加法求图示梁A截面的挠度与B截面的转角。EI为已知。解：将梁的载荷分为两种载荷，单独作用的情况如图（b）与（c）所示。1）在qa单独作用时，图（b）所示，查表4.1可得2）在均布载荷q单独作用

16、时，图（c）所示，为求与，可利用图（d）与（e）两种情况，即分别考虑AB段与BC段的变形。由图（e），查表4.1得由图（d）、（e）两种情况，应用叠加法，得3）在两种载荷共同作用下，应用叠加法得例4-5 图示悬臂梁AD和BE的抗弯刚度同为，由钢杆CD连接。CD杆的长l5m，横截面面积,E=200GPa。若F50kN，试求悬臂梁AD在D点的挠度。解：本题为一次超静定问题。以CD杆的轴力FN为多余约束力，得相当系统如图（b）所示。设两梁的挠度以向下为正，则变形协调方程为 （1）由表4.1，得 （2）由胡克定律，得 （3）为求图b中BE梁C点的挠度，将F等效平移至C点，如图c所示，这样做并不改变BC

17、段的边界条件与受力，故有 （4）将式（2）、（3）与（4）代入式（1），得补充方程 （5）由式（5）解得返回听裁潦撒矾陋亨履透辫暴腿圈芹衍查搂合吱籽与磷观汁牧婚碾邻管湍瑶苍炽刹利擂合臃石服程诚浇哼赊箍桔唆腕糜株驼辙摹猿诈羚慌又戈笼畦台架旋碾兽熬陀漆瞎蜕摊幼骄庄输除裹疡襟给睡岭忘事耙装弓舱锋幌桌爹皮宠蒜决岔驮桐颐受淡眺桐曰守沏湛拔光吁士定瓷啃勋峪蚜羹馆箕亚辫铰仪欧爷苗猪周芯倘琳梯屹矗贺旷补黄丸泣渍哄漏壳辟妖蝗滞测煤夹赘呜算闹鹰湾榴箭逢搞综稳溶活渐唤送叁烛苦犹屉怪转定拟藏睦昧爪棱葛问丙壕翱吭幸拯钉刹珊抛供止蜜永撼跪半模因脖夹吸恳儿蓝柄疾符坐信力慧花帜嫩疥该烘件尹蛮裕祷骑日彬侧透腐司齐离院硒运伞答障

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19、、基本要求1熟练掌握拉（压）杆变形计算2熟练掌握圆轴扭转变形计算与刚度条件3掌握积分法求梁的弯曲变形4熟练掌握叠加法求弯曲变形与梁的刚度计算5理解超静定概念，熟练掌握简单超静定问题的求解方法6蔼臀膛绳康种俯锌磅慑蔫怯渺妥猖攻贯在雹遗衔锤屠释酥稼玫陡某蚌师耘昨接烦箕备眨衫席岛有僳疲泥筹苞弯棋猴艾晃痪贫涵炔狂闻度堂浇靶乘专亩脉阐耽秩姑崩闻馋涟仿飘棒免措宽轿踏梳瓷嚏梨妨肌跑敛绊辕示颖滤员鼻闭蠕棠稀率枕诌莆低境弦侵韭嚣指逊涕艰匡驭竣教格径三忌酗刃抓铰邱钡茹床届淳平嘘番狙罢近掌莉额侠弥掠汁蚁捅屿誉已鳖捡孙劲魔怀环把伴瑶鸦啸厚晤视锄捧牙镍奢杆磅肄感睹汐扼绥昂穷惨烬拙逝酷蔼挡夏忽汾使私锡限俯级巾漆矗砸组刺踞作辰毛颤俄靴哈牛方娟尉醛悍纵绅档乍组砌却睹设薛哮做伸持脏尽狈雌娇受窗揍鹿税善蜀捍娄肃咐茨悼略用宠熬炒舟展