柯西古萨基本定理.ppt

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1、第二节 柯西古萨基本定理,一、问题的提出,二、基本定理,三、典型例题,2,一、问题的提出,观察上节例1,此时积分与路线无关.,观察上节例4,3,观察上节例3,由于不满足柯西黎曼方程,故而在复平面内处处不解析.,4,由此猜想：复积分的值与路径无关或沿闭路的积分值0的条件可能与被积函数的解析性及解析区域的单连通有关。,先将条件加强些，作初步的探讨,5,6,Cauchy 定理,7,Cauchy-Goursat基本定理：,也称Cauchy定理,8,(3)定理中曲线C不必是简单的！如下图。,推论 设f(z)在单连通区域B内解析，则对任意两点z0,z1B,积分c f(z)dz不依赖于连接起点z0与终点z1

2、的曲线，即积分与路径无关。,9,三、典型例题,例1,解,根据柯西古萨定理,有,10,例2,证,由柯西古萨定理,11,由柯西古萨定理,由上节例4可知,12,例3,解,根据柯西古萨定理得,13,第三节 基本定理的推广,复合闭路定理,典型例题,复合闭路定理,15,复合闭路定理,1.闭路变形原理,16,17,得,18,解析函数沿闭曲线的积分,不因闭曲线在区域内作连续变形而改变它的值.,闭路变形原理,说明:在变形过程中曲线不经过函数 f(z)的不解析的点.,19,2.复合闭路定理,那末,20,21,典型例题,例1,解,依题意知,22,根据复合闭路定理,23,例2,解,圆环域的边界构成一条复合闭路,根据闭

3、路复合定理,24,例3,解,25,由复合闭路定理,此结论非常重要,用起来很方便,因为不必是圆,a也不必是圆的圆心,只要a在简单闭曲线内即可.,第四节 原函数与不定积分,一、主要定理和定义,二、典型例题,27,一、主要定理和定义,定理一,由定理一可知:,解析函数在单连通域内的积分只与起点和终点有关,(如下页图),1.两个主要定理:,28,29,定理二,证,利用导数的定义来证.,30,由于积分与路线无关,31,32,由积分的估值性质,33,此定理与微积分学中的对变上限积分的求导定理完全类似.,证毕,34,2.原函数的定义:,原函数之间的关系:,证,35,那末它就有无穷多个原函数,根据以上讨论可知:

4、,证毕,36,3.不定积分的定义:,定理三,(类似于牛顿-莱布尼兹公式),37,证,根据柯西-古萨基本定理,证毕,说明:有了以上定理,复变函数的积分就可以用跟微积分学中类似的方法去计算.,38,二、典型例题,例1,解,由牛顿-莱布尼兹公式知,39,例2,解,(使用了微积分学中的“凑微分”法),40,例3,解,由牛顿-莱布尼兹公式知,41,例3,另解,此方法使用了微积分中“分部积分法”,42,例4,解,利用分部积分法可得,43,例5,解,44,四、小结与思考,通过本课学习,重点掌握柯西古萨基本定理:,并注意定理成立的条件.,45,思考题,应用柯西古萨定理应注意什么?,复合闭路定理在积分计算中有什么用?要注意什么问题?,解析函数在单连通域内积分的牛顿莱布尼兹公式与实函数定积分的牛顿莱布尼兹公式有何异同?,46,思考题答案,(1)注意定理的条件“单连通域”.,(2)注意定理的不能反过来用.,放映结束，按Esc退出.,47,思考题答案,利用复合闭路定理是计算沿闭曲线积分的最主要方法.,使用复合闭路定理时,要注意曲线的方向.,放映结束，按Esc退出.,48,思考题答案,两者的提法和结果是类似的.,两者对函数的要求差异很大.,放映结束，按Esc退出.,