代数学的新生-19世纪的代数学.ppt

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1、18世纪的几何与代数,分析的光芒使18世纪综合几何的发展暗然失色，但分析方法的应用却开拓出了一个崭新的几何分支，即微分几何，从而改变了18世纪几何学的面貌。“代数”在18世纪数学家心目中则是“分析”的同义语，他们将分析看作是代数的延伸。在这种情况下，18世纪的代数学为下个世纪的革命性发展做出了必要准备。,1 微分几何的形成,微积分的创始人已经利用微积分研究曲线的曲率、拐点、渐伸线、渐屈线等而获得了属于微分几何范畴的部分结果。但微分几何成为独立的数学分支主要是在18世纪。1731年法国数学家克莱洛发表了关于双重曲率曲线的研究，开创了空间曲线理论，是建立微分几何的重要一步。欧拉是微分几何的重要奠基

2、人。他早在1736年就引进了平面曲线的内在坐标概念，即以曲线弧长作为曲线上点的坐标。在无限小分析引论第2卷中则引进了曲线的参数表示：x=x(s),y=y(s),z=z(s),欧拉将曲率定义为曲线的切线方向与一固定方向的交角相对于弧长的变化率,并推导了空间曲线任一点曲率半径的解析表达式欧拉的曲率定义是对克莱洛引进的空间曲线的两个曲率之一的标准化（另一个曲率,现在叫“挠率”，其解析表示到19世纪初才得到）。欧拉关于曲面论的经典工作关于曲面上曲线的研究（1760）被公认为微分几何史上的一个里程碑。欧拉在其中,将曲面表示为z=f(x,y),并引进了相当于,的标准符号外，欧拉还正确地建立了曲面的曲率概念

3、，引进了法曲率、主曲率等概念，并得到了法曲率的欧拉公式,（其中 是主曲率，是一法截面与主曲率所在法截面的交角）。1771年以后，欧拉还率先对可展曲面理论进行了研究，导出了曲面可展性的充分必要条件。18世纪微分几何的发展因蒙日的工作而臻于高峰。蒙日于1795年发表的关于分析的几何应用的活页论文是第一部系统的微分几何著述。他将空间曲线与曲面理论与微分方程紧密结合，在曲面簇、可展曲面及直纹面研究方面获得了大量深刻的结果。与大多数学数学家不同的是，蒙日不仅将分析应用于几何，同时也反过来用几何去解释微分方程，从而推动后者的发展。他开创了偏微分方程的特征理论，引进了探讨偏微分方程的几何工具：特征曲线与特征

4、锥（现称“蒙日锥”）等，它们至今仍是现代偏微分方程论中的重要概念。,18世纪代数学的主题仍然是代数方程。在这个世纪的最后一年，年青的高斯在他的博士论文中公布了代数基本定理的第一个实质性证明。高斯的这一成果可以看作是18世纪方程论的一个漂亮的总结。代数基本定理断言n次代数方程恰有n个根。它最早是由荷兰数学家吉拉尔于1629年提出，后经笛卡尔、牛顿等众多学者反复陈述、应用，但均未给出证明。高斯的思想具有深刻的意义，因为其证明是纯粹存在性的。在此之前，几乎所有的数学家都习惯于通过实际构造来证明问题解的存在。相对于代数基本定理而言，高次方程根式可解性问题显得并不怎么幸运。尽管未能在18世纪奏响解决的凯

5、歌,但这个世纪的数学家们还是为此做出了历史性贡献，其中以拉格朗日的工作最为重要。他在1770年的一篇长文中探讨了一般三、四次方程能根式求解的原因，并猜测高次方程一般不能根式求解。1799年，拉格朗日的部分猜测被意大利的鲁菲尼所证实。可以说，他们已经走到了成功的边缘，虽然未能达到目标，却为下一世纪的最终冲刺指明了方向。方程组理论也是颇受关注的代数方程问题。首先是线性方程组与行列式理论。瑞士数学家克拉姆在其代数曲线分析引论（1750）中提出了由系数行列式来确定线性代数方程组解的表达式的法则，即“克拉姆法则”。行列式理论在1772年被法国数学家范德蒙德系统化，自此成为独立的数学对象。范德蒙德用二阶子

6、行列式及其余子式来展开行列式的法则，后来被拉普拉斯推广到一般情形而称为“拉普拉斯展开”。,2 方程论及其他,与方程论相联系的是人们对数的认识。18世纪的数学家还谈不上有完整的数系概念和建立数系的企图。虽然在接受负数与复数方面还存有疑虑与争议，但在弄清复数的意义方面却也有些功绩。随着微积分的发展，复数几乎进入了所有的初等函数领域，并且在应用上卓有成效。达朗贝尔在1747年关于一切复数均可以表示成形式 a+b i 的断言开始被多数人接受。1797年，丹麦数学家韦塞尔创造了复数的几何表示，并发展了复数的运算法则。等到1806年瑞士人阿尔冈、1831年高斯各自独立发表了关于复数几何表示的研究之后，笼罩

7、着虚数的疑云终于被驱散开来。18世纪数学家在澄清无理数逻辑基础方面没有进展，但他们以相对平静的态度接受了一些数的无理性。欧拉在1737年证明了e是无理数。他的证明以连分数为基础，他得到 e 的连分数展开：,因为他已经证明了每一个有理数都能表示成一个有限的连分数，所以e必定是无理数。1761年，兰伯特用类似方法证明了圆周率是无理数。稍后勒让德甚至猜测说可能不是任何有理系数方程的根。这促使数学家们将无理数区分为代数数和超越数。1844年，法国数学家刘维尔第一次真正地显示了超越数的存在，他证明了形如,的数（a1,a2,a3,为从0到9的任意整数）都是超越数。1873年和1882年，法国数学家埃尔米特

8、和德国数学家林德曼又分别证明了e和 的超越性。,虽然古希腊、中国与印度的数学著作中早就给出了不少问题和结果，但近代意义上的数论研究还得从费马开始。费马提出了大量定理或猜想，让全世界的数学家们忙碌了好几个世纪，有的至今仍为现代数论饶有兴趣的课题。(1)费马小定理：如果 p是素数，a与p互素，则 ap-a可以被 p 整除。1640年10月18日,费马给德贝西（B.Frenicle de Bessy）的信中提出。(2)费马大定理：对于任意大于 2的自然数 n，方程xn+yn=zn 没有整数解。费马阅读巴歇（C.-G.Bachet）校订的丢番图算术时的批注。1670年费马及其子萨缪尔（Samuel）的

9、批注连同巴歇校订的算术再版，此问题公诸于世。(3)平方数问题：I）每个4n+1形的素数和它的平方都只能以一种方式表示为两个平方数之和；每个4n+1形的素数的三次方和它的四次方都只能以两种方式；其五次方和六次方都能以三种方式，如此等等，以至无穷。如 n=1时，5=22+12，52=32+42，53=22+112=52+102，等等；II）每个正整数可表示成四个或少于四个平方数之和。(4)费马数：形如 Fn=22+1（n=0,1,2,3,）的数永远是素数.1640年，费马给梅森的信中提出。(5)佩尔方程的解：当A是正数而非完全平方数时，佩尔（J.Pell,1611-1685）方程 x2-Ay2=1

10、 有无穷个整数解。1657年2月,费马给德贝西（B.Frenicle de Bessy）的信中提出。18世纪的数论尤其受到了费马思想的主宰，该时期得到的许多结果，都与证明费马提出的这些猜想有关。,3 数论的进展,n,1732年，欧拉推翻了费马关于费马数的结论，证明n=5时，Fn=22+1 不是素数，它有一个因子641。今天我们知道，对于 n=5 16，Fn 都是合数。还存在其他的 n 使 Fn 是合数。1736年，欧拉证明了费马小定理是正确的。1753年，欧拉在致哥德巴赫(C.Goldbach,1690-1764)的一封信中宣布证明了n=3时的费马大定理。其证明使用了一种称为“无限下降法”技巧

11、。该技巧实际也是费马的发明。他曾使用这种方法证明了如下定理：边长为整数的直角三角形其面积不可能是整数的平方。这也是费马惟一写出了证明过程的定理。证明大意是：令x,y,z为直角三角形的边长，z 是斜边，则有x2+y2=z2,设三角形面积为 u2,u是整数，三角形面积应为u2=xy/2.依靠一套巧妙的推理,费马导出了另一组正整数 X1,Y1,Z1 和 U1,因为X1,Y1,Z1 和 x,y,z有同样性质，故根据同样推理可导出另一组正整数X2,Y2,Z2,U2,使得,5,且有Z2 Z1.,且有Z1 z,使得,这一推理过程可以无限继续下去，这将引出矛盾，因为不可能有无限下降的正整数序列，所以结论只能是

12、：不存在面积为某个整数的平方而边长均为整数的直角三角形。费马还曾在给朋友的信中宣称自己用无限下降法证明了n=4时的费马大定理，但却没有寄出证明过程。德贝西根据费马的提示在1676年补出了这一证明。无限下降法在18世纪成为一种证明数论问题的有用技巧。,18世纪的数学家们也有自己的猜想，其中最著名的是哥德巴赫猜想与华林问题。1742年6月7日，哥德巴赫在给欧拉的信中提出了自己的猜想：每个偶数是两个素数之和；每个奇数是三个素数之和。哥德巴赫的原始陈述相当含糊，欧拉将其进一步明确化，但却未能证明这个命题。哥德巴赫猜想现在的表述形式是英国数学家华林在他的代数沉思录中首先给出的。华林在同一著作中还提出了他

13、自己的一个猜想：任一自然数n，可表示成至多r个数的k次幂之和，其中r依赖于k。“华林问题”与哥德巴赫猜想，以及费马那些未获得解决的命题一起，为后世数论研究提供了持久的刺激。华林问题直至1909年才由德国数学家希尔伯特首次证明。1994年，费马大定理也由英国数学家维尔斯证明，而哥德巴赫猜想至今仍然悬而未决。（格尔曼1776-31）18世纪数论还有两项深刻的工作需要特别提到，它们都属于欧拉。一个是欧拉在1737年导出的一个恒等式,该恒等式在数论与分析之间架起了一座桥梁，是解析数论的肇端。另一个是欧拉在1743年发现的二次互反律。诚如他所预言，二次互反律在19世纪成为数论研究的重要课题并引出“许多伟

14、大的结果”，从而开启了代数数论的新领域。,其中 s 1,n 取遍所有的正整数，p取遍所有素数。,从17世纪初开始，数学经历了近两个世纪的开拓，在18世纪行将结束的时候，数学家们对自己从事的这门科学却奇怪地存在着一种普遍的悲观情绪。拉格朗日于1781年在写给达朗贝尔的信中说：“在我看来似乎（数学的）矿井已经挖掘很深了，除非发现新的矿脉，否则迟早势必放弃它，科学院中几何学（指数学）的处境将会有一天变成目前大学里阿拉伯语的处境一样，那也不是不可能的。”欧拉和达朗贝尔都同意拉格朗日的观点。法国法兰西学院一份关于1789年以来数学科学进展的历史及其现状的报告更是预测在数学的“几乎所有的分支里，人们都被不

15、可克服的困难阻挡住了；把细枝末节完善化看来是剩下来惟一可做的事情了，所有这些困难好象是宣告我们的分析的力量实际上是已经穷竭了”。这种世纪末悲观主义的由来，可能是因为17、18世纪数学与天文力学的紧密结合，使部分数学家把天文与力学看成是数学发展的几乎惟一源泉，而一旦这种结合变得相对滞缓和暂时进入低谷，就会使人感到迷失方向。当然也有人看到了曙光，孔多塞在1781年写道：“不应该相信什么我们已经接近了这些科学必定会停滞不前的终点，我们应该公开宣称，我们仅仅是迈出了万里征途的第一步！”,4 18世纪末数学发展的悲观情绪,从根本上说，数学的发展与人类的生产实践和社会需求密切相关，对自然的探索是数学研究最

16、丰富的源泉。但是，数学的发展对于现实世界又表现出相对的独立性。一种数学理论一经建立，便可基于逻辑思维向前推进，并由此导致新理论与新思想的产生。因此，内在的逻辑需要也是数学进步的重要动力之一。过于看重数学进展对现实需要的依赖，而忽视数学发展的内在动力，难免产生对数学发展前景的悲观预见.生产实践的需要 数学发展的动力 数学内部的矛盾 数学家的求知欲,实际上，就在18世纪后半叶，数学内部悄悄积累的矛盾已经开始酝酿新的变革。当时的数学家们面临着一系列数学自身产生的、长期悬而未决的问题，其中最突出的是：（1）高于四次的代数方程的根式求解问题；（2）欧几里得几何中平行公理的证明问题；（3）牛顿、莱布尼兹微

17、积分算法的逻辑基础问题。在19世纪初，这些问题已变得越发尖锐而不可回避。,19世纪的代数学：新生的时代,1 代数方程的可解性与群的发现,发现者：阿贝尔 伽罗瓦发展者：凯莱 若尔当 F.克莱因 李,中世纪的阿拉伯数学家把代数学看成是解代数方程的学问。直到19世纪初，代数研究仍未超出这个范围。不过这时数学家们的注意力集中在了五次和高于五次的代数方程上。二次方程的解法古巴比伦人就已掌握。中世纪，阿拉伯数学家将二次方程的理论系统化。三、四次方程的求解在文艺复兴时期获得解决。接下来，让人关心的自然是一般的五次或更高次的方程求解。在解出三、四次方程后的整整两个半世纪内，很少有人怀疑五次代数方程根式解法的存

18、在性。但是寻求这种解法的努力却都以失败而告终。,Niels Henrik Abel(18021829）,挪威数学家。1802年8月5日生于芬岛一个牧师家庭,1829年4月6日卒于弗鲁兰。13岁入奥斯陆一所教会学校学习,年轻的数学教师B.M.霍尔姆博发现了阿贝尔的数学天才,对他给予指导。少年时,阿贝尔就已经开始考虑一些数学问题。1821年在一些教授资助下,入奥斯陆大学。在学校里,他几乎全是自学,同时花大量时间作研究。1824年,他解决了用根式求解五次方程的不可能性问题。为了能有更多的读者,他的论文以法文写成,也送给了C.F.高斯,可是在外国数学家中没有任何反响。1825年,他去拍林,结识了A.L

19、.克雷尔,并成为好友。他鼓励克雷尔创办了著名的数学刊物纯粹与应用数学杂志。第1卷（1826）刊登了7篇阿贝尔的文章,其中有一般五次方程用根式不能求解的证明。以后各卷也有很多他的文章。1826年阿贝尔到巴黎,遇见了A.M.勒让德和A.L.柯西等著名数学家。他写了一篇关于椭圆积分的论文,提交给法国科学院,不幸未得到重视,他只好又回到拍林。克雷尔为他谋求教授职位,没有成功。1827年阿贝尔贫病交迫地回到了挪威,靠作家庭教师维生。直到阿贝尔去世前不久,人们才认识到他的价值。,1828年,四名法国科学院院士上书给挪威国王,请他为阿贝尔提供合适的科学研究位置,勒让德也在科学院会议上对阿贝尔大加称赞。次年4

20、月6日,不到27岁的阿贝尔就病逝。柏林大学邀请他担任教师的信件在他去世后的第二天才送出。此后荣誉和褒奖接踵而来,1830年他和C.G.J.雅可比共同获得法国科学院大奖。阿贝尔在数学方面的成就是多方面的。除了五次方程之外,他还研究了更广的一类代数方程,后人发现这是具有交换的伽罗瓦群的方程。为了纪念他,后人称交换群为阿贝尔群。阿贝尔还研究过无穷级数,得到了一些判别准则以及关于幂级数求和的定理。这些工作使他成为分析学严格化的推动者。,1.1 阿贝尔,阿贝尔和雅可比是公认的椭圆函数论的奠基者。阿贝尔发现了椭圆函数的加法定理、双周期性、并引进了椭圆积分的反演。他研究了形如R(x,y)dx的积分(现称阿尔

21、贝积分)，其中R（x,y）是x 和y 的有理函数,且存在二元多项式f,使 f(x,y)=0。他还证明了关于上述积分之和的定理,现称阿贝尔定理,它断言:若干个这种积分之和可以用g个这种积分之和加上一些代数的与对数的项表示出来,其中g只依赖于f,就是f的亏格。阿贝尔这一系列工作为椭圆函数论的研究开拓了道路,并深刻地影响着其他数学分支。C.埃尔米特曾说:阿贝尔留下的思想可供数学家们工作150年。,阿贝尔铜像,阿贝尔中学时代的笔记,Evariste Galois(18111832）,1.2 伽罗瓦,尽管1824年阿贝尔完全证实了拉格朗日的命题：“不可能用根式解四次以上方程”，粉粹了人们对根式求解五次以

22、上代数方程的奢望，而且没有忘记给出一些特殊的能用根式求解的方程，其中的一类现在被称为“阿贝尔方程”。在此过程中，阿贝尔已在实际上引进了“域”这一重要的近世代数思想。然而数学家们并不满足，他们又开始追问：究竟什么样的特殊方程能够用根式来求解？在其1829-1831年间完成的几篇论文中，一位同样年青的法国数学家伽罗瓦对此做出了解答。,伽罗瓦的思想是将一个n次方程,的n个根（由代数基本定理可知）x1、x2、xn作为一个整体来考察，并研究它们之间的排列或称“置换”。,为了容易理解起见，我们以四次方程的四个根x1、x2、x3、x4为例，在包含这些 xi 的任何表达式中交换 x1和 x2 就是一个置换，用

23、,来表示。另一个置换用,表示。第一个置换后再实行第二个置换，等价于实行第三个置换,我们说头两个置换按上述顺序作成的“乘积”就是第三个置换，即P1 P2=P3.对于四次方程的情形，易知共有4！=24个可能的置换。这些置换的全体构成一个集合，而其中任意两个置换的乘积仍是原来集合中的一个置换，伽罗瓦称之为“群”。这是历史上最早的“群”的定义，不过它只是针对一个具体的群（置换群）所作的定义，还不是抽象群的一般定义。但伽罗瓦正是利用他提出的群的概念来解决方程根式可解性问题的。进一步考虑一个方程根的置换群中某些置换组成的“子群”。这个群，伽罗瓦称之为“方程的群”，也就是我们今天所说的“伽罗瓦群”。它的含义

24、如下：考虑由方程系数的 有限次加、减、乘、除运算可能得到的一切表达式的集合。这个集合，现在叫方程的“基本域”，并记为 F=Q(a1,a2,an)，Q为有理数域，a1,a2,an 是方程的系数，但伽罗瓦没有用“域”这个名称。伽罗瓦群就是由方程的根的置换群中这样一些置换构成的子群，这些置换保持方程的根以 F 的元素为系数的全部代数关系不变。我们以四次方程为例来说明这个重要的概念。,设方程,，其中 p、q 是独立的，令F 是 p,q的有理表达式,形成的域（基本域），如,就是这样一个表达式。这个方程的四个根：,是我们已经知道的，并且容易看出这些根的系数在F中的下列两个关系成立：x1+x2=0,x3+x

25、4=0,可以验证，在方程根的所有24个可能置换中，下面8个置换,都能使上述两个关系在 F 中保持成立，并且这8个置换是24个置换中，使根之间在域F中的全部代数关系都保持不变的仅有的置换。这8个置换就是方程在域F中的群，即伽罗瓦群。需要指出，保持根的代数关系不变，就意味着在此关系中根的地位是对称的。因此，伽罗瓦群刻画了方程的根的对称性。伽罗瓦于是指出，方程的群（即伽罗瓦群）与它是否根式可解存在着本质联系，对方程的群的认识，是解决全部根式可解问题的关键。伽罗瓦证明，当且仅当方程的群满足一定的条件（即方程的群是可解群）时，方程才是根式可解的，也就是他找到了方程根式可解的充分必要条件。伽罗瓦攻克的难题

26、虽然是三百年前的老问题,但他的思想却远远超出了他的时代。他的工作可以看成是近世代数的发端。这不只是因为它解决了方程根式可解性这样一个难题，更重要的是群概念的引进导致了代数学在对象、内容和方法上的深刻变革。,伽罗瓦之后，数学家们逐渐认识到“群”可以是一个更加普遍的概念，而不必仅限于置换群。凯莱（A.Cayley）在1849-1854年间指出了矩阵在乘法下、四元数在加法下都构成群，人们还发现高斯在数论中研究过的具有同一判别式的二次型类 f=ax2+2bxy+cy2(a,b,c 为整数，x,y 取整数值，D=b2 ac 取固定值)对于型的合成运算也构成群。1868-1869年间，若尔当（C.Jord

27、an）在物理学家布拉维斯(A.Bravais)关于运动群的理论的启发下开展了无限群（即有无限多个元素的群）的系统研究。若尔当的工作影响克莱因(F.Klein)关于几何分类中的无限变换群的研究。1874-1883年间,挪威数学家李(S.Lie,1842-1899)又研究了无限连续变换群（李群）。,Arthur Cayley,Camille Jordan,Felix Christian Klein 1849-1925,Sophus Lie,在抽象的群概念中，其元素本身的具体内容已无关紧要，关键是联系这些元素的运算关系。这样建立起来的一般群论也就成了描写其他各种数学和物理现象的对称性质的普遍工具。在

28、19世纪末，群论已被应用于晶体结构的研究，在现代物理中，群论更成为研究基本粒子、量子力学的有力武器。代数学由于群的概念的引进和发展而获得新生，它不再仅仅是研究代数方程，而更多地是研究各种抽象对象的运算关系，从而为20世纪代数结构观念的产生奠定了基础。,到19世纪80年代，关于各种不同类型的群的研究使数学家们有了足够的积累来形成抽象群的概念：,（A）封闭性：对于运算*,a,b R，则a*b=c R；（B）结合性：对于运算*，a，b，c R，则（a*b）*c=a*（b*c）；（C）存在单位元：I R，使 I*a=a*I=a;（D）存在逆元：a R，则 a-1 R，使 a*a-1=a-1*a=I.,

29、2 从四元数到超复数,（1）19世纪初复数的几何表示 四元数的发现是继伽罗瓦提出群的概念后，19世纪代数学最重大的事件。四元数是推广平面复数系结构的产物。18末19世纪初，韦塞尔、阿尔冈和高斯等人给出了复数 a+bi(a，b 为实数)的几何表示，这样复数才有了合法地位。在稍微熟悉了复数的几何表示之后，数学家们认识到复数能用来表示和研究平面上的向量。,O,a,b,y,x,（2）空间向量及其运算 向量概念在物理学上十分重要，力、速度或加速度这些有大小和方向的量都是向量，而人们很早就已知道向量的合成服从平行四边形法则。数学家们发现两个复数相加的结果正好对应于平行四边形法则相加的向量和。用复数来表示向

30、量及其运算有一个很大的优点，那就是，人们从此不必几何地作出向量运算，就能通过代数的方法研究它们。这就像方程能用来表示和研究曲线而带给人们方便一样。然而事实却使数学家们很快发觉，他们无法在三维情况下找到复数的一个类似物。,O,Sir William Rowan Hamilton,（3）哈密顿对复数的推广 在寻找复数三维推广的数学家中，爱尔兰数学家哈密顿也是其中一员。他在1837年曾把复数处理成实数的有序数偶，并希望通过推广这种有序数偶的思想，来达到自己的目的。如此经过15年的努力，他终于发现自己所要找的新数组应包含四个分量，而且必须放弃乘法的交换性。他把这种新数组命名为四元数。哈密顿的四元数形如

31、 a+b i+c j+d k，其中a,b,c,d为实数，i，j，k满足 i 2=j 2=k 2=-1;ij=-ji=k,jk=-kj=i,ki=-ik=j两个四元数相乘可以根据上面的规则仿照复数乘法那样去做，例如，设 p=1+2i+3j+4k,q=4+3i+2j+k,则 pq=(1+2i+3j+4k)(4+3i+2j+k)=-12+6i+24j+12k qp=(4+3i+2j+k)(1+2i+3j+4k)=-12+16i+4j+22k,可见，但哈密顿证明了四元数乘法具有“结合性”，这是第一次使用这个术语。四元数也是历史上第一次构造的不满足乘法交换律的数系。四元数本身虽然没有广泛的应用，但它对于

32、代数学的发展来说是革命性的。哈密顿的作法启示了数学家们，他们从此可以更加自由地构造新的数系，通过减弱、放弃或替换普通代数中的不同定律和公理，就为众多代数系的研究开辟了道路。,由四元数构成的Jyuria集合,在哈密顿之后，各种新的超复数像雨后春笋般涌现出来。事实上，就在哈密顿建立四元数的同时，一位德国数学家格拉斯曼也在试图对复数作出推广，与哈密顿相比，格拉斯曼的推广更为大胆。他实际上涉及的是n维向量空间。他的“扩张的量”就是一种有n个分量的超复数。例如：当 n=3 时，考虑两个超复数=a1e1+a2e2+a3e3,=b1e1+b2e2+b3e3 其中，ai 和 bi 是实数，ei 是基元素，格拉

33、斯曼定义它们的加减法为=(a1 b1)e1+(a2 b2)e2+(a3 b3)e3,而对于乘法则定义了两种，一种称为内积，另一种称为外积。对于内积，他假设 ei ei=1,ei ej=0,i j,所以=a1b1+a2 b2+a3 b3,并且有=.,4 格拉斯曼,Hermann Grassmann,对于外积，他假设 eiei=0,eiej=-ej ei,i j,所以=(a2 b3 a3 b2)e2e3+(a3 b1 a1 b3)e3e1+(a1 b2 a2 b21)e1e2,显然.格拉斯曼还讨论了超复数之间的混合积。在1855年的一篇文章中，格拉斯曼对超复数给出了16种不同类型的乘积。他对这些乘

34、积作了几何解释，并给出了它们在力学、磁学和结晶学等方面的应用。,麦克斯韦,（5）吉布斯与亥维赛,将复数推广到超复数的一个重要动力原本来源于物理中力学计算的需要。格拉斯曼的超复数在一定程度上满足了这种需要，但他的工作在相当长的一段时间里被人忽视了。四元数倒是很快吸引了人们的注意力，但它却不适合物理学家的需要。将四元数改造成物理学家所需要的工具的第一步，是由英国数学物理学家麦克斯韦迈出的。他将四元数结构区分为数量部分和向量部分，并在此基础上创造了大量的向量分析，不过他还是没有把向量与四元数完全分开，仍然经常把四元数作为基本的数学实体。,独立于四元数的三维向量代数和向量分析，是在19世纪80年代初由

35、美国数学物理学家吉布斯和英国数学物理学家亥维赛创立的。他们两人对这个课题的发,展结果，除了记法外本质上是一致的。根据他们提出的思想，一个向量只是四元数的向量部分，但独立于任何四元数。因此，向量 v=ai+bj+ck 其中i，j，k 是分别沿轴x,y,z的单位向量，a,b,c是三个实数，称为向量的分量。两个向量的和仍是一个向量，它的分量就是相加的两个向量相应分量的和。向量的乘法有两种，一种是数量乘法，用“”表示，也称为“点乘”，在这种情形中，i，j，k满足 i i=j j=k k=1,i j=j i=i k=k i=j k=k j=0,J Willard Gibbs,因此，把 v 和 v=ai+

36、bj+ck 点乘就得到v v=aa+bb+cc 点这个乘积不再是向量而是一个数量，称为数量积。所以。两个向量的数量乘法与两个实数或复数或四元数的乘法都不同，它不满足封闭性。向量的另一种乘法是向量积，用“”表示，也称为“叉乘”，在这种情形中，i，j，k 满足i i=j j=k k=0,i j=k,j i=k,j k=i,k j=i,k i=j,i k=j,因此，把 v 和 v叉乘就得到 v v=(bc bc)i+(ca ac)j+(ab ba)k 它也可写成行列式的形式:,两个向量的向量积是一个向量，它的方向垂直于和所决定的平面，且指向通过较小的角度转到时右手螺旋所指的方向。有趣的是，魏尔斯特拉

37、斯在1861年证明：有有限个基元素的实系数或复系数线性结合代数，如果要服从乘积定律和乘法交换律，就只有实数代数和复数代数。这才使人们了解到为什么寻求“三维复数”的努力是徒劳的。,3 布尔代数,3.1 前奏-莱布尼茨的工作,3.2 布尔及布尔代数,3.3 杰文斯 皮尔斯 施罗德 弗雷格 皮亚诺 怀特海 罗素,19世纪中后叶，代数学还开拓了另一个完全不同的领域，即布尔代数。,3.1 前奏-莱布尼茨的工作,早在17世纪，莱布尼兹就试图建立一种推理代数，通过演算完成一切正确的推理过程。但是莱布尼兹并没有完成这项工作。,3.2 布尔及布尔代数,莱布尼兹提出的逻辑数学化的思想在两个世纪后才获得实质性进展。

38、英国数学家布尔的逻辑代数即现今所称的“布尔代数”基本上完成了逻辑的演算工作。布尔的逻辑代数建立于“谓词量化”的基础上。传统的亚里士多德逻辑所讨论的命题是一种具有“主-谓”形式的命题，在其三段论的各种基本形式中，只有主词是被量化的。19世纪上半叶，一些逻辑学家在对逻辑形式做出新的分析后，发现实际判断不但要考虑主词的量，而且也要考虑谓词的量。将谓词量化的努力使人们想到可以用等式来处理命题，从而为布尔的逻辑代数作了技术上的准备。,George Boole,Augustus De Morgan,1835年，20岁的乔治布尔开办了一所私人授课学校。为了给学生们开设必要的数学课程，他兴趣浓厚地读起了当时一

39、些介绍数学知识的教科书。不久，他就感到惊讶，这些东西就是数学吗？实在令人难以置信。于是，这位只学过初级数学的青年自学了艰深的天体力学和很抽象的分析力学。由于他对代数关系的对称和美有很强的感觉，在孤独的研究中，他首先发现了不变量，并把这一成果写成论文发表。这篇高质量的论文发表后，布尔仍然留在小学教书,是他开始和许多第一流的英国数学家交往或通信，其中有数学家、逻辑学家德摩根。摩根在19世纪前半叶卷入了一场著名的争论，布尔知道摩根是对的，于是在1848年出版了一本薄薄的小册子来为朋友辩护。这本书是他6年后更伟大的东西的预告，它一问世，立即激起了摩根的赞扬，肯定他开辟了新的、棘手的研究科目。布尔此时已

40、经在研究逻辑代数，即布尔代数。他把逻辑简化成极为容易和简单的一种代数。在这种代数中，适当的材料上的“推理”，成了公式的初等运算的事情，这些公式比过去在中学代数第二年级课程中所运用的大多数公式要简单得多。这样，就使逻辑本身受数学的支配。为了使自己的研究工作趋于完善，布尔在此后6年的漫长时间里，又付出了不同寻常的努力。1854年，他发表了思维规律这部杰作，当时他已39岁，布尔代数问世了，数学史上树起了一座新的里程碑。几乎像所有的新生事物一样，布尔代数发明后没有受到人们的重视。欧洲大陆著名的数学家蔑视地称它为没有数学意义的哲学上稀奇古怪的东西，他们怀疑英伦岛国的数学家能在数学上做出独特贡献。布尔在他

41、的杰作出版后不久就去世了。20世纪初，罗素在数学原理中认为，纯数学是布尔在一部他称之为思维规律的著作中发现的。此说一出，立刻引起世人对布尔代数的注意。今天，布尔发明的逻辑代数已经发展成为纯数学的一个主要分支。,布尔代数的基本公式,在布尔之后，一些逻辑学家和数学家又对他的逻辑演算作了改进和发展。其中比较重要的如：杰文斯改进了相加的类必须不相交的限制；皮尔斯则区分了命题和命题函数，并引入了两个变量的命题函数；在施罗德的三大卷逻辑代数讲义（1890-1905）中，布尔代数更是发展到了顶峰。,William Jevons 1835-1882,Charles S Peirce 1839-1914,Ern

42、st Schrder 1841-1902,1879年，德国数学家弗雷格开创了数理逻辑研究的另一种传统，即数学基础传统。他的目标不是把数学应用于逻辑以实现逻辑规律和逻辑推理的数学化，而是利用精密化的逻辑为数学建立一个可靠的基础。,Gottlob Frege 1848-1925,Giuseppe Peano 1858-1932,Alfred Whitehead 1861-1947,以后，通过佩亚诺（G.Peano）、怀特海(A.Whitehead)和罗素（B.Russell）等人的工作，就将数理逻辑研究中的逻辑代数传统和数学基础传统汇合在一起。,Bertrand Russell 1872-1970

43、,4.1 高斯的算术研究,4 代数数论,在19世纪以前，数论只是一系列孤立的结果，但自从高斯在1801年发表了他的算术研究后，数论作为现代数学的一个重要分支得到了系统的发展。算术研究中有三个主要思想：同余理论，复整数理论和型的理论。其中复整数理论正是代数数论的开端，而这个理论又是从高斯对同余理论的研究中派生出来的。如果 a,b,m 是整数，并且ab 能被m 整除，那么这时就说 a 和 b 关于模 m是同余的，高斯将这一事实记为 a b(mod m),它也称为同余式。对于模相同的同余式，可以像等式那样来处理。例如，从a b(mod m)和 a b(mod m),可以得出 a a b b(mod

44、m)。,Gauss,高斯特别研究了二次剩余。而关于二次剩余和二次非剩余，有一个著名的定理与之相联系，高斯称之为二次互反律：设 p 和 q 是两个相异的奇素数，如果乘积 是偶数，则当且仅当x2 p(mod q)有解时，x2 q(mod p)有解；如果上述乘积是奇数，则当且仅当 x2 p(mod q)无解时，x2 q(mod p)有解。利用勒让德后来引入的一个记号（q/p）：,如果 x2 q(mod p)有解,如果 x2 q(mod p)无解,还可以把二次互反律表达成如下优美的形式：,它最先由欧拉所发现，但缺少证明。高斯非常欣赏这个定律，把它誉为“算术中的宝石”，算术研究中就有该定律的一个完全证明

45、。高斯在证明了二次互反律之后，试图将它推广到三次或四次互反律，但他发现为使三次和四次剩余的理论简单、优美，就必须超出通常的整数范围，引进复整数，即实部和虚部皆为整数的复数。对于复整数可以像处理普通整数那样讨论它的数论性质。从而开辟了数论的一个新天地。,Adrien-Marie Legendre,4.2 库默尔与理想数,Eduard Kummer,在高斯之后对代数数论作出重要贡献的是德国数学家库默尔。他引进了一种新的代数数，从而推广了高斯的复整数理论。库默尔原本打算基于这种代数数来证明费马大定理。然而不久，他的设想便因狄利克雷对这种代数数唯一分解性的否定而被否定。因为对于一般的代数整数，唯一分解

46、定理并不成立。例如考虑形如 的代数整数，这里 a,b 是整数。我们有,容易证明这四个因子都是素整数，可见唯一分解定理不成立。为了重建唯一分解定理，使得普通数论的一些结果在推广到代数数论时仍能成立，为了使普通数论的一些结果在推广到代数数论时仍能成立，库默尔在1844-1847年间又创立了理想数理论。如针对上面的例子，在引入理想数,后，6 就可以唯一地表示成四个因子的乘积：6=212。后来德国数学家戴德金又把库默尔的工作系统化并推广到一般的代数数域，从而创立了现代代数数的理论。戴德金将代数数的概念一般化之后，遂开始重建代数数域中的唯一因子分析定理，他引进了代数数类来代替理想数，为了纪念库默尔的理想

47、数，他把它们称为理想。,代数数域中整数环的除子半群中的元素。理想数的概念是由德国数学家库默尔在研究分圆域上的算术时提出来的。在19世纪中叶，很多数学家还不清楚在代数整数环中是否和整数环一样有素因子唯一分解定理，就连大数学家柯西也认为唯一分解是对的。库默尔就此问题与狄利克雷展开讨论，在1844年他认识到分解是不唯一的。于是，在18451847年库默尔提出了理想数的概念。如果从理想数的观点看，整数环的分解是唯一的。库默尔的理想数就是现今理想的雏形。在库默尔理想数理论的基础上，戴德金和克罗内克创立了一般理想理论。戴德金将每个理想数与环中的理想一一对应起来，这个理想被他定义为环中由0及能被这个理想数整

48、除的所有元素组成的子集。若al，an是理想 I 的生成元，则对应于I的理想数是理想数(a1)，(an)的最大公因子。后来，理想的概念推广到任意环上，那些理想概念与除子概念相一致的环，现称之为戴德金环。,理想数（ideal number）,4.3 戴德金的理想论,Richard Dedekind,1831年生于德国不伦瑞克;1916年2月12日卒于不伦瑞克。戴德金的父亲是一位法学教授，母亲是一位教授的女儿。1848年戴德金进入了卡罗琳学院，这也是高斯的母校。在那里他学到了解析几何，代数分析，微积分以及力学和自然科学。1850年复活节，他进入哥廷根大学学习。当时哥廷根刚刚建立起数学和物理学讨论班，

49、在那里他跟斯特恩学到数论基础知识，跟韦伯学习物理。1851年黎曼也参加讨论班，他们很快结下了深厚的友谊。戴德金还学习了物理和天文，并听过高斯的最小二乘法和高等测量学。他只上了四个学期就在高斯指导下准备博士论文,题目是关于欧拉积分的理论。对此，高斯写了如下评语：戴德金先生准备的论文是关于积分学的一项研究，它决不是一般的。作者不仅显示出对有关领域具有充分的知识而且这种独创性也预示出他未来的成就。作为批准考试的试验论文，我对这篇论文完全满意。,1855年高斯去世后，狄里赫利来到哥廷根。戴德金听到狄里赫利的数论，位势理论，定积分和偏微分方程等内容，获益匪浅。他很快与狄里赫利有了密切的交往，并进入了狄里

50、赫利和他的朋友们的社交活动。1855年冬到1856年，戴德金听黎曼讲授了阿贝尔函数和椭圆函数的课程。他自己也在1856到1858年先后讲授两个学期的伽罗瓦理论。他可能是第一个开伽罗瓦理论的人。在讲课中，他引进了域的概念，并且把置换群的概念用抽象群的概念来取代。1858年戴德金被任命为瑞士苏黎世综合工业学院教授。在讲授微积分的课程中深感分析基础的薄弱，从此开始实数理论基础的研究。他在11月24日得出了自己的连续性和无理数理论，并在几天后告诉了他的朋友杜瑞热。1872年以连续性与无理数出版。这本书的问世连同魏尔斯特拉斯分析基础的传播以及康托尔集合论的诞生，标志着现代数学新时期的来临。1888年他出