二项式定理的推广.ppt
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1、二项式定理的发现与推广,倪致祥,科学发现系列讲座,二项式定理的发现,通过探索,13世纪阿拉伯人已经知道两项和的n次方的展开结果:,二项式定理的发现,为了便于看出规律,我们把它补充完整:,二项式定理的发现,为了便于研究其中的规律,1544年Stifel把公式中字母的系数提取出来,称为二项式系数.他发现其中每个数是其上方紧邻两数之和.用公式表示为:,这个结果,中国数学家杨辉早在13世纪就发现了。,二项式定理的发现,通过进一步研究,1654年Pascal发现二项式系数的规律,即通项公式:,1713年,Bernoulli对上面的公式给出了证明。,二项式定理的推广1,上面得到的结果只适用于指数为自然数的
2、情况,能否把二项式定理推广到非自然数的情况呢?1665年,牛顿对此进行了研究。他考虑了已知的无穷递缩等比数列的求和公式:,为了便于比较,我们把二项式定理改写为:,二项式定理的推广1,经过仔细比较,不难发现上式中取n=-1时,自动成为无穷递缩等比数列求和公式。这说明二项式定理的新形式在n=-1时也成立。这个结果有没有一般性?牛顿大胆的猜想:二项式定理的新形式对于任意有理指数都是正确的,即:,二项式定理的推广1,这个猜想是否正确?牛顿对此进行了验证。当指数为1/2时,有:,验证的结果与猜想一致。牛顿还对指数为1/3、2/3等情况进行了验证,结果也与猜想一致。,二项式定理的推广1,然而,仅仅凭着有限
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